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Punkte auf Normalparabel

Beispiel:

Überprüfe, ob die Punkte auf der (nach oben geöffneten) Normalparabel mit dem Scheitel S(0|0) liegen .
A(3|9), B( $\sqrt{4}$ | $4$ ), C(-0.9|8.1), D( $\frac{7}{5}$ | $\frac{49}{25}$ )

Lösung einblenden

A(3|9) liegt auf der Normalparabel, weil y= $3^{2}$ =9.

B( $\sqrt{4}$ | $4$ ) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(\sqrt{4})}^{2}$ = $4$ .

C(-0.9|8.1) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- 0,9)}^{2}$ =0.81 ≠ 8.1.

D( $\frac{7}{5}$ | $\frac{49}{25}$ ) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(\frac{7}{5})}^{2}$ = $\frac{49}{25}$ .

Verschiebung nur in y-Richtung

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(0|-2) liegt.

Die Parabel ist um -2 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ $x^{2} + e$ , in diesem Fall mit e= -2.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ $x^{2} - 2$ .

Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine verschobene Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(-1|0) liegt.

Die Parabel ist also um -1 Einheiten in x-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ ${(x - d)}^{2}$ , in diesem Fall mit d= -1.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ ${(x + 1)}^{2}$ .

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer verschobenen Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(1|1) liegt.

Eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil ${(x - d)}^{2}$ nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die verschobene Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= ${(x - 1)}^{2} + 1$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ $x^{2} + 7$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ $x^{2} + 7$ ist ein Spezialfall von $x^{2} + e$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=7. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|7).

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 1)}^{2} - 7$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 1)}^{2} - 7$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-1 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = -7. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-1|-7).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(0|y) liegt auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel mit Scheitel S(-1|3). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x + 1)}^{2} + 3$ sein.

Setzt man nun x=0 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(0 + 1)}^{2} + 3$ = $1 + 3$ = $4$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 1 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine verschobene Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 1²=1 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 1 drauf addiert, also y = 3+1 = 4.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(0|4).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkte auf Normalparabel

Verschiebung nur in y-Richtung

Term aus Schaubild (einfach)

Term aus Schaubild - Normalparabel

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Weiterer Wert bei Normalparabel

1. Weg

2. Weg