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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $197\cdot {\left(\frac{6}{5}\right)}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $197$

f(1) = $197$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(2) = $197$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(3) = $197$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(4) = $197$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{6}{5}$ multipliziert. Da $\frac{6}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{6}{5}$-fache (oder auf das $\frac{120}{100}$-fache), also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $11\cdot {\mathrm{0,93}}^8$ ≈ 6,155.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.3:

$11\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{4,3}$	|:$11$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,3909}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3909}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3909}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3909}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9433}$

Nach ca. 12,943 Jahre ist also der Bestand = 4.3 Millionen Insekten.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 7 Wochen zählt man bereits 5652,44 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 13 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 2700 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 5652.44 Nutzer ist, also f(7) = 5652.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^7$	=	$5\mathrm{652,44}$	|:$2000$
$a^7$	=	$\mathrm{2,82622}$	|
$a$	=	$\sqrt[7]{\mathrm{2,82622}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{\mathrm{2,82622}}$ ≈ 1.16 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $2000\cdot {\mathrm{1,16}}^{13}$ ≈ 13771,583.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 2700 Nutzer ist, also f(t) = 2700:

$2000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$	=	$2700$	|:$2000$
${\mathrm{1,16}}^t$	=	$\frac{27}{20}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,16}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{20}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,16}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,022}$

Nach ca. 2,022 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 2700 Nutzer.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. 11 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 1,13 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,5 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,82}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 1.13 Millionen Insekten ist, also f(11) = 1.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,82}}^t$ ein:

c ⋅ 0.82¹¹ = 1.13

c ⋅ 0.11271 = 1.13 | : 0.11271

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,82}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $10\cdot {\mathrm{0,82}}^8$ ≈ 2,044.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.5:

$10\cdot {\mathrm{0,82}}^t$	=	$\mathrm{2,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,82}}^t$	=	$\mathrm{0,25}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,82}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,25}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,25}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,25}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,82}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9856}$

Nach ca. 6,986 Jahre ist also der Bestand = 2.5 Millionen Insekten.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,896}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,896}}^t$ ablesen: a=0.896.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.896($\frac{1}{2}$) ≈ 6.31 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 6% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.94($\frac{1}{2}$) ≈ 11.2 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 8,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 8.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{8,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{8,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,92}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{8,3}}}$	≈ $\mathrm{0,92}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,92}$ ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,92}}^t$