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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Ein Hausmeister hat ein extra Budget von 600 € für die Schulreinigung in den Ferien, das er unter helfenden Schüler:innen aufteilen kann (er selbst bekommt nichts von dem Geld).

Welchen Lohn könnte er jeder Helfer:in bezahlen, wenn er 12 Helfer:innen hätte?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Helfer:in600 € Lohn
12 Helfer:innen?

Um von 1 Helfer:innen in der ersten Zeile auf 12 Helfer:innen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 12 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 600 € Lohn durch 12 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 12 Helfer:innen entspricht:

⋅ 12
1 Helfer:in600 € Lohn
12 Helfer:innen?
: 12
⋅ 12
1 Helfer:in600 € Lohn
12 Helfer:innen50 € Lohn
: 12

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Helfer:innen entspricht: 50 € Lohn

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 10 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 25 solchen CPU-Kernen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 CPU-Kerne5 ms
??
25 CPU-Kerne?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 25 sein, also der ggT(10,25) = 5.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 5 CPU-Kerne:


10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne?
25 CPU-Kerne?

Um von 10 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 5 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 2 teilen, sondern mit 2 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 5 CPU-Kerne links entspricht:

: 2

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne?
25 CPU-Kerne?

⋅ 2
: 2

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne?

⋅ 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 5 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 25 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 2
⋅ 5

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne?

⋅ 2
: 5

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 10 ms in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:

: 2
⋅ 5

10 CPU-Kerne5 ms
5 CPU-Kerne10 ms
25 CPU-Kerne2 ms

⋅ 2
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 25 CPU-Kerne entspricht: 2 ms

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 € Lospreis70 Lose
??
14 € Lospreis?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 € Lospreis:


8 € Lospreis70 Lose
2 € Lospreis?
14 € Lospreis?

Um von 8 € Lospreis in der ersten Zeile auf 2 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 70 Lose nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 € Lospreis links entspricht:

: 4

8 € Lospreis70 Lose
2 € Lospreis?
14 € Lospreis?

⋅ 4
: 4

8 € Lospreis70 Lose
2 € Lospreis280 Lose
14 € Lospreis?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 € Lospreis70 Lose
2 € Lospreis280 Lose
14 € Lospreis?

⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 280 Lose in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 € Lospreis70 Lose
2 € Lospreis280 Lose
14 € Lospreis40 Lose

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 € Lospreis entspricht: 40 Lose

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 9 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 4

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern40 ms
4 CPU-Kerne10 ms

⋅ 5
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 9 ms (für 4 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 10 ms gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 3 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.

: 5
⋅ 8

5 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kerne40 ms
8 CPU-Kerne5 ms

⋅ 5
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 3 ms (für 8 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 5 ms gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Um den noch fehlenden Betrag für eine Klassenfahrt zu bekommen, veranstaltet eine Schulkasse ein Lotterie. Wenn sie 3€ für ein Los verlangen, müssten sie 120 Lose verkaufen um genügend Geld zusammen zu bekommen.

Wie viele Lose müssten sie bei einem Lospreis von 2 € verkaufen?
Wie hoch muss man den Preis ansetzen, wenn man erwartet, das sich 5 Lose verkaufen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 € Lospreis120 Lose
??
2 € Lospreis?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € Lospreis in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 € Lospreis teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 € Lospreis:


3 € Lospreis120 Lose
1 € Lospreis?
2 € Lospreis?

Um von 3 € Lospreis in der ersten Zeile auf 1 € Lospreis in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 120 Lose nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 € Lospreis links entspricht:

: 3

3 € Lospreis120 Lose
1 € Lospreis360 Lose
2 € Lospreis?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 € Lospreis in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 € Lospreis in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 € Lospreis120 Lose
1 € Lospreis360 Lose
2 € Lospreis180 Lose

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 € Lospreis entspricht: 180 Lose



Um von 120 Lose in der ersten Zeile auf 5 Lose in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 24 teilen. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 3 € Lospreis mit 24 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Lose entspricht:

: 24
120 Lose3 € Lospreis
5 Lose?
⋅ 24
: 24
120 Lose3 € Lospreis
5 Lose72 € Lospreis
⋅ 24

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Lose entspricht: 72 € Lospreis

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 4 LKWs genau 40 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 9 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-AnzahlFahrten-Anzahl
4 LKWs40 Fahrten
( : 4 )( ⋅ 4 )
1 LKWs160 Fahrten
( ⋅ 9 )( : 9 )
9 LKWs 160 9 Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also 160 9 = 17 7 9 ≈ 17.778 Fahrten