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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{12}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{12}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 12$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 12$	=	$- 3 x^{2}$

$- 12$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 12$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$12$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{45 x - 6}{x + 5}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{45 x - 6}{x + 5}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{45 x - 6}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$45 x - 6$	=	$4 x (x + 5)$
$45 x - 6$	=	$4 x^{2} + 20 x$

45 x - 6

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 25 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 25+23}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 25-23}{- 8}$ = $\frac{- 48}{- 8}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 25 x - 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{25}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $\frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $\frac{25}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{25}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x}{3 x + 5} + x$ = $- 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{x}{3 x + 5} + x

=

- 4

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{x}{3 x + 5} + x$	=	$- 4$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5)$	=	$- 4 \cdot (3 x + 5)$
$- x + x (3 x + 5)$	=	$- 4 (3 x + 5)$
$- x + (3 x^{2} + 5 x)$	=	$- 4 (3 x + 5)$
$3 x^{2} + 4 x$	=	$- 12 x - 20$

3 x^{2} + 4 x

=

- 12 x - 20

|

+ 12 x

+ 20

$3 x^{2} + 16 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 16+4}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 16-4}{6}$ = $\frac{- 20}{6}$ = $- \frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x + 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{60}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{10}{3}$ = -3.3333333333333

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{3}$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x - 10} - \frac{- 0,4}{x - 2} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x - 10} + \frac{0,4}{x - 2} - 2 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{0,4}{x - 2} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{0,4}{x - 2} - 2 x$	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2)) + \frac{0,4}{x - 2} \cdot (5 (x - 2)) - 2 x \cdot (5 (x - 2))$
=	$- x + 2 - 10 x (x - 2)$
=	$- 10 x^{2} + 19 x + 2$

0

=

- 10 x^{2} + 19 x + 2

|

+ 10 x^{2}

- 19 x

- 2

$10 x^{2} - 19 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{20}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{20}$ = $\frac{19+21}{20}$ = $\frac{40}{20}$ = $2$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{20}$ = $\frac{19-21}{20}$ = $\frac{- 2}{20}$ = $- 0,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 19 x - 2$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{19}{10} x - \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{20})}^{2} - (- \frac{1}{5})$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{361}{400}$ $+$ $\frac{80}{400}$ = $\frac{441}{400}$

x_1,2 = $\frac{19}{20}$ ± $\sqrt{\frac{441}{400}}$

x₁ = $\frac{19}{20}$ - $\frac{21}{20}$ = $- \frac{2}{20}$ = -0.1

x₂ = $\frac{19}{20}$ + $\frac{21}{20}$ = $\frac{40}{20}$ = 2

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{14 x + 40}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{14 x + 40}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{14 x + 40}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$14 x + 40$

- x^{2}

=

14 x + 40

|

- 14 x

- 40

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14+6}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14-6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 7$ - $3$ = -10

x₂ = $- 7$ + $3$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{6}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{6}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$6$
$a x + x^{2} - 6$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):