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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $174\cdot {\mathrm{0,65}}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $174$

f(1) = $174$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(2) = $174$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(3) = $174$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(4) = $174$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,65}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,65}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,65}$-fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 9 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 209 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=9 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $9\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $9\cdot {\mathrm{1,17}}^4$ ≈ 16,865.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 209 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 209:

$9\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$209$	|:$9$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\frac{209}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{209}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\frac{209}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{209}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,0321}$

Nach ca. 20,032 Stunden ist also der Bestand = 209 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 50,57 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 50.57 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 50.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^{10}$	=	$\mathrm{50,57}$	|:$70$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,72243}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,72243}}$	≈ $-\mathrm{0,968}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,72243}}$	≈ $\mathrm{0,968}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,968}$ ≈ 0.968 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,968}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $70\cdot {\mathrm{0,968}}^7$ ≈ 55,748.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70\cdot {\mathrm{0,968}}^t$	=	$50$	|:$70$
${\mathrm{0,968}}^t$	=	$\frac{5}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,968}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,968}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,3456}$

Nach ca. 10,346 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 56,15 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 53,1 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.1}{100}$) ⋅ B = 0,989 ⋅ B. Somit ist das a=0,989.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,989}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 56.15 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 56.15. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,989}}^t$ ein:

c ⋅ 0.989⁶ = 56.15

c ⋅ 0.93579 = 56.15 | : 0.93579

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,989}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $60\cdot {\mathrm{0,989}}^9$ ≈ 54,315.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 53.1:

$60\cdot {\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{53,1}$	|:$60$
${\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{0,885}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,989}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,885}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,885}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,885}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,989}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,045}$

Nach ca. 11,045 Jahre ist also der Bestand = 53.1 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,954}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,954}}^t$ ablesen: a=0.954.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.954($\frac{1}{2}$) ≈ 14.72 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,9% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.9% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.9}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4.9}{100}$) ⋅ B = 1,049 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,049.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.049($2$) ≈ 14.49 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 23,4 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{23,4}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$