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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 38 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 38 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{{(- 38)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 21}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{1 444 - 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{38 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{38+32}{10}$ = $\frac{70}{10}$ = $7$

x₂ = $\frac{38 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{38-32}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 38 x + 21$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{38}{5} x + \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{5})}^{2} - (\frac{21}{5})$ = $\frac{361}{25}$ $-$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{361}{25}$ $-$ $\frac{105}{25}$ = $\frac{256}{25}$

x_1,2 = $\frac{19}{5}$ ± $\sqrt{\frac{256}{25}}$

x₁ = $\frac{19}{5}$ - $\frac{16}{5}$ = $\frac{3}{5}$ = 0.6

x₂ = $\frac{19}{5}$ + $\frac{16}{5}$ = $\frac{35}{5}$ = 7

L={ $0,6$ ; $7$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L = { $3$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x + x^{2}$ = $- 16$

Lösung einblenden

x^{2} - 8 x

=

- 16

|

+ 16

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$11 x + 24$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$11 x + 24$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$11 x + 24 + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L = { $- 8$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

L={ $- 5$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x - 7$ = $(- x - 2) \cdot (x - 4) + 14 x - 35$

Lösung einblenden

$7 x - 7$	=	$(- x - 2) \cdot (x - 4) + 14 x - 35$
$7 x - 7$	=	$- x^{2} + 2 x + 8 + 14 x - 35$
$7 x - 7$	=	$- x^{2} + 16 x - 27$	\| $+ x^{2}$ $- 16 x$ $+ 27$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $4$ ; $5$ }

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4,3)}^{2}$ = $0,64$

Lösung einblenden

{(x - 4,3)}^{2}

=

0,64

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 4,3

=

- \sqrt{0,64}

=

- 0,8

$x - 4,3$	=	$- 0,8$	\| $+ 4,3$
x₁	=	$3,5$

2. Fall

x - 4,3

=

\sqrt{0,64}

=

0,8

$x - 4,3$	=	$0,8$	\| $+ 4,3$
x₂	=	$5,1$

L={ $3,5$ ; $5,1$ }

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Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Linearterm