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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 30 an:

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Wir suchen alle Teiler von 30. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 30 ist, teilen wir 30 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 30 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 30, denn 30 = 1 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.

2 ist Teiler von 30, denn 30 = 2 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

3 ist Teiler von 30, denn 30 = 3 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 30, denn 30 = 4 ⋅ 7 + 2.

5 ist Teiler von 30, denn 30 = 5 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 6 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 30:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 398⬜ durch 4 teilbar ist.

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Um zu beurteilen, ob die Zahl durch 4 teilbar ist, müssen wir ja die letzten beiden Stellen betrachten, also 8⬜.

Bei den 80er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 80, 84, 88 durch 4 teilbar sind.

Die möglichen Ziffern sind also 0, 4 und 8.


Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:

0: Dann wäre die Zahl 3980, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 80, also durch 4 teilbar.

1: Dann wäre die Zahl 3981, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 81, also nicht durch 4 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 3982, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 82, also nicht durch 4 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 3983, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 83, also nicht durch 4 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 3984, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 84, also durch 4 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 3985, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 85, also nicht durch 4 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 3986, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 86, also nicht durch 4 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 3987, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 87, also nicht durch 4 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 3988, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 88, also durch 4 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 3989, für die beiden letzten Ziffern gilt dann: 89, also nicht durch 4 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0, 4 und 8.

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 1⬜0 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜0.

Da an der letzten Stelle eine 0 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 00, 20, 40, 60, 80 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 100, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 0 = 1, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 120, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 0 = 3, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 140, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 0 = 5, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 160, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 0 = 7, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 180, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 36 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 36 bilden:

2 + 34 = 36, dabei ist 34 aber keine Primzahl

3 + 33 = 36, dabei ist 33 aber keine Primzahl

5 + 31 = 36, dabei ist 31 auch eine Primzahl

5 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 31 = 36

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 110 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 110 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

110
= 2 ⋅ 55
= 2 ⋅ 5 ⋅ 11

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 72 und gib alle Teiler von 72 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 72 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

72
= 2 ⋅ 36
= 2 ⋅ 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 72 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6
3 ⋅ 3 = 9

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36

5 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 72

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 72:
1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72