Mathebattle EduRandomtasks

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $10 \cdot {(\frac{24}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $10$

f(1) = $10$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(2) = $10$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(3) = $10$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(4) = $10$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{24}{25}$ multipliziert. Da $\frac{24}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{24}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{96}{100}$ -fache), also auf $96$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 17% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 105000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $5 000 \cdot {1,17}^{9}$ ≈ 20542,002.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 105000 Nutzer ist, also f(t) = 105000:

$5 000 \cdot {1,17}^{t}$	=	$105 000$	\|: $5 000$
${1,17}^{t}$	=	$21$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (21)$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (21)$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (21)}{\lg (1,17)}$

t

=

19,3914

Nach ca. 19,391 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 105000 Nutzer.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 9407,41€. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 9407.41 € ist, also f(10) = 9407.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ ein:

$7 000 a^{10}$	=	$9 407,41$	\|: $7 000$
$a^{10}$	=	$1,34392$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,34392}$	= $- 1,03$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,34392}$	= $1,03$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,03$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $7 000 \cdot {1,03}^{13}$ ≈ 10279,736.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$7 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$10 000$	\|: $7 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{10}{7})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{10}{7})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{10}{7})}{\lg (1,03)}$

t

=

12,0666

Nach ca. 12,067 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Nach 11 Wochen zählt man bereits 15351,79 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 7000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 15351.79 Nutzer ist, also f(11) = 15351.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.16¹¹ = 15351.79

c ⋅ 5.11726 = 15351.79 | : 5.11726

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $3 000 \cdot {1,16}^{7}$ ≈ 8478,659.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer ist, also f(t) = 7000:

$3 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$7 000$	\|: $3 000$
${1,16}^{t}$	=	$\frac{7}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{3})$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (\frac{7}{3})$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{3})}{\lg (1,16)}$

t

=

5,7088

Nach ca. 5,709 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,098}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,098}^{t}$ ablesen: a=1.098.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.098( $2$ ) ≈ 7.41 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,07.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.07( $2$ ) ≈ 10.24 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 40 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 17 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 17 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{17}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[17]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.96, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,96}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.