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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $- x^{- 5}$ das gleiche wie $- 1 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $- \frac{1}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{11}}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{11}}$ = ${(x^{11})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{11})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{11⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{11}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[7]{x^{6}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{6}}$ = ${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$ = $x^{\frac{1}{7} \cdot 6}$ = $x^{\frac{6}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

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$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{25}$ : $2^{22}$

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$2^{25}$ : $2^{22}$

= $2^{25 - 22}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{10})}^{- \frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(16^{10})}^{- \frac{1}{5}}$

= $16^{10 \cdot (- \frac{1}{5})}$

= $16^{- 2}$

= $\frac{1}{16^{2}}$

= $\frac{1}{256}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}$

= $x^{\frac{6}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{24}{15}}$

= $x^{\frac{8}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{1}}$

= $x^{1 - 1}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 v^{- 2}}{\frac{6}{v^{3}}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 v^{- 2}}{\frac{6}{v^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{v^{2}}}{\frac{6}{v^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{v^{2}} \cdot \frac{v^{3}}{6}$

= $\frac{3}{2} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen