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Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 32 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Quadrats am größten wird.

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1. Weg

y= x 2 +16x

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +16x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 16x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 8 zu 64. Diese 64 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 64, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +16x +64 -64

= x 2 +16x +64 + 1 · ( -64 )

= ( x +8 ) 2 -64

= ( x +8 ) 2 -64

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-8|-64).


2. Weg

Von x 2 +16x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +16x = 0
x ( x +16 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +16 = 0 | -16
x2 = -16

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-8|y).

y = ( -8 ) 2 +16⋅( -8 ) = 64 -128 = -64

also: S(-8|-64).


Für x=-8 bekommen wir also mit -64 einen extremalen Wert von x 2 +16x