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Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(2|1.21). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(2|1.21) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

1.21 = a² | $\sqrt[2]{\cdot}$

1.1 = a

( - 1.1 = a nicht zulässig)

Das gesuchte a ist somit 1.1 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ ${1,1}^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $12$ ) und B(2| $48$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $12$ ) und B(2| $48$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $12$ = $c \cdot a$
II: $48$ = $c \cdot a^{2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $12$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $48$ = $\frac{12}{a} \cdot a^{2}$

also

II: $48$ = $12 a$

$12 a$	=	$48$	\|: $12$
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $12$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $3$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $3 \cdot 4^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$