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Punkte auf Normalparabel

Beispiel:

Überprüfe, ob die Punkte auf der (nach oben geöffneten) Normalparabel mit dem Scheitel S(0|0) liegen .
A(1.1|0.121), B(-5|-10), C( $\sqrt{7}$ |49), D( $- \frac{8}{9}$ | $\frac{64}{81}$ )

Lösung einblenden

A(1.1|0.121) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${1,1}^{2}$ =1.21 ≠ 0.121.

B(-5|-10) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(- 5)}^{2}$ =25 ≠ -10.

C( $\sqrt{7}$ |49) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${(\sqrt{7})}^{2}$ = $7$ ≠ 49.

D( $- \frac{8}{9}$ | $\frac{64}{81}$ ) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${(- \frac{8}{9})}^{2}$ = $\frac{64}{81}$ .

Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine verschobene Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(-1|0) liegt.

Die Parabel ist also um -1 Einheiten in x-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ ${(x - d)}^{2}$ , in diesem Fall mit d= -1.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ ${(x + 1)}^{2}$ .

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer verschobenen Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

Lösung einblenden

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(4|2) liegt.

Eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil ${(x - d)}^{2}$ nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die verschobene Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= ${(x - 4)}^{2} + 2$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 7$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm $y =$ $x^{2} - 7$ ist ein Spezialfall von $x^{2} + e$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=-7. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|-7).

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 9)}^{2} - 9$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 9)}^{2} - 9$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=-9 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = -9. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-9|-9).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(2|y) liegt auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel mit Scheitel S(-1|-3). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x + 1)}^{2} - 3$ sein.

Setzt man nun x=2 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(2 + 1)}^{2} - 3$ = $9 - 3$ = $6$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 3 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine verschobene Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 3²=9 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 9 drauf addiert, also y = -3+9 = 6.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(2|6).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkte auf Normalparabel

Term aus Schaubild (einfach)

Term aus Schaubild - Normalparabel

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Weiterer Wert bei Normalparabel

1. Weg

2. Weg