$x^{-2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^2}$.

Also ist $4x^{-2}$ das gleiche wie $4·\frac{1}{x^2}$ = $\frac{4}{x^2}$.

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^4}$ = ${\left(x^4\right)}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^4\right)}^{\frac{1}{5}}$ = x^{4⋅$\frac{1}{5}$} = $x^{\frac{4}{5}}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}$ = $\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{\frac{1}{5}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{\frac{1}{5}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}·3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ = $x^{-\frac{3}{5}}$

${81}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

${\left(\frac{64}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

${\mathrm{0,001}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,1}}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left({11}^4\right)}^{\frac{1}{2}}$

= ${11}^{4·\frac{1}{2}}$

= ${11}^2$

= $121$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^4}·{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^5)}^9$

= ${(x^{\frac{4}{6}}\cdot x^{\frac{5}{3}})}^9$

= ${(x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{5}{3}})}^9$

= ${\left(x^{\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}\right)}^9$

= ${\left(x^{\frac{7}{3}}\right)}^9$

= $x^{\frac{7}{3}·9}$

= $x^{21}$

$\frac{13v^{-2}}{\frac{13}{v^3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{v^2}}{\frac{13}{v^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{v^2}·\frac{v^3}{13}$

= $v$