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Punkte auf Normalparabel

Beispiel:

Überprüfe, ob die Punkte auf der (nach oben geöffneten) Normalparabel mit dem Scheitel S(0|0) liegen .
A(0.6|3.6), B( $- \frac{4}{5}$ | $\frac{16}{5}$ ), C( $- \sqrt{8}$ | $- 8$ ), D(-1|1)

Lösung einblenden

A(0.6|3.6) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${0,6}^{2}$ =0.36 ≠ 3.6.

B( $- \frac{4}{5}$ | $\frac{16}{5}$ ) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- \frac{4}{5})}^{2}$ = $\frac{16}{25}$ ≠ $\frac{16}{5}$ .

C( $- \sqrt{8}$ | $- 8$ ) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- \sqrt{8})}^{2}$ = $8$ ≠ $- 8$ .

D(-1|1) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(- 1)}^{2}$ =1.

Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine verschobene Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(-3|0) liegt.

Die Parabel ist also um -3 Einheiten in x-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ ${(x - d)}^{2}$ , in diesem Fall mit d= -3.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ ${(x + 3)}^{2}$ .

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer verschobenen Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(-1|-1) liegt.

Eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil - ${(x - d)}^{2}$ nie größer Null werden kann, muss der größte Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu - ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die verschobene Normalparabel nach unten geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= $- {(x + 1)}^{2} - 1$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 5)}^{2}$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 5)}^{2}$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2}$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=-5 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=0. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-5|0).

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x - 1)}^{2} - 5$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x - 1)}^{2} - 5$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=1 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = -5. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(1|-5).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(1|y) liegt auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel mit Scheitel S(-1|2). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x + 1)}^{2} + 2$ sein.

Setzt man nun x=1 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(1 + 1)}^{2} + 2$ = $4 + 2$ = $6$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 2 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine verschobene Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 2²=4 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 4 drauf addiert, also y = 2+4 = 6.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(1|6).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkte auf Normalparabel

Term aus Schaubild (einfach)

Term aus Schaubild - Normalparabel

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Weiterer Wert bei Normalparabel

1. Weg

2. Weg