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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 31}$ = $4$

$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 31}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $\sqrt{- 15 + 31}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{32 x - 60}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{32 x - 60}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$32 x - 60$	=	${(- 2 x)}^{2}$

32 x - 60

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 32 x - 60

= 0 |:4

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{32 x - 60}$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 3 - 60}$

= $\sqrt{96 - 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{32 x - 60}$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 5 - 60}$

= $\sqrt{160 - 60}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 5$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 49}$ = $2 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 49}$	=	$2 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 49$	=	${(2 x + 1)}^{2}$

8 x + 49

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} + 4 x + 48

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{8 x + 49}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 3) + 49}$

= $\sqrt{- 24 + 49}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x + 1$

$=$ $2 \cdot (- 3) + 1$

= $- 6 + 1$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{8 x + 49}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 4 + 49}$

= $\sqrt{32 + 49}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x + 1$

$=$ $2 \cdot 4 + 1$

= $8 + 1$

= $9$

Also 9 = 9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{17 x - 38}$ = $2 \sqrt{4 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{17 x - 38}$	=	$2 \sqrt{4 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$17 x - 38$	=	${(2 \sqrt{4 x - 8})}^{2}$

$17 x - 38$	=	$4 (4 x - 8)$
$17 x - 38$	=	$16 x - 32$	\| $+ 38$
$17 x$	=	$16 x + 6$	\| $- 16 x$
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{17 x - 38}$

$=$ $\sqrt{17 \cdot 6 - 38}$

= $\sqrt{102 - 38}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $6$ in $2 \sqrt{4 x - 8}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 6 - 8}$

= $2 \sqrt{24 - 8}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 4}$ = $\sqrt{x + 8} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 4}$	=	$\sqrt{x + 8} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 4$	=	${(\sqrt{x + 8} + 2)}^{2}$

$5 x - 4$	=	$4 \sqrt{x + 8} + x + 12$	\| $- 5 x$ $+ 4$ $- 4 \sqrt{x + 8}$
$- 4 \sqrt{x + 8}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 8}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 8$	=	${(x - 4)}^{2}$

x + 8

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9+7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9-7}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x - 4}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 - 4}$

= $\sqrt{5 - 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{x + 8} + 2$

$=$ $\sqrt{1 + 8} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{5 x - 4}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 8 - 4}$

= $\sqrt{40 - 4}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{x + 8} + 2$

$=$ $\sqrt{8 + 8} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $6$

Probe für x = $1$

Probe für x = $8$