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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 32 an:

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Wir suchen alle Teiler von 32. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 32 ist, teilen wir 32 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 32 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 32, denn 32 = 1 ⋅ 32, also ist auch 32 ein Teiler.

2 ist Teiler von 32, denn 32 = 2 ⋅ 16, also ist auch 16 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 32, denn 32 = 3 ⋅ 10 + 2.

4 ist Teiler von 32, denn 32 = 4 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 32, denn 32 = 5 ⋅ 6 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 32, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 32:
1, 2, 4, 8, 16, 32

Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 324⬜ durch 4 teilbar ist.

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Um zu beurteilen, ob die Zahl durch 4 teilbar ist, müssen wir ja die letzten beiden Stellen betrachten, also 4⬜.

Bei den 40er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 40, 44, 48 durch 4 teilbar sind.

Die möglichen Ziffern sind also 0, 4 und 8.


Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:

0: Dann wäre die Zahl 3240, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 40, also durch 4 teilbar.

1: Dann wäre die Zahl 3241, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 41, also nicht durch 4 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 3242, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 42, also nicht durch 4 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 3243, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 43, also nicht durch 4 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 3244, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 44, also durch 4 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 3245, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 45, also nicht durch 4 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 3246, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 46, also nicht durch 4 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 3247, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 47, also nicht durch 4 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 3248, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 48, also durch 4 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 3249, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 49, also nicht durch 4 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0, 4 und 8.

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 1⬜0 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜0.

Da an der letzten Stelle eine 0 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 00, 20, 40, 60, 80 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 100, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 0 = 1, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 120, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 0 = 3, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 140, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 0 = 5, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 160, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 0 = 7, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 180, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 14 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 14 bilden:

2 + 12 = 14, dabei ist 12 aber keine Primzahl

3 + 11 = 14, dabei ist 11 auch eine Primzahl

3 und 11 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 11 = 14

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 50 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 50 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 66 und gib alle Teiler von 66 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 66 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

66
= 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 3 ⋅ 11

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 66 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
11 = 11

2 Teiler

2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 11 = 22
3 ⋅ 11 = 33

3 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 11 = 66

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 66:
1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66