$\frac{1}{x^5}$ kann man auch als $x^{-5}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{-3x^5}$ = $-\frac{1}{3}·\frac{1}{x^5}$ das gleiche wie $-\frac{1}{3}{x}^{-5}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{6}{5}}$ = x^{6⋅$\frac{1}{5}$} = ${\left(x^6\right)}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${\left(x^6\right)}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^6}$

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[6]{x}\right)}^7}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^7}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}·7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$ = $x^{-\frac{7}{6}}$

${64}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{64}$

= $4$

${25}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>25</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

${\mathrm{0,0016}}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{\mathrm{0,0016}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,2}}^3$

= $\mathrm{0,008}$

${\left(9^{-3}\right)}^{\frac{1}{2}}$

= $9^{-3·\frac{1}{2}}$

= $9^{\frac{1}{2}·\left(-3\right)}$

= ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt{9}\right)}^3}$

= $\frac{1}{3^3}$

= $\frac{1}{27}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x^3}·\sqrt[3]{x^4})}^9$

= ${(x^{\frac{3}{9}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^9$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^9$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^9$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^9$

= $x^{\frac{5}{3}·9}$

= $x^{15}$

$\frac{13v^{-3}}{\frac{8}{v}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{v^3}}{\frac{8}{v}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{v^3}·\frac{v}{8}$

= $\frac{13}{8v^2}$