Mathebattle EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 12 x - 14$ = 0

2 x^{2} - 12 x - 14

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

L={ $- 1$ ; $7$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L = { $- 9$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$50 x + 25 + 25 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

25 x^{2} + 50 x + 25

= 0 |:25

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 16 x + 60$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$- 16 x + 60$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$- 16 x + 60 + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} - 16 x + 60$ = 0

D = ${(- 8)}^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $8$ - $2$ = 6

x₂ = $8$ + $2$ = 10

L = { $6$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 16 x + 32$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 16 x + 32

= 0 |:2

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 2 x - 1$ = $(3 x - 9) \cdot (x - 5) + 22 x - 45$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 2 x - 1$	=	$(3 x - 9) \cdot (x - 5) + 22 x - 45$
$4 x^{2} - 2 x - 1$	=	$3 x^{2} - 24 x + 45 + 22 x - 45$
$4 x^{2} - 2 x - 1$	=	$3 x^{2} - 2 x$	\| $+ 1$ $- 3 x^{2}$ $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Nullprodukt 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 3,7 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 3,7 x$	=	0
$x \cdot (x + 3,7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3,7$	=	0	\| $- 3,7$
x₂	=	$- 3,7$

L={ $- 3,7$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullprodukt 2