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Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 6; ⬜; 1; 3; 14 haben den Mittelwert 7.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

Lösung einblenden

Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

6+⬜+1+3+14 5 = 7

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

24+⬜ 5 = 7

Wenn wir die Summe im Zähler durch 5 teilen, erhalten wir 7.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 5-fache von 7, also 5 ⋅ 7 = 35 sein, also ...

24 + ⬜ = 35

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 35 - 24 sein muss.

⬜ = 11

Zentralwert und Quartile (geordnet)

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Zentralwert, das untere und das obere Quartil sowie den Quartilabstand.

  • 3
  • 23
  • 35
  • 35
  • 38
  • 38
  • 60
  • 76
  • 84
  • 86
  • 90
  • 95
  • 96

Lösung einblenden

Da die Datenliste ja bereits sortiert ist, können wir gleich die Werte suchen:

  1. -> 3
  2. -> 23
  3. -> 35
  4. -> 35
  5. -> 38
  6. -> 38
  7. -> 60
  8. -> 76
  9. -> 84
  10. -> 86
  11. -> 90
  12. -> 95
  13. -> 96

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert einfach den mittleren (hier also den 7.) Wert der Liste nehmen, also 60.

Das untere Quartil ist der Wert, der das kleinste Viertel vom zweit-kleinsten Viertel trennt. Da die Liste ja 13 Werte hat, schauen wir die Werte nach einem Viertel von 13, also bei 13 : 4 = 3,25 an.
Da es ja keinen 3,25. Wert gibt, nimmt man als unteres Quartil immer den nächst größeren Wert, also den 4. Wert der Liste. Das untere Quartil ist somit 35.
Das obere Quartil ist der Wert, der das größte Viertel vom zweit-größten Viertel trennt. Da die Liste ja 13 Werte hat, schauen wir die Werte nach Dreiviertel von 13, also bei 13 ⋅ 3 4 = 9,75 an.
Da es ja auch keinen 9,75. Wert gibt, nimmt man als oberes Quartil immer den nächst größeren Wert, also den 10. Wert der Liste. Das obere Quartil ist somit 86.
Den Quartilabstand berechnen wir nun einfach als die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also hier Q = 86 - 35 = 51

Zentralwert und Quartile

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Zentralwert, das untere und das obere Quartil sowie den Quartilabstand.

  • 677
  • 480
  • 646
  • 320
  • 895
  • 372
  • 715
  • 407
  • 672
  • 46

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

  1. -> 46
  2. -> 320
  3. -> 372
  4. -> 407
  5. -> 480
  6. -> 646
  7. -> 672
  8. -> 677
  9. -> 715
  10. -> 895

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 480) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 646) berechnen.
also (480+646):2 = 563

Das untere Quartil ist der Wert, der das kleinste Viertel vom zweit-kleinsten Viertel trennt. Da die Liste ja 10 Werte hat, schauen wir die Werte nach einem Viertel von 10, also bei 10 : 4 = 2,5 an.
Da es ja keinen 2,5. Wert gibt, nimmt man als unteres Quartil immer den nächst größeren Wert, also den 3. Wert der Liste. Das untere Quartil ist somit 372.
Das obere Quartil ist der Wert, der das größte Viertel vom zweit-größten Viertel trennt. Da die Liste ja 10 Werte hat, schauen wir die Werte nach Dreiviertel von 10, also bei 10 ⋅ 3 4 = 7,5 an.
Da es ja auch keinen 7,5. Wert gibt, nimmt man als oberes Quartil immer den nächst größeren Wert, also den 8. Wert der Liste. Das obere Quartil ist somit 677.
Den Quartilabstand berechnen wir nun einfach als die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also hier Q = 677 - 372 = 305

Werte aus Boxplot ablesen

Beispiel:

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Lese am abgebildeten Boxplot das Minimum, das Maximun, den Zentralwert, das untere und das obere Quartil ab.

Lösung einblenden

Das Minimum und Maximum lässt sich ja recht einfach an den Antennen des Boxplots (äußerste senkrechte Striche) anlesen:
Minimum: 7
Maximum: 37

Den Zentralwert erkennt man an dem senkrechten Strich innerhalb der Box (also dem Rechtecks zwischen den Antennen):
Zentralwert: 22

Das untere Quartil kann man an der linken Begrenzung der Box, das obere Quartil an der rechten Begrenzug der Box ablesen:
Unteres Quartil: 14
Oberes Quartil: 31