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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 6}{x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 6}{x^{9}}$ = $- 6 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $- 6 x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ = x^{$\frac{1}{5}$ ⋅4} = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{2}{x}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{2}{x}$ = $2 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $2 x^{- 1}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{2}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 16})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(10^{- 16})}^{- \frac{1}{2}}$

= $10^{- 16 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $10^{8}$

= $100 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

= $x^{\frac{9}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{9}{15} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{18}{30} + \frac{24}{30}}$

= $x^{\frac{42}{30}}$

= $x^{\frac{7}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{6}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{6}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5}}\cdotx^{\frac{6}{10}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5}}\cdotx^{\frac{3}{5}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 1}}$

= $x^{1 + 1}$

= $x^{2}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 b^{- 3}}{13 b^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 b^{- 3}}{13 b^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{b^{3}}}{\frac{13}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{b^{3}} \cdot \frac{b^{4}}{13}$

= $\frac{5}{13} b$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen