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Zweisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn eine Person das Schulhaus putzt, braucht sie dafür 30 h.

Wie lange bräuchten 5 Personen hierfür?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Person	30 h
5 Personen	?

Um von 1 Personen in der ersten Zeile auf 5 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 5 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 30 h durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 5 Personen entspricht:

⋅ 5

1 Person	30 h
5 Personen	?

: 5

⋅ 5

1 Person	30 h
5 Personen	6 h

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Personen entspricht: 6 h

Dreisatz (antiproportional)

Beispiel:

Wenn 4 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 15 h.

Wie lange bräuchten 3 Personen hierfür?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Personen	15 h
?	?
3 Personen	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 3 sein, also der ggT(4,3) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Personen:

4 Personen	15 h
1 Person	?
3 Personen	?

Um von 4 Personen in der ersten Zeile auf 1 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 15 h nicht durch 4 teilen, sondern mit 4 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Personen links entspricht:

: 4

4 Personen	15 h
1 Person	?
3 Personen	?

⋅ 4

: 4

4 Personen	15 h
1 Person	60 h
3 Personen	?

⋅ 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Personen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 3 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 4

⋅ 3

4 Personen	15 h
1 Person	60 h
3 Personen	?

⋅ 4

: 3

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 60 h in der mittleren Zeile durch 3 dividieren:

: 4

⋅ 3

4 Personen	15 h
1 Person	60 h
3 Personen	20 h

⋅ 4

: 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Personen entspricht: 20 h

Tabelle (antiproportional)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

3 Lastwagen	10 Fuhren
?	?
2 Lastwagen	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Lastwagen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3 Lastwagen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 3 und von 2 sein, also der ggT(3,2) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Lastwagen:

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	?
2 Lastwagen	?

Um von 3 Lastwagen in der ersten Zeile auf 1 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 10 Fuhren nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Lastwagen links entspricht:

: 3

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	?
2 Lastwagen	?

⋅ 3

: 3

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	30 Fuhren
2 Lastwagen	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Lastwagen in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 2 Lastwagen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 2

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	30 Fuhren
2 Lastwagen	?

⋅ 3

: 2

Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 30 Fuhren in der mittleren Zeile durch 2 dividieren:

: 3

⋅ 2

3 Lastwagen	10 Fuhren
1 Lastwagen	30 Fuhren
2 Lastwagen	15 Fuhren

⋅ 3

: 2

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 2 Lastwagen entspricht: 15 Fuhren

Antiproportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte so, dass der Zusammenhang antiproportional wird.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 1800 km den 2 Liter pro 100km entsprechen.

: 3

⋅ 2

3 Liter pro 100km	1200 km
1 Liter pro 100km	3600 km
2 Liter pro 100km	1800 km

⋅ 3

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1800 km(für 2 Liter pro 100km) war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 598 km den 6 Liter pro 100km entsprechen.

: 1

⋅ 2

3 Liter pro 100km	1200 km
3 Liter pro 100km	1200 km
6 Liter pro 100km	600 km

⋅ 1

: 2

Der urpsrünglich vorgegebene Wert 598 km (für 6 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 600 km gewesen.

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Beispiel:

Zur Berechnung einer komplizierten Verschlüsselung muss ein Computer mit 9 CPU-Kernen 5 ms rechnen.

Wie lange bräuchte ein Computer mit 15 solchen CPU-Kernen?
Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 9 ms rechnen könnte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

9 CPU-Kerne	5 ms
?	?
15 CPU-Kerne	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die CPU-Kerne in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 CPU-Kerne teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 CPU-Kerne:

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	?
15 CPU-Kerne	?

Um von 9 CPU-Kerne in der ersten Zeile auf 3 CPU-Kerne in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 ms nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 CPU-Kerne links entspricht:

: 3

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	15 ms
15 CPU-Kerne	?

⋅ 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 CPU-Kerne in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 CPU-Kerne in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 3

⋅ 5

9 CPU-Kerne	5 ms
3 CPU-Kerne	15 ms
15 CPU-Kerne	3 ms

⋅ 3

: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 CPU-Kerne entspricht: 3 ms

Für die andere Frage (Wie viele CPU-Kerne bräuchte der Computer, wenn er es in 9 ms rechnen könnte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ms"-Werte haben und nach einem "CPU-Kerne"-Wert gesucht wird:

5 ms	9 CPU-Kerne
?	?
9 ms	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ms in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 ms teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 9 sein, also der ggT(5,9) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 ms:

5 ms	9 CPU-Kerne
1 ms	?
9 ms	?

Um von 5 ms in der ersten Zeile auf 1 ms in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 CPU-Kerne nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 ms links entspricht:

: 5

5 ms	9 CPU-Kerne
1 ms	45 CPU-Kerne
9 ms	?

⋅ 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 ms in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 ms in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:

: 5

⋅ 9

5 ms	9 CPU-Kerne
1 ms	45 CPU-Kerne
9 ms	5 CPU-Kerne

⋅ 5

: 9

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 ms entspricht: 5 CPU-Kerne

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Drohne muss eine bestimmte Strecke zurücklegen. Wenn sie dabei mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fliegt, braucht sie dafür 4 Minuten.Wie lange braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 38 km/h?

Lösung einblenden

Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

Geschwindigkeit	Flugzeit
50 km/h	4 min
( : 50 )	( ⋅ 50 )
1 km/h	$200$ min
( ⋅ 38 )	( : 38 )
38 km/h	$\frac{200}{38}$ min

Die gesuchte Flugzeit ist also $\frac{200}{38}$ = $\frac{100}{19}$ = 5 $\frac{5}{19}$ ≈ 5.263 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz (antiproportional)

Dreisatz (antiproportional)

Tabelle (antiproportional)

Antiproportionalität überprüfen

Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)