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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x (x - 4)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x (x - 4)$ = 0 ist.

- x (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x (x - 4)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x (x - 4)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x (x - 4)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- (- 1) \cdot (- 1 - 4)$ = $- 5$ < 0
Für 0 < x < 4: f(3) = $- 3 \cdot (3 - 4)$ = $3$ > 0
Für x > 4: f(5) = $- 5 \cdot (5 - 4)$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x (x - 4)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- x (x - 4)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 0 oder x ≥ 4.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 7 x + 15$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 7 x + 15$ = 0 ist.

$- 2 x^{2} + 7 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 15}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 7+13}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 7-13}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x + 15$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 7 x + 15$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 7 x + 15$ = 0 (x₁ = -1.5 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} + 7 x + 15$ ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1.5: f(-2) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 7 \cdot (- 2) + 15$ = $- 7$ < 0
Für -1.5 < x < 5: f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 7 \cdot 0 + 15$ = $15$ > 0
Für x > 5: f(6) = $- 2 \cdot 6^{2} + 7 \cdot 6 + 15$ = $- 15$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} + 7 x + 15$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} + 7 x + 15$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-1.5 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -1.5 und x ≤ 5.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + 5 x - 13$ ≤ $- 3 x + 3$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + 5 x - 13$ = $- 3 x + 3$ ist.

- x^{2} + 5 x - 13

=

- 3 x + 3

|

+ 3 x

- 3

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} + 5 x - 13$ und $g(x) =$ $- 3 x + 3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + 5 x - 13$ = $- 3 x + 3$ (x = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x + 3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $- 3 x + 3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $- x^{2} + 5 x - 13$ ≤ $- 3 x + 3$ für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x + 3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 4: f(0) = $- 0^{2} + 5 \cdot 0 - 13$ = $- 13$ < $3$ = $- 3 \cdot 0 + 3$ = g(0)
Für x > 4: f(5) = $- 5^{2} + 5 \cdot 5 - 13$ = $- 13$ < $- 12$ = $- 3 \cdot 5 + 3$ = g(5)
Also gilt die Ungleichung $- x^{2} + 5 x - 13$ ≤ $- 3 x + 3$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $- x^{2} + 5 x - 13$ = $- 3 x + 3$ auch zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} + 5 x - 13$ ≤ $- 3 x + 3$ gehört, ist x=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):