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Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 \cdot (2 x - 4 - x^{2})$

Wir multiplizieren den ersten Faktor $3$ mit der Summe $2 x - 4 - x^{2}$ indem wir $3$ mit jedem Summanden von $2 x - 4 - x^{2}$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$3 \cdot (2 x - 4 - x^{2})$
= $3 \cdot 2 x + 3 \cdot (- 4) + 3 \cdot (- x^{2})$
= $6 x - 12 - 3 x^{2}$
= $- 3 x^{2} + 6 x - 12$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $4 x^{2} + 8 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$4 x^{2} + 8 x$

= $4 \cdot x^{2} + 4 \cdot 2 x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $4 \cdot x \cdot x + 4 \cdot 2 x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $4$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $4 x \cdot (x + 2)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 2 d^{2} + 6 c d$

Lösung einblenden

$- 2 d^{2} + 6 c d$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 2 d \cdot d + 6 c \cdot d$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $d$ vorkommt.

Wir können also $d$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $2$ ausklammern, weil die $2$ auch in $6$ = $2$ ⋅ $3$ vorkommt.

= $2 d \cdot (- d + 3 c)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- b^{2} - 2 a b^{2} + 2 a b$

Lösung einblenden

$- b^{2} - 2 a b^{2} + 2 a b$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- b \cdot b - 2 a \cdot b \cdot b + 2 a \cdot b$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $b$ vorkommt.

Wir können also $b$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $- 1$ ausklammern, weil die $- 1$ auch in $- 2$ = $- 1$ ⋅ $2$ und in $2$ = $- 1$ ⋅ $(- 2)$ vorkommt.

= $- b \cdot (b + 2 a b - 2 a)$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(5 c + 3 d) \cdot (4 c - 3)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(5 c + 3 d) \cdot (4 c - 3)$
= $5 c \cdot 4 c + 5 c \cdot (- 3) + 3 d \cdot 4 c + 3 d \cdot (- 3)$
= $20 c^{2} - 15 c + 12 c d - 9 d$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(\frac{1}{2} x + 12) \cdot (\frac{1}{2} x - 2)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $\frac{1}{2} x + 12$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $\frac{1}{2} x - 2$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(\frac{1}{2} x + 12) \cdot (\frac{1}{2} x - 2)$
= $\frac{1}{2} x \cdot \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x \cdot (- 2) + 12 \cdot \frac{1}{2} x + 12 \cdot (- 2)$
= $\frac{1}{4} x \cdot x - x + 6 x - 24$
= $\frac{1}{4} x^{2} + 5 x - 24$