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Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 \cdot (3 x - 5 + 2 x^{2})$

Wir multiplizieren den ersten Faktor $2$ mit der Summe $3 x - 5 + 2 x^{2}$ indem wir $2$ mit jedem Summanden von $3 x - 5 + 2 x^{2}$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$2 \cdot (3 x - 5 + 2 x^{2})$
= $2 \cdot 3 x + 2 \cdot (- 5) + 2 \cdot 2 x^{2}$
= $6 x - 10 + 4 x^{2}$
= $4 x^{2} + 6 x - 10$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $3 x^{2} + 3 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$3 x^{2} + 3 x$

= $3 \cdot x^{2} + 3 \cdot x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $3 \cdot x \cdot x + 3 \cdot x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $3$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $3 x \cdot (x + 1)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $3 a - 6 a b$

Lösung einblenden

$3 a - 6 a b$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $3 a - 6 a \cdot b$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $a$ vorkommt.

Wir können also $a$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $3$ ausklammern, weil die $3$ auch in $- 6$ = $3$ ⋅ $(- 2)$ vorkommt.

= $3 a \cdot (1 - 2 b)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 6 u - 9 u^{2} v + 9 u v$

Lösung einblenden

$- 6 u - 9 u^{2} v + 9 u v$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 6 u - 9 u \cdot u \cdot v + 9 u \cdot v$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $u$ vorkommt.

Wir können also $u$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $- 3$ ausklammern, weil die $- 3$ sowohl in $- 6$ = $- 3$ ⋅ $2$ als auch in $- 9$ = $- 3$ ⋅ $3$ und in $9$ = $- 3$ ⋅ $(- 3)$ vorkommt.

= $- 3 u \cdot (2 + 3 u v - 3 v)$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(5 + 2 s) \cdot (7 r - 1)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(5 + 2 s) \cdot (7 r - 1)$
= $5 \cdot 7 r + 5 \cdot (- 1) + 2 s \cdot 7 r + 2 s \cdot (- 1)$
= $35 r - 5 + 14 r s - 2 s$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(\frac{1}{5} x - 6) \cdot (x + 15)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $\frac{1}{5} x - 6$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $x + 15$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(\frac{1}{5} x - 6) \cdot (x + 15)$
= $\frac{1}{5} x \cdot x + \frac{1}{5} x \cdot 15 - 6 \cdot x - 6 \cdot 15$
= $\frac{1}{5} x \cdot x + 3 x - 6 x - 90$
= $\frac{1}{5} x^{2} - 3 x - 90$