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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 36 h.

Wie lange bräuchten 4 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person36 h
4 Personen?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 4 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 36 h durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Personen entspricht:

⋅ 4
1 Person36 h
4 Personen?
: 4
⋅ 4
1 Person36 h
4 Personen9 h
: 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Personen entspricht: 9 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 3 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 10 h.

Wie lange bräuchten 2 Personen hierfür?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


3 Personen10 h
??
2 Personen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:


3 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

Um von 3 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 3

3 Personen10 h
1 Person?
2 Personen?

⋅ 3
: 3

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen?

⋅ 3
: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 h in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3
⋅ 2

3 Personen10 h
1 Person30 h
2 Personen15 h

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Personen entspricht: 15 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
??
14 Gäste?

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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Gäste in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Gäste teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 14 sein, also der ggT(8,14) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Gäste:


8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
14 Gäste?

Um von 8 Gäste in der ersten Zeile auf 2 Gäste in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 7 Spezi-Flaschen nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Gäste links entspricht:

: 4

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste?
14 Gäste?

⋅ 4
: 4

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Gäste in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 14 Gäste in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste?

⋅ 4
: 7

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 28 Spezi-Flaschen in der mittleren Zeile durch 7 dividieren:

: 4
⋅ 7

8 Gäste7 Spezi-Flaschen
2 Gäste28 Spezi-Flaschen
14 Gäste4 Spezi-Flaschen

⋅ 4
: 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 14 Gäste entspricht: 4 Spezi-Flaschen

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 12 ms den 4 CPU-Kerne entsprechen.

: 7
⋅ 4

7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kern56 ms
4 CPU-Kerne14 ms

⋅ 7
: 4

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 12 ms (für 4 CPU-Kerne) war also falsch, richtig wäre 14 ms gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 7 ms den 8 CPU-Kerne entsprechen.

: 7
⋅ 8

7 CPU-Kerne8 ms
1 CPU-Kerne56 ms
8 CPU-Kerne7 ms

⋅ 7
: 8

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 7 ms (für 8 CPU-Kerne) war also korrekt.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Wenn Karla mit ihrem Handy jeden Tag immer 4 Minuten telefonieren würde, würden ihre Freiminuten noch genau 6 Tage halten.

Wann wären ihre Freiminuten aufgebraucht, wenn sie täglich 3 min telefonieren würde?
Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 4 Tage reichen sollen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


4 Minuten pro Tag6 Tage
??
3 Minuten pro Tag?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten pro Tag in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Minuten pro Tag teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Minuten pro Tag:


4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag?
3 Minuten pro Tag?

Um von 4 Minuten pro Tag in der ersten Zeile auf 1 Minuten pro Tag in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 6 Tage nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Minuten pro Tag links entspricht:

: 4

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Minuten pro Tag in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Minuten pro Tag in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4
⋅ 3

4 Minuten pro Tag6 Tage
1 Minute pro Tag24 Tage
3 Minuten pro Tag8 Tage

⋅ 4
: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Minuten pro Tag entspricht: 8 Tage



Für die andere Frage (Wie lange kann sie täglich telefonieren, wenn die Freiminuten 4 Tage reichen sollen?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "Tage"-Werte haben und nach einem "Minuten pro Tag"-Wert gesucht wird:


6 Tage4 Minuten pro Tag
??
4 Tage?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Tage in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 Tage teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 4 sein, also der ggT(6,4) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 Tage:


6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage?
4 Tage?

Um von 6 Tage in der ersten Zeile auf 2 Tage in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 4 Minuten pro Tag nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 2 Tage links entspricht:

: 3

6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage12 Minuten pro Tag
4 Tage?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 Tage in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 4 Tage in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3
⋅ 2

6 Tage4 Minuten pro Tag
2 Tage12 Minuten pro Tag
4 Tage6 Minuten pro Tag

⋅ 3
: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Tage entspricht: 6 Minuten pro Tag

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h fliegt, braucht sie dafür 12 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 42 km/h?

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

GeschwindigkeitFlugzeit
20 km/h12 min
( : 20 )( ⋅ 20 )
1 km/h240 min
( ⋅ 42 )( : 42 )
42 km/h 240 42 min

Die gesuchte Flugzeit ist also 240 42 = 40 7 = 5 5 7 ≈ 5.714 min