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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $102\cdot {\mathrm{0,9}}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $102$

f(1) = $102$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(2) = $102$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(3) = $102$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(4) = $102$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,9}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,9}$-fache, also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,9% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 10 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 25 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.9}{100}$) ⋅ B = 0,961 ⋅ B. Somit ist das a=0,961.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,961}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $55\cdot {\mathrm{0,961}}^{10}$ ≈ 36,948.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 25 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 25:

$55\cdot {\mathrm{0,961}}^t$	=	$25$	|:$55$
${\mathrm{0,961}}^t$	=	$\frac{5}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,961}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,961}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,961}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,961}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,82}$

Nach ca. 19,82 Jahre ist also der Bestand = 25 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 20kg vorhanden. Nach 4 Tagen nach sind nur noch 13,71kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 15,1kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 13.71 kg ist, also f(4) = 13.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ ein:

$20a^4$	=	$\mathrm{13,71}$	|:$20$
$a^4$	=	$\mathrm{0,6855}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,6855}}$	≈ $-\mathrm{0,91}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,6855}}$	≈ $\mathrm{0,91}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,91}$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $20\cdot {\mathrm{0,91}}^{11}$ ≈ 7,087.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 15.1 kg ist, also f(t) = 15.1:

$20\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{15,1}$	|:$20$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{0,755}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,755}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,755}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,755}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9799}$

Nach ca. 2,98 Tage ist also der Bestand = 15.1 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. 5 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 7,49 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,9 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,91}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 7.49 Millionen Insekten ist, also f(5) = 7.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,91}}^t$ ein:

c ⋅ 0.91⁵ = 7.49

c ⋅ 0.62403 = 7.49 | : 0.62403

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $12\cdot {\mathrm{0,91}}^4$ ≈ 8,229.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.9:

$12\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{2,9}$	|:$12$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{0,2417}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2417}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2417}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2417}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,0572}$

Nach ca. 15,057 Jahre ist also der Bestand = 2.9 Millionen Insekten.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,851}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,851}}^t$ ablesen: a=0.851.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.851($\frac{1}{2}$) ≈ 4.3 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11,5% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 11.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11.5}{100}$) ⋅ B = 0,885 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,885.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.885($\frac{1}{2}$) ≈ 5.67 Tage

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,8 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.8 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,8}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$ ≈ 1.2, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$