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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 26}$ = $- 12$

3 \sqrt{- 2 x + 26}

=

- 12

|:

3

\sqrt{- 2 x + 26}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 20}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 20}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 20$	=	${(x)}^{2}$

x + 20

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x + 20}$

$=$ $\sqrt{5 + 20}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 20}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 20}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 20$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 20$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 20$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 16$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 20}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 20}$

= $\sqrt{- 16 + 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x + 2$

$=$ $- 4 + 2$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{4 x + 20}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 4 + 20}$

= $\sqrt{16 + 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x + 2$

$=$ $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{39 x - 42}$ = $3 \sqrt{4 x - 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{39 x - 42}$	=	$3 \sqrt{4 x - 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$39 x - 42$	=	${(3 \sqrt{4 x - 4})}^{2}$

$39 x - 42$	=	$9 (4 x - 4)$
$39 x - 42$	=	$36 x - 36$	\| $+ 42$
$39 x$	=	$36 x + 6$	\| $- 36 x$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{39 x - 42}$

$=$ $\sqrt{39 \cdot 2 - 42}$

= $\sqrt{78 - 42}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{4 x - 4}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 2 - 4}$

= $3 \sqrt{8 - 4}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 5}$ = $\sqrt{2 x + 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 5}$	=	$\sqrt{2 x + 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 5$	=	${(\sqrt{2 x + 7} + 2)}^{2}$

$6 x - 5$	=	$4 \sqrt{2 x + 7} + 2 x + 11$	\| $- 6 x$ $+ 5$ $- 4 \sqrt{2 x + 7}$
$- 4 \sqrt{2 x + 7}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 7}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 7$	=	${(x - 4)}^{2}$

2 x + 7

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 10 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 10+8}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 10-8}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 5}$

= $\sqrt{6 - 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 + 7} + 2$

= $\sqrt{2 + 7} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 9 - 5}$

= $\sqrt{54 - 5}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{2 x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 + 7} + 2$

= $\sqrt{18 + 7} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 9

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $9$