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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $101\cdot {\left(\frac{21}{20}\right)}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $101$

f(1) = $101$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(2) = $101$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(3) = $101$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(4) = $101$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{21}{20}$ multipliziert. Da $\frac{21}{20}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{21}{20}$-fache (oder auf das $\frac{105}{100}$-fache), also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 5000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 8000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^5$ ≈ 6083,265.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8000 € ist, also f(t) = 8000:

$5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$8000$	|:$5000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{8}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,9836}$

Nach ca. 11,984 Jahre ist also der Kontostand = 8000 €.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 60,84 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 71,7 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 60.84 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 60.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^{10}$	=	$\mathrm{60,84}$	|:$80$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,7605}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,7605}}$	≈ $-\mathrm{0,973}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,7605}}$	≈ $\mathrm{0,973}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,973}$ ≈ 0.973 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $80\cdot {\mathrm{0,973}}^{11}$ ≈ 59,201.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 71.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 71.7:

$80\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$\mathrm{71,7}$	|:$80$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\mathrm{0,8963}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8963}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8963}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8963}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,9998}$

Nach ca. 4 Jahre ist also der Bestand = 71.7 Millionen Einwohner.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 51,05kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,98}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 51.05 kg ist, also f(8) = 51.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,98}}^t$ ein:

c ⋅ 0.98⁸ = 51.05

c ⋅ 0.85076 = 51.05 | : 0.85076

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $60\cdot {\mathrm{0,98}}^{13}$ ≈ 46,141.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$	=	$50$	|:$60$
${\mathrm{0,98}}^t$	=	$\frac{5}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,98}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,98}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,0246}$

Nach ca. 9,025 Tage ist also der Bestand = 50 kg.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,949}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,949}}^t$ ablesen: a=0.949.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.949($\frac{1}{2}$) ≈ 13.24 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.88($\frac{1}{2}$) ≈ 5.42 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,1 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.1 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,1}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,1}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,1}}}$ ≈ 1.25, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$