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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 3) \cdot (x - 3)$ ≥ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 3) \cdot (x - 3)$ = 0 ist.

(x + 3) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 3) \cdot (x - 3)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 3) \cdot (x - 3)$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $(- 4 + 3) \cdot (- 4 - 3)$ = $7$ > 0
Für -3 < x < 3: f(0) = $(0 + 3) \cdot (0 - 3)$ = $- 9$ < 0
Für x > 3: f(4) = $(4 + 3) \cdot (4 - 3)$ = $7$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 3) \cdot (x - 3)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $(x + 3) \cdot (x - 3)$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -3 oder x ≥ 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 2$ < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 2$ = 0 ist.

$- 2 x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 2$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} + 2$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2$ = $- 6$ < 0
Für -1 < x < 1: f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 2$ = $2$ > 0
Für x > 1: f(2) = $- 2 \cdot 2^{2} + 2$ = $- 6$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} + 2$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} + 2$ < 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -1 oder x > 1.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} + 3 x + 9$ ≤ $- x + 4$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} + 3 x + 9$ = $- x + 4$ ist.

x^{2} + 3 x + 9

=

- x + 4

|

+ x

- 4

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 5$ = $4$ $-$ $5$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $x^{2} + 3 x + 9$ und $g(x) =$ $- x + 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} + 3 x + 9$ = $- x + 4$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- x + 4$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- x + 4$ oder alle unter der Geraden y= $- x + 4$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $- x + 4$ liegen.
Die Ungleichung $x^{2} + 3 x + 9$ ≤ $- x + 4$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- x + 4$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $x^{2} + 3 x + 9$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $0^{2} + 3 \cdot 0 + 9$ = $9$ > $4$ = $- 0 + 4$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $x^{2} + 3 x + 9$ ≤ $- x + 4$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):