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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 42 an:

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Wir suchen alle Teiler von 42. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 42 ist, teilen wir 42 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 42 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 42, denn 42 = 1 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.

2 ist Teiler von 42, denn 42 = 2 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

3 ist Teiler von 42, denn 42 = 3 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 4 ⋅ 10 + 2.

5 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 5 ⋅ 8 + 2.

6 ist Teiler von 42, denn 42 = 6 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 7 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 42:
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 364⬜ durch 3 teilbar ist.

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Um die Teilbarkeit durch 3 zu überprüfen, berechnen wir die Quersumme der Zahl, also:

3 + 6 + 4 + ⬜ = 13 + ⬜

Wir suchen also eine Dreierzahl, die größer oder gleich 13 ist. In diesem Fall ist das die nächste Zahl 15.

Wenn also 13 + ⬜ = 15 sein soll, rechnen wir 15 - 13 = 2

Somit ist eine mögliche Lösung 2


Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:

0: Dann wäre die Zahl 3640, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 0 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

1: Dann wäre die Zahl 3641, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 1 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 3642, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 2 = 15, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 3643, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 3 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 3644, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 4 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 3645, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 5 = 18, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 3646, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 6 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 3647, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 7 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 3648, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 3649, für die Quersumme gilt dann: 3 + 6 + 4 + 9 = 22, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2, 5 und 8.

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 10⬜8 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1008, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 0 + 8 = 9, also durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1028, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 2 + 8 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1048, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 4 + 8 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1068, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 6 + 8 = 15, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1088, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 8 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0 und 6.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 16 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 16 bilden:

2 + 14 = 16, dabei ist 14 aber keine Primzahl

3 + 13 = 16, dabei ist 13 auch eine Primzahl

3 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 13 = 16

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 66 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 66 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

66
= 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 3 ⋅ 11

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 70 und gib alle Teiler von 70 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 70 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 70 :

1 Teiler

2 = 2
5 = 5
7 = 7

2 Teiler

2 ⋅ 5 = 10
2 ⋅ 7 = 14
5 ⋅ 7 = 35

3 Teiler

2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 70

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 70:
1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70