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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 50 an:

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Wir suchen alle Teiler von 50. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 50 ist, teilen wir 50 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 50 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 50, denn 50 = 1 ⋅ 50, also ist auch 50 ein Teiler.

2 ist Teiler von 50, denn 50 = 2 ⋅ 25, also ist auch 25 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 50, denn 50 = 3 ⋅ 16 + 2.

4 ist kein Teiler von 50, denn 50 = 4 ⋅ 12 + 2.

5 ist Teiler von 50, denn 50 = 5 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 50, denn 50 = 6 ⋅ 8 + 2.

7 ist kein Teiler von 50, denn 50 = 7 ⋅ 7 + 1.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 8 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 8 ⋅ 8 = 64 > 50, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 50:
1, 2, 5, 10, 25, 50

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 146⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 6⬜.

Bei den 60er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 60, 64, 68 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1460, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1464, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1468, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 24 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 24 bilden:

2 + 22 = 24, dabei ist 22 aber keine Primzahl

3 + 21 = 24, dabei ist 21 aber keine Primzahl

5 + 19 = 24, dabei ist 19 auch eine Primzahl

5 und 19 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 19 = 24

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 126 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 126 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

126
= 2 ⋅ 63
= 2 ⋅ 3 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 126 und gib alle Teiler von 126 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 126 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

126
= 2 ⋅ 63
= 2 ⋅ 3 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 126 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
7 = 7

2 Teiler

2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 7 = 14
3 ⋅ 3 = 9
3 ⋅ 7 = 21

3 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18
2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42
3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 63

4 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 126

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 126:
1; 2; 3; 6; 7; 9; 14; 18; 21; 42; 63; 126