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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $3 x^{- 7}$

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$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $3 x^{- 7}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $\frac{3}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ = x^{$\frac{1}{5}$ ⋅4} = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{7}{x}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{7}{x}$ = $7 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $7 x^{- 1}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

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$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 49^{\frac{1}{2}}$

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$- 49^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{49}$

= $- 7$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,36}^{\frac{1}{2}}$

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${0,36}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,36}$

= $0,6$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(8^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(8^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

= $8^{- 4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $8^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(8^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{8})}^{4}}$

= $\frac{1}{2^{4}}$

= $\frac{1}{16}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{7}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{7}}$

= $x^{\frac{12}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{7}{5}}$

= $x^{\frac{12}{15} + \frac{7}{5}}$

= $x^{\frac{12}{15} + \frac{21}{15}}$

= $x^{\frac{33}{15}}$

= $x^{\frac{11}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{6})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{6})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{10}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 15}$

= $x^{27}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{6}{u}}{12 u^{- 3}}$

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$\frac{\frac{6}{u}}{12 u^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{u}}{\frac{12}{u^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{u} \cdot \frac{u^{3}}{12}$

= $\frac{1}{2} u^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen