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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 37}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 592}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 6 x + \frac{37}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (\frac{37}{4})$ = $9$ $-$ $\frac{37}{4}$ = $\frac{36}{4}$ $-$ $\frac{37}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 2 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x - 63$ = 0

D = $1^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 1$ - $8$ = -9

x₂ = $- 1$ + $8$ = 7

L = { $- 9$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x + x^{2}$ = $24$

Lösung einblenden

x^{2} - 5 x

=

24

|

- 24

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L={ $- 3$ ; $8$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 3 x$ = $18$

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x$ = $18$ | - ( $18$ )

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

sortieren

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L = { $- 6$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 31 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{31+29}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{31-29}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 31 x + 6$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{10})}^{2} - (\frac{6}{5})$ = $\frac{961}{100}$ $-$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{961}{100}$ $-$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{841}{100}$

x_1,2 = $\frac{31}{10}$ ± $\sqrt{\frac{841}{100}}$

x₁ = $\frac{31}{10}$ - $\frac{29}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

x₂ = $\frac{31}{10}$ + $\frac{29}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $0,2$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 4 x - 6$ = $(2 x + 1) (x + 2) + 7 x - 23$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + 4 x - 6$	=	$(2 x + 1) (x + 2) + 7 x - 23$
$3 x^{2} + 4 x - 6$	=	$2 x^{2} + 5 x + 2 + 7 x - 23$
$3 x^{2} + 4 x - 6$	=	$2 x^{2} + 12 x - 21$	\| $- 2 x^{2}$ $- 12 x$ $+ 21$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 500$ = 0

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + 500$	=	0	\| $- 500$
$- 5 x^{2}$	=	$- 500$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

L={ $- 10$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

reinquadratisch (+ Umformungen)