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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 4) (x - 1)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 4) (x - 1)$ = 0 ist.

- (x + 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 4) (x - 1)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 4) (x - 1)$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 4) (x - 1)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $- (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 1)$ = $- 6$ < 0
Für -4 < x < 1: f(0) = $- (0 + 4) \cdot (0 - 1)$ = $4$ > 0
Für x > 1: f(2) = $- (2 + 4) \cdot (2 - 1)$ = $- 6$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 4) (x - 1)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- (x + 4) (x - 1)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -4 oder x ≥ 1.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} - 2 x + 1$ < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} - 2 x + 1$ = 0 ist.

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 1$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} - 2 x + 1$ = 0 (x = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^{2} - 2 x + 1$ < 0 für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $0^{2} - 2 \cdot 0 + 1$ = $1$ > 0
Für x > 1: f(2) = $2^{2} - 2 \cdot 2 + 1$ = $1$ > 0
Also gilt die Ungleichung $x^{2} - 2 x + 1$ < 0 in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $x^{2} - 2 x + 1$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x^{2} - 2 x + 1$ < 0 gehört, ist x=1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} - 8 x - 3$ ≤ $x + 1$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} - 8 x - 3$ = $x + 1$ ist.

- 2 x^{2} - 8 x - 3

=

x + 1

|

- x

- 1

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{9+7}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{9-7}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 8 x - 3$ und $g(x) =$ $x + 1$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} - 8 x - 3$ = $x + 1$ (x₁ = -4 und x₂ = -0.5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} - 8 x - 3$ ≤ $x + 1$ ist, links und rechts der Schnittpunkte liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} - 8 \cdot (- 5) - 3$ = $- 13$ < $- 4$ = $- 5 + 1$ = g(-5)
Für -4 < x < -0.5: f(-1) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 8 \cdot (- 1) - 3$ = $3$ > 0 = $- 1 + 1$ = g(-1)
Für x > -0.5: f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 3$ = $- 3$ < $1$ = $0 + 1$ = g(0)
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ g(x) ist, links und rechts der Schnittpunkte liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} - 8 x - 3$ = $x + 1$ auch zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} - 8 x - 3$ ≤ $x + 1$ gehört, ist x₁=-4 und x₂=-0.5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -4 oder x ≥ -0.5.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):