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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 +18x -35 = 0

Lösung einblenden

5 x 2 +18x -35 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -18 ± 18 2 -4 · 5 · ( -35 ) 2⋅5

x1,2 = -18 ± 324 +700 10

x1,2 = -18 ± 1024 10

x1 = -18 + 1024 10 = -18 +32 10 = 14 10 = 1,4

x2 = -18 - 1024 10 = -18 -32 10 = -50 10 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 +18x -35 = 0 |: 5

x 2 + 18 5 x -7 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 5 ) 2 - ( -7 ) = 81 25 + 7 = 81 25 + 175 25 = 256 25

x1,2 = - 9 5 ± 256 25

x1 = - 9 5 - 16 5 = - 25 5 = -5

x2 = - 9 5 + 16 5 = 7 5 = 1.4

L={ -5 ; 1,4 }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -4 = 0

Lösung einblenden

x 2 -4 = 0

D = 0 2 - ( -4 ) = 0+ 4 = 4

x1,2 = 0 ± 4

x1 = 0 - 2 = -2

x2 = 0 + 2 = 2

L = { -2 ; 2 }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x -40 +2 x 2 = 0

Lösung einblenden
2 x 2 +2x -40 = 0 |:2

x 2 + x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +80 2

x1,2 = -1 ± 81 2

x1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

x2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = - 1 2 ± 81 4

x1 = - 1 2 - 9 2 = - 10 2 = -5

x2 = - 1 2 + 9 2 = 8 2 = 4

L={ -5 ; 4 }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2x -24 + x 2 = 0

Lösung einblenden

-2x -24 + x 2 = 0

sortieren

x 2 -2x -24 = 0

D = ( -1 ) 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = 1 ± 25

x1 = 1 - 5 = -4

x2 = 1 + 5 = 6

L = { -4 ; 6 }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -32x +128 = 0

Lösung einblenden
2 x 2 -32x +128 = 0 |:2

x 2 -16x +64 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +16 ± ( -16 ) 2 -4 · 1 · 64 2⋅1

x1,2 = +16 ± 256 -256 2

x1,2 = +16 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 16 2 = 8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -8 ) 2 - 64 = 64 - 64 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 8 ± 0 = 8

L={ 8 }

8 ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -5x +2 = ( x -2 ) · ( x -9 ) +6x

Lösung einblenden
2 x 2 -5x +2 = ( x -2 ) · ( x -9 ) +6x
2 x 2 -5x +2 = x 2 -11x +18 +6x
2 x 2 -5x +2 = x 2 -5x +18 | -2
2 x 2 -5x = x 2 -5x +16 | - x 2 +5x
x 2 = 16 | ⋅2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

L={ -4 ; 4 }

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x - 1 5 ) 2 = 64 100

Lösung einblenden
( x - 1 5 ) 2 = 64 100
( x - 1 5 ) 2 = 16 25 | ⋅2

1. Fall

x - 1 5 = - 16 25 = - 4 5
x - 1 5 = - 4 5 | + 1 5
x1 = - 3 5 = -0.6

2. Fall

x - 1 5 = 16 25 = 4 5
x - 1 5 = 4 5 | + 1 5
x2 = 1

L={ - 3 5 ; 1 }