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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x}{x - 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$4 x$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$4 x$	=	$- x^{2} + x$

$4 x$	=	$- x^{2} + x$	\| $- (- x^{2} + x)$
$x^{2} + 4 x - x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 2$ = $- 7 - \frac{18}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 2$	=	$- 7 - \frac{18}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- 7 \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 2 x$	=	$- 7 x - 18$
$x^{2} + 2 x$	=	$- 7 x - 18$

x^{2} + 2 x

=

- 7 x - 18

|

+ 7 x

+ 18

$x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9+3}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9-3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 12 x}{x - 2} + x$ = $- 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

- \frac{12 x}{x - 2} + x

=

- 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{12 x}{x - 2} + x$	=	$- 5$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2)$	=	$- 5 \cdot (x - 2)$
$- 12 x + x \cdot (x - 2)$	=	$- 5 (x - 2)$
$- 12 x + (x^{2} - 2 x)$	=	$- 5 (x - 2)$
$x^{2} - 14 x$	=	$- 5 x + 10$

x^{2} - 14 x

=

- 5 x + 10

|

+ 5 x

- 10

$x^{2} - 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9+11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9-11}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{2 x - 4} - \frac{- 7,5}{x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{2 x - 4} + \frac{7,5}{x - 2}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{7,5}{x - 2}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{7,5}{x - 2}$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$2 x \cdot (2 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{7,5}{x - 2} \cdot (2 (x - 2))$
$4 x \cdot (x - 2)$	=	$- x + 15$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot (- 2)$	=	$- x + 15$
$4 x \cdot x - 8 x$	=	$- x + 15$
$4 x^{2} - 8 x$	=	$- x + 15$

4 x^{2} - 8 x

=

- x + 15

|

+ x

- 15

$4 x^{2} - 7 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{7+17}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{7-17}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 7 x - 15$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{7}{4} x - \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{8})}^{2} - (- \frac{15}{4})$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{7}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

x₂ = $\frac{7}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,25$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x} + \frac{32}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{12}{x} + \frac{32}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{12}{x} \cdot x^{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 12 x + 32$	=	$- x^{2}$

- 12 x + 32

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12+4}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12-4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 10$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 10$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 10$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 10 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 10 x$	=	$- x^{2}$
$a + 10 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):