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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 25 an:

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Wir suchen alle Teiler von 25. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 25 ist, teilen wir 25 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 25 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 25, denn 25 = 1 ⋅ 25, also ist auch 25 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 2 ⋅ 12 + 1.

3 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 3 ⋅ 8 + 1.

4 ist kein Teiler von 25, denn 25 = 4 ⋅ 6 + 1.

5 ist Teiler von 25, denn 25 = 5 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 25, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 25:
1, 5, 25

Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 22⬜2 durch 9 teilbar ist.

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Um die Teilbarkeit durch 9 zu überprüfen, berechnen wir die Quersumme der Zahl, also:

2 + 2 + ⬜ + 2 = 6 + ⬜

Wir suchen also eine Neunerzahl, die größer oder gleich 6 ist. In diesem Fall ist das die nächste Zahl 9.

Wenn also 6 + ⬜ = 9 sein soll, rechnen wir 9 - 6 = 3

Somit ist eine mögliche Lösung 3.


Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:

0: Dann wäre die Zahl 2202, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 0 + 2 = 6, also nicht durch 9 teilbar.

1: Dann wäre die Zahl 2212, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 1 + 2 = 7, also nicht durch 9 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 2222, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 2 + 2 = 8, also nicht durch 9 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 2232, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 3 + 2 = 9, also durch 9 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 2242, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 4 + 2 = 10, also nicht durch 9 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 2252, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 5 + 2 = 11, also nicht durch 9 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 2262, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 6 + 2 = 12, also nicht durch 9 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 2272, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 7 + 2 = 13, also nicht durch 9 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 2282, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 8 + 2 = 14, also nicht durch 9 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 2292, für die Quersumme gilt dann: 2 + 2 + 9 + 2 = 15, also nicht durch 9 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 3.

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 14⬜8 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1408, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 0 + 8 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1428, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 2 + 8 = 15, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1448, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 4 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1468, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1488, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 8 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 46 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 46 bilden:

2 + 44 = 46, dabei ist 44 aber keine Primzahl

3 + 43 = 46, dabei ist 43 auch eine Primzahl

3 und 43 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 43 = 46

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 60 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 60 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

60
= 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 88 und gib alle Teiler von 88 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 88 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

88
= 2 ⋅ 44
= 2 ⋅ 2 ⋅ 22
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 11

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 88 :

1 Teiler

2 = 2
11 = 11

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 11 = 22

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
2 ⋅ 2 ⋅ 11 = 44

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 11 = 88

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 88:
1; 2; 4; 8; 11; 22; 44; 88