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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Ausklammern (nur Zahlen)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $3 x + 18$

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$3 x + 18$

= $3 \cdot x + 3 \cdot 6$

Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor $3$ ausklammern und erhalten:

= $3 (x + 6)$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- x^{2} + 3 x$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 3 x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $- 1 \cdot x \cdot x + 3 x$

Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor x ausklammern und erhalten:

= $x \cdot (- x + 3)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- a b^{2} + 3 a b$

Lösung einblenden

$- a b^{2} + 3 a b$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- a \cdot b \cdot b + 3 a \cdot b$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $a \cdot b$ vorkommt.

Wir können also $a \cdot b$ ausklammern.

= $a \cdot b \cdot (- b + 3)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 6 s^{2} + 3 s + 3 r s$

Lösung einblenden

$- 6 s^{2} + 3 s + 3 r s$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 6 s \cdot s + 3 s + 3 r \cdot s$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $s$ vorkommt.

Wir können also $s$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $3$ ausklammern, weil die $3$ auch in $- 6$ = $3$ ⋅ $(- 2)$ vorkommt.

= $3 s \cdot (- 2 s + 1 + r)$

Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x \cdot (4 x - 3)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren den ersten Faktor $4 x$ mit der Summe $4 x - 3$ indem wir $4 x$ mit jedem Summanden von $4 x - 3$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$4 x \cdot (4 x - 3)$
= $4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot (- 3)$
= $16 x \cdot x - 12 x$
= $16 x^{2} - 12 x$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(2 y - 2 x) \cdot (6 y + 2 x)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(2 y - 2 x) \cdot (6 y + 2 x)$
= $2 y \cdot 6 y + 2 y \cdot 2 x - 2 x \cdot 6 y - 2 x \cdot 2 x$
= $12 y^{2} + 4 y x - 12 y x - 4 x^{2}$
= $12 y^{2} - 8 y \cdot x - 4 x^{2}$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(\frac{1}{3} x + 5) \cdot (x - 3)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $\frac{1}{3} x + 5$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $x - 3$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(\frac{1}{3} x + 5) \cdot (x - 3)$
= $\frac{1}{3} x \cdot x + \frac{1}{3} x \cdot (- 3) + 5 \cdot x + 5 \cdot (- 3)$
= $\frac{1}{3} x \cdot x - x + 5 x - 15$
= $\frac{1}{3} x^{2} + 4 x - 15$