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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{2 x + 1}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{2 x + 1}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 1$	=	$3^{2}$

$2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 3 \sqrt{2 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot 4 + 1}$

= $- 3 \sqrt{8 + 1}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 24}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 24}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 24$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 4 x + 24

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 4 x + 24

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 4 x + 24}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 3) + 24}$

= $\sqrt{12 + 24}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 3)$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 4 x + 24}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 2 + 24}$

= $\sqrt{- 8 + 24}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x + 76} + 2$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x + 76} + 2$	=	$- 3 x$	\| $- 2$
$\sqrt{- 6 x + 76}$	=	$- 3 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x + 76$	=	${(- 3 x - 2)}^{2}$

- 6 x + 76

=

9 x^{2} + 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

- 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 18 x + 72

= 0 |:9

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 6 x + 76} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 4) + 76} + 2$

= $\sqrt{24 + 76} + 2$

= $\sqrt{100} + 2$

= $10 + 2$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 4)$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 6 x + 76} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot 2 + 76} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 76} + 2$

= $\sqrt{64} + 2$

= $8 + 2$

= $10$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 2$

= $- 6$

Also 10 ≠ -6

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 57}$ = $3 \sqrt{3 x + 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 57}$	=	$3 \sqrt{3 x + 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 57$	=	${(3 \sqrt{3 x + 6})}^{2}$

$24 x + 57$	=	$9 (3 x + 6)$
$24 x + 57$	=	$27 x + 54$	\| $- 57$
$24 x$	=	$27 x - 3$	\| $- 27 x$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{24 x + 57}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 1 + 57}$

= $\sqrt{24 + 57}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{3 x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 1 + 6}$

= $3 \sqrt{3 + 6}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 2}$ = $\sqrt{4 x - 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 2}$	=	$\sqrt{4 x - 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 2$	=	${(\sqrt{4 x - 3} + 1)}^{2}$

$6 x - 2$	=	$2 \sqrt{4 x - 3} + 4 x - 2$	\| $- 6 x$ $+ 2$ $- 2 \sqrt{4 x - 3}$
$- 2 \sqrt{4 x - 3}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x - 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(x)}^{2}$

4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3} + 1$

= $\sqrt{4 - 3} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 2}$

= $\sqrt{18 - 2}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3} + 1$

= $\sqrt{12 - 3} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$