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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 26}$ = $4$

$\sqrt{2 x + 26}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 26$	=	$4^{2}$

$2 x + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{2 x + 26}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 5) + 26}$

= $\sqrt{- 10 + 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

- 2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 1 + 3}$

= $\sqrt{- 2 + 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 21 x + 58}$ = $3 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 21 x + 58}$	=	$3 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 21 x + 58$	=	${(3 x - 2)}^{2}$

- 21 x + 58

=

9 x^{2} - 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

+ 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 9 x + 54

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 21 x + 58}$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot (- 3) + 58}$

= $\sqrt{63 + 58}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 x - 2$

$=$ $3 \cdot (- 3) - 2$

= $- 9 - 2$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 21 x + 58}$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot 2 + 58}$

= $\sqrt{- 42 + 58}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 x - 2$

$=$ $3 \cdot 2 - 2$

= $6 - 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 154}$ = $2 \sqrt{3 x + 43}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 154}$	=	$2 \sqrt{3 x + 43}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 154$	=	${(2 \sqrt{3 x + 43})}^{2}$

$9 x + 154$	=	$4 (3 x + 43)$
$9 x + 154$	=	$12 x + 172$	\| $- 154$
$9 x$	=	$12 x + 18$	\| $- 12 x$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{9 x + 154}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 6) + 154}$

= $\sqrt{- 54 + 154}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{3 x + 43}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 6) + 43}$

= $2 \sqrt{- 18 + 43}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 67}$ = $\sqrt{2 x + 23} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 67}$	=	$\sqrt{2 x + 23} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 67$	=	${(\sqrt{2 x + 23} + 2)}^{2}$

$6 x + 67$	=	$4 \sqrt{2 x + 23} + 2 x + 27$	\| $- 6 x$ $- 67$ $- 4 \sqrt{2 x + 23}$
$- 4 \sqrt{2 x + 23}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 23}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 23$	=	${(x + 10)}^{2}$

2 x + 23

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 77)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 308}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18+4}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18-4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 18 x + 77$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 77$ = $81$ $-$ $77$ = $4$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 9$ - $2$ = -11

x₂ = $- 9$ + $2$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 11) + 67}$

= $\sqrt{- 66 + 67}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{2 x + 23} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 11) + 23} + 2$

= $\sqrt{- 22 + 23} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 67}$

= $\sqrt{- 42 + 67}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 23} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 23} + 2$

= $\sqrt{- 14 + 23} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -7

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 7$