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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 2 x - 2$ .

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 2$ = $1 - 2 - 2$ = -3

also: S(1|-3).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $2 x^{2} + 8 x + 2$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $2 x^{2} + 8 x + 2$

= $2 (x^{2} + 4 x) + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2 (x^{2} + 4 x + 4 - 4) + 2$

= $2 (x^{2} + 4 x + 4) + 2 \cdot (- 4) + 2$

= $2 {(x + 2)}^{2} - 8 + 2$

= $2 {(x + 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2 x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2 x^{2} + 8 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2 x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = $2 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + 2$ = $8 - 16 + 2$ = -6

also: S(-2|-6).

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-2|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-2): -2 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-2 = 4 -2b +c |-4

-2 = -1b +c
-6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 6$
$c - 2 b$	=	$- 6$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 6 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 6 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 + 2 b)$	=	$- 2$
$- b - 6 + 2 b$	=	$- 2$
$b - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 2 \cdot 4$

= $- 6 + 8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(1|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
5 = 1 +1b +c |-1

-8 = -1b +c
4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ b & + c & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$4$
$c + b$	=	$4$	\| $- b$
$c$	=	$4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (4 - b)$	=	$- 8$
$- b + 4 - b$	=	$- 8$
$- 2 b + 4$	=	$- 8$	\| $- 4$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4 - 6$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(-3|-11).

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x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

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ax²+bx+c -> Scheitelform

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

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