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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 +8x +1 .

Lösung einblenden

1. Weg

y= x 2 +8x +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +8x +16 -16 +1

= ( x +4 ) 2 -16 +1

= ( x +4 ) 2 -15

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +8x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ( -4 ) 2 +8( -4 ) +1 = 16 -32 +1 = -15

also: S(-4|-15).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= 1 2 x 2 -3x +3 .

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1. Weg

y= 1 2 x 2 -3x +3

= 1 2 ( x 2 -6x ) +3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 -6x +9 -9 ) +3

= 1 2 ( x 2 -6x +9 ) + 1 2 · ( -9 ) +3

= 1 2 ( x -3 ) 2 - 9 2 +3

= 1 2 ( x -3 ) 2 - 3 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-1.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 -3x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 -3x +3 nur um 3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 -3x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 -3x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 -3x ) = 0
x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = 1 2 3 2 -33 +3 = 9 2 -9 +3 = -1.5

also: S(3|-1.5).


quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-2|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-2): -2 = ( - 2 )2 + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-2 = 4 -2b +c |-4


-2 = -1b +c
-6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = -2 (I) -2b +c = -6 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

-2b + c = -6
c -2b = -6 | +2b
c = -6 +2b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = -2 (I) +c = ( -6 +2b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -6 +2b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( -6 +2b ) = -2
-b -6 +2b = -2
b -6 = -2 | +6
b = 4

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -6 +24

= -6 +8

= 2

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b=4 und c=2 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +4x +2

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(1|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(1|6): 6 = 12 + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
6 = 1 +1b +c |-1


-7 = -1b +c
5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = -7 (I) b +c = 5 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

b + c = 5
c + b = 5 | - b
c = 5 - b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = -7 (I) +c = ( 5 - b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( 5 - b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( 5 - b ) = -7
-b +5 - b = -7
-2b +5 = -7 | -5
-2b = -12 |:(-2 )
b = 6

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = 5 - 6

= -1

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b=6 und c=-1 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +6x -1

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 +6x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +6x +9 -9 -1

= ( x +3 ) 2 -9 -1

= ( x +3 ) 2 -10

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-10).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +6x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +6x = 0
x ( x +6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +6 = 0 | -6
x2 = -6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ( -3 ) 2 +6( -3 ) -1 = 9 -18 -1 = -10

also: S(-3|-10).