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Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 \cdot (- x + 5 + 2 x^{2})$

Wir multiplizieren den ersten Faktor $- 2$ mit der Summe $- x + 5 + 2 x^{2}$ indem wir $- 2$ mit jedem Summanden von $- x + 5 + 2 x^{2}$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$- 2 \cdot (- x + 5 + 2 x^{2})$
= $- 2 \cdot (- x) - 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 x^{2}$
= $2 x - 10 - 4 x^{2}$
= $- 4 x^{2} + 2 x - 10$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 5 x^{2} - 2 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$- 5 x^{2} - 2 x$

= $- 1 \cdot 5 x^{2} - 1 \cdot 2 x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $- 1 \cdot 5 \cdot x \cdot x - 1 \cdot 2 x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $- 1$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $- x \cdot (5 x + 2)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 3 a^{2} + 9 a$

Lösung einblenden

$- 3 a^{2} + 9 a$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 3 a \cdot a + 9 a$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $a$ vorkommt.

Wir können also $a$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $3$ ausklammern, weil die $3$ auch in $9$ = $3$ ⋅ $3$ vorkommt.

= $3 a \cdot (- a + 3)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $2 u^{2} - 3 u^{2} v + 2 u v$

Lösung einblenden

$2 u^{2} - 3 u^{2} v + 2 u v$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $2 u \cdot u - 3 u \cdot u \cdot v + 2 u \cdot v$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $u$ vorkommt.

Wir können also $u$ ausklammern.

= $u \cdot (2 u - 3 u v + 2 v)$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(7 - 5 x) \cdot (4 + 3 x)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(7 - 5 x) \cdot (4 + 3 x)$
= $7 \cdot 4 + 7 \cdot 3 x - 5 x \cdot 4 - 5 x \cdot 3 x$
= $28 + 21 x - 20 x - 15 x^{2}$
= $28 + x - 15 x^{2}$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(\frac{1}{3} x + 15) \cdot (\frac{1}{3} x + 6)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $\frac{1}{3} x + 15$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $\frac{1}{3} x + 6$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(\frac{1}{3} x + 15) \cdot (\frac{1}{3} x + 6)$
= $\frac{1}{3} x \cdot \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} x \cdot 6 + 15 \cdot \frac{1}{3} x + 15 \cdot 6$
= $\frac{1}{9} x \cdot x + 2 x + 5 x + 90$
= $\frac{1}{9} x^{2} + 7 x + 90$