Mathebattle EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 32 x + 16$ = 0

16 x^{2} - 32 x + 16

= 0 |:16

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 100$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 100$ = 0

D = $0^{2} - (- 100)$ = $0$ $+$ $100$ = $100$

x_1,2 = $0$ ± $\sqrt{100}$

x₁ = $0$ - $10$ = -10

x₂ = $0$ + $10$ = 10

L = { $- 10$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 36 - 24 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 24 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 + 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{1 296}}{10}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{1 296}}{10}$ = $\frac{24+36}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{1 296}}{10}$ = $\frac{24-36}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 24 x - 36$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{24}{5} x - \frac{36}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{12}{5})}^{2} - (- \frac{36}{5})$ = $\frac{144}{25}$ $+$ $\frac{36}{5}$ = $\frac{144}{25}$ $+$ $\frac{180}{25}$ = $\frac{324}{25}$

x_1,2 = $\frac{12}{5}$ ± $\sqrt{\frac{324}{25}}$

x₁ = $\frac{12}{5}$ - $\frac{18}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ = -1.2

x₂ = $\frac{12}{5}$ + $\frac{18}{5}$ = $\frac{30}{5}$ = 6

L={ $- 1,2$ ; $6$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x + x^{2}$ = $40$

Lösung einblenden

$3 x + x^{2}$ = $40$ | - ( $40$ )

$3 x + x^{2} - 40$ = 0

sortieren

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L = { $- 8$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 9 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 9+11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 9-11}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 10$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 9 x - 9$ = $(4 x + 5) (x + 6) - 38 x - 23$

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 9 x - 9$	=	$(4 x + 5) (x + 6) - 38 x - 23$
$5 x^{2} - 9 x - 9$	=	$4 x^{2} + 29 x + 30 - 38 x - 23$
$5 x^{2} - 9 x - 9$	=	$4 x^{2} - 9 x + 7$	\| $+ 9$
$5 x^{2} - 9 x$	=	$4 x^{2} - 9 x + 16$	\| $- 4 x^{2}$ $+ 9 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 100$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 100$	=	0	\| $+ 100$
$4 x^{2}$	=	$100$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

reinquadratisch (+ Umformungen)