Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 2) (x - 2)$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 2) (x - 2)$ = 0 ist.

- (x + 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 2) (x - 2)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 2) (x - 2)$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 2) (x - 2)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $- (- 3 + 2) \cdot (- 3 - 2)$ = $- 5$ < 0
Für -2 < x < 2: f(0) = $- (0 + 2) \cdot (0 - 2)$ = $4$ > 0
Für x > 2: f(3) = $- (3 + 2) \cdot (3 - 2)$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 2) (x - 2)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- (x + 2) (x - 2)$ > 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -2 und x < 2.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} - 2 x + 8$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 ist.

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 8$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x^{2} - 2 x + 8$ ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $- {(- 5)}^{2} - 2 \cdot (- 5) + 8$ = $- 7$ < 0
Für -4 < x < 2: f(0) = $- 0^{2} - 2 \cdot 0 + 8$ = $8$ > 0
Für x > 2: f(3) = $- 3^{2} - 2 \cdot 3 + 8$ = $- 7$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} - 2 x + 8$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -4 und x ≤ 2.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} + 6 x + 20$ < $- 2 x + 3$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} + 6 x + 20$ = $- 2 x + 3$ ist.

x^{2} + 6 x + 20

=

- 2 x + 3

|

+ 2 x

- 3

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 20$ und $g(x) =$ $- 2 x + 3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} + 6 x + 20$ = $- 2 x + 3$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 2 x + 3$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 2 x + 3$ oder alle unter der Geraden y= $- 2 x + 3$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $- 2 x + 3$ liegen.
Die Ungleichung $x^{2} + 6 x + 20$ < $- 2 x + 3$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 2 x + 3$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 20$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $0^{2} + 6 \cdot 0 + 20$ = $20$ > $3$ = $- 2 \cdot 0 + 3$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $x^{2} + 6 x + 20$ < $- 2 x + 3$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):