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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $165\cdot {\mathrm{1,3}}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $165$

f(1) = $165$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(2) = $165$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(3) = $165$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(4) = $165$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,3}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,3}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,3}$-fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55,6 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.3}{100}$) ⋅ B = 0,987 ⋅ B. Somit ist das a=0,987.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,987}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $65\cdot {\mathrm{0,987}}^6$ ≈ 60,092.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55.6:

$65\cdot {\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{55,6}$	|:$65$
${\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{0,8554}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,987}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8554}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8554}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8554}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,987}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,9361}$

Nach ca. 11,936 Jahre ist also der Bestand = 55.6 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 12 Milionen Bakterien. 5 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 17,63Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 15,1 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 17.63 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 17.63. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^5$	=	$\mathrm{17,63}$	|:$12$
$a^5$	=	$\mathrm{1,46917}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{1,46917}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{1,46917}}$ ≈ 1.08 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $12\cdot {\mathrm{1,08}}^9$ ≈ 23,988.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 15.1 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 15.1:

$12\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$\mathrm{15,1}$	|:$12$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\mathrm{1,2583}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2583}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2583}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,2583}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9854}$

Nach ca. 2,985 Stunden ist also der Bestand = 15.1 Millionen Bakterien.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 14%. 9 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 22,76Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 9,1 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 22.76 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 22.76. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ ein:

c ⋅ 1.14⁹ = 22.76

c ⋅ 3.25195 = 22.76 | : 3.25195

c = 7

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $7\cdot {\mathrm{1,14}}^6$ ≈ 15,365.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.1 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 9.1:

$7\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$\mathrm{9,1}$	|:$7$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\mathrm{1,3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0023}$

Nach ca. 2,002 Stunden ist also der Bestand = 9.1 Millionen Bakterien.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,941}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,941}}^t$ ablesen: a=0.941.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.941($\frac{1}{2}$) ≈ 11.4 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,1% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 6.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6.1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6.1}{100}$) ⋅ B = 1,061 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,061.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.061($2$) ≈ 11.71 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^5$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$