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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 18 x + 82$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 18 x + 82$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 82}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 82$ = $81$ $-$ $82$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 14 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 14 x + 50$ = 0

D = ${(- 7)}^{2} - 50$ = $49$ $-$ $50$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L ={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$36 + 2 x^{2}$ = $- 22 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 36

=

- 22 x

|

+ 22 x

2 x^{2} + 22 x + 36

= 0 |:2

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 9$ ; $- 2$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 40 - 3 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$- 40 - 3 x$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$- 40 - 3 x + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} - 3 x - 40$ = 0

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L = { $- 5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 5 x + \frac{29}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x + \frac{29}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 5 x + \frac{29}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 20 x + 29$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 29}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 464}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 20 x + 29$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 5 x + \frac{29}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (\frac{29}{4})$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{29}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} - 4 x + 7$ = $(- 7 x - 6) (x - 6) - 38 x - 21$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} - 4 x + 7$	=	$(- 7 x - 6) (x - 6) - 38 x - 21$
$- 6 x^{2} - 4 x + 7$	=	$- 7 x^{2} + 36 x + 36 - 38 x - 21$
$- 6 x^{2} - 4 x + 7$	=	$- 7 x^{2} - 2 x + 15$	\| $+ 7 x^{2}$ $+ 2 x$ $- 15$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

L={ $- 2$ ; $4$ }

reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2}$ = $45$

Lösung einblenden

$5 x^{2}$	=	$45$	\|: $5$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

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Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

reinquadratisch (+ Umformungen)