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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 3 x + 28}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{- 3 x + 28}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 3 x + 28}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 28$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 28$	=	$16$	\| $- 28$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 3 \sqrt{- 3 x + 28}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 3 \cdot 4 + 28}$

= $- 3 \sqrt{- 12 + 28}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 20 x - 24}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 20 x - 24}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 20 x - 24$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 20 x - 24

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 20 x - 24

= 0 |:4

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 20 x - 24}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 3) - 24}$

= $\sqrt{60 - 24}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 3)$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 20 x - 24}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 2) - 24}$

= $\sqrt{40 - 24}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 2}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 2}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 2$	=	${(x + 1)}^{2}$

6 x - 2

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x + 1$

$=$ $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 2}$

= $\sqrt{18 - 2}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x + 1$

$=$ $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{29 x + 231}$ = $3 \sqrt{3 x + 25}$

Lösung einblenden

$\sqrt{29 x + 231}$	=	$3 \sqrt{3 x + 25}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$29 x + 231$	=	${(3 \sqrt{3 x + 25})}^{2}$

$29 x + 231$	=	$9 (3 x + 25)$
$29 x + 231$	=	$27 x + 225$	\| $- 231$
$29 x$	=	$27 x - 6$	\| $- 27 x$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{29 x + 231}$

$=$ $\sqrt{29 \cdot (- 3) + 231}$

= $\sqrt{- 87 + 231}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{3 x + 25}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 3) + 25}$

= $3 \sqrt{- 9 + 25}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 10}$ = $\sqrt{3 x - 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 10}$	=	$\sqrt{3 x - 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 10$	=	${(\sqrt{3 x - 6} + 2)}^{2}$

$7 x - 10$	=	$4 \sqrt{3 x - 6} + 3 x - 2$	\| $- 7 x$ $+ 10$ $- 4 \sqrt{3 x - 6}$
$- 4 \sqrt{3 x - 6}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 6}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 6$	=	${(x - 2)}^{2}$

3 x - 6

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7+3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7-3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{7 x - 10}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 2 - 10}$

= $\sqrt{14 - 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 6} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 6} + 2$

= $\sqrt{6 - 6} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{7 x - 10}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 5 - 10}$

= $\sqrt{35 - 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{3 x - 6} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 5 - 6} + 2$

= $\sqrt{15 - 6} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 5

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $5$