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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2 x}{x - 4}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 2 x}{x - 4}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 2 x}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 2 x \cdot (x - 4)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$- 2 x (x - 4)$
$- 2 x$	=	$- 2 x (x - 4)$
$- 2 x$	=	$- 2 x^{2} + 8 x$

$- 2 x$	=	$- 2 x^{2} + 8 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 8 x)$
$2 x^{2} - 2 x - 8 x$	=	0
$2 x^{2} - 10 x$	=	0
$2 x (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{27}{2} - \frac{4}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{2} - \frac{4}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{2} \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$\frac{27}{2} x - 4$	=	$x \cdot x + 5 x$

$\frac{27}{2} x - 4$	=	$x^{2} + 5 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{27}{2} x - 4)$	=	$2 (x^{2} + 5 x)$
$27 x - 8$	=	$2 x^{2} + 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 10 x$

$- 2 x^{2} + 17 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 17+15}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 17-15}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 17 x - 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - 4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 7}{x - 5}$ = $- x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{7}{x - 5}$	=	$- x - 1$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{7}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- x \cdot (x - 5) - 1 \cdot (x - 5)$
$- 7$	=	$- x (x - 5) - x + 5$
$- 7$	=	$- x^{2} + 4 x + 5$

- 7

=

- x^{2} + 4 x + 5

|

+ x^{2}

- 4 x

- 5

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 2} - \frac{- 6,5}{x + 1} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 2} + \frac{6,5}{x + 1} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{6,5}{x + 1} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{6,5}{x + 1} - 3 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{6,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) - 3 x \cdot (2 (x + 1))$
=	$- x + 13 - 6 x (x + 1)$
=	$- 6 x^{2} - 7 x + 13$

0

=

- 6 x^{2} - 7 x + 13

|

+ 6 x^{2}

+ 7 x

- 13

$6 x^{2} + 7 x - 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 13)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{361}}{12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{361}}{12}$ = $\frac{- 7+19}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{361}}{12}$ = $\frac{- 7-19}{12}$ = $\frac{- 26}{12}$ = $- \frac{13}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 7 x - 13$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{7}{6} x - \frac{13}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{13}{6})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{13}{6}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{312}{144}$ = $\frac{361}{144}$

x_1,2 = $- \frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{361}{144}}$

x₁ = $- \frac{7}{12}$ - $\frac{19}{12}$ = $- \frac{26}{12}$ = -2.1666666666667

x₂ = $- \frac{7}{12}$ + $\frac{19}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{13}{6}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ = $\frac{48}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$	=	$\frac{48}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{48}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 2 x$	=	$48$

x^{2} - 2 x

=

48

|

- 48

$x^{2} - 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2+14}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2-14}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $1$ - $7$ = -6

x₂ = $1$ + $7$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{24}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{24}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{24}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{24}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$24$
$x^{2} + a x - 24$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):