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Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 \cdot (- 5 x + 4)$

Wir multiplizieren den ersten Faktor $4$ mit der Summe $- 5 x + 4$ indem wir $4$ mit jedem Summanden von $- 5 x + 4$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$4 \cdot (- 5 x + 4)$
= $4 \cdot (- 5 x) + 4 \cdot 4$
= $- 20 x + 16$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- x^{2} - 4 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$- x^{2} - 4 x$

= $- 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 4 x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $- 1 \cdot x \cdot x - 1 \cdot 4 x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $- 1$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $- x \cdot (x + 4)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $3 u^{2} v^{2} + 3 u^{2} v$

Lösung einblenden

$3 u^{2} v^{2} + 3 u^{2} v$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $3 u \cdot u \cdot v \cdot v + 3 u \cdot u \cdot v$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $u \cdot u \cdot v$ vorkommt.

Wir können also $u \cdot u \cdot v$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $3$ ausklammern

= $3 u \cdot u \cdot v \cdot (v + 1)$

= $3 u^{2} v (v + 1)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $6 r^{2} - 2 r^{2} s + 4 r s$

Lösung einblenden

$6 r^{2} - 2 r^{2} s + 4 r s$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $6 r \cdot r - 2 r \cdot r \cdot s + 4 r \cdot s$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $r$ vorkommt.

Wir können also $r$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $2$ ausklammern, weil die $2$ auch in $6$ = $2$ ⋅ $3$ und in $4$ = $2$ ⋅ $2$ vorkommt.

= $2 r \cdot (3 r - r s + 2 s)$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(2 + 3 b) \cdot (6 a + 4 b)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(2 + 3 b) \cdot (6 a + 4 b)$
= $2 \cdot 6 a + 2 \cdot 4 b + 3 b \cdot 6 a + 3 b \cdot 4 b$
= $12 a + 8 b + 18 a b + 12 b^{2}$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(\frac{1}{4} x + 10) \cdot (\frac{1}{2} x - 8)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $\frac{1}{4} x + 10$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $\frac{1}{2} x - 8$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(\frac{1}{4} x + 10) \cdot (\frac{1}{2} x - 8)$
= $\frac{1}{4} x \cdot \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x \cdot (- 8) + 10 \cdot \frac{1}{2} x + 10 \cdot (- 8)$
= $\frac{1}{8} x \cdot x - 2 x + 5 x - 80$
= $\frac{1}{8} x^{2} + 3 x - 80$