$x^{-1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$.

Also ist $-6x^{-1}$ das gleiche wie $-6·\frac{1}{x}$ = $-\frac{6}{x}$.

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^5}$ = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{5}{8}}$

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{1}{{\left(x\right)}^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x\right)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}·1}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ = $x^{-\frac{1}{2}}$

${16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

$\frac{4^{33}}{4^{30}}$

= $4^{33-30}$

= $4^3$

= 64

${\mathrm{0,001}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}$

= $\mathrm{0,1}$

${\left({\left(\frac{4}{3}\right)}^{\frac{1}{5}}\right)}^{-5}$

= ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{\frac{1}{5}·\left(-5\right)}$

= ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{-1}$

= $\frac{1}{\frac{4}{3}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{3}{4}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^6}·\sqrt[10]{x^8})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{10}}\cdot x^{\frac{8}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{7}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{7}{5}·15}$

= $x^{21}$

$\frac{10u^{-3}}{\frac{9}{u^4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{u^3}}{\frac{9}{u^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{u^3}·\frac{u^4}{9}$

= $\frac{10}{9}u$