$\frac{1}{x^9}$ kann man auch als $x^{-9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{-2x^9}$ = $-\frac{1}{2}·\frac{1}{x^9}$ das gleiche wie $-\frac{1}{2}{x}^{-9}$.

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4$ = ${\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^4$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^4$ = x^{$\frac{1}{3}$⋅4} = $x^{\frac{4}{3}}$

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$ = $\frac{1}{{\left(x^4\right)}^{\frac{1}{3}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^4\right)}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}·4}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ = $x^{-\frac{4}{3}}$

${27}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

$-{100}^{\frac{1}{2}}$

= $-\sqrt{100}$

= $-10$

${\mathrm{0,008}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,2}}^2$

= $\mathrm{0,04}$

${\left(8^4\right)}^{-\frac{1}{3}}$

= $8^{4·\left(-\frac{1}{3}\right)}$

= $8^{\frac{1}{3}·\left(-4\right)}$

= ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)}^{-4}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^4}$

= $\frac{1}{2^4}$

= $\frac{1}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[6]{x}\right)}^2·\sqrt[3]{x^4})}^6$

= ${(x^{\frac{2}{6}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{5}{3}·6}$

= $x^{10}$

$\frac{11r^{-4}}{\frac{12}{r^5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{r^4}}{\frac{12}{r^5}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{r^4}·\frac{r^5}{12}$

= $\frac{11}{12}r$