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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x}{x + 3}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{x + 3}$	=	$x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$x \cdot (x + 3)$
$4 x$	=	$x (x + 3)$
$4 x$	=	$x^{2} + 3 x$

$4 x$	=	$x^{2} + 3 x$	\| $- (x^{2} + 3 x)$
$- x^{2} + 4 x - 3 x$	=	0
$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 8 x - 2}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 8 x - 2}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 8 x - 2}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 8 x - 2$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 8 x - 2

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7+5}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7-5}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x + 5$ = $- \frac{- 70}{x + 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$3 x + 5$	=	$\frac{70}{x + 2}$	\|⋅( $x + 2$ )
$3 x \cdot (x + 2) + 5 \cdot (x + 2)$	=	$\frac{70}{x + 2} \cdot (x + 2)$
$3 x (x + 2) + 5 x + 10$	=	$70$
$3 x^{2} + 6 x + 5 x + 10$	=	$70$
$3 x^{2} + 11 x + 10$	=	$70$

3 x^{2} + 11 x + 10

=

70

|

- 70

$3 x^{2} + 11 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 720}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{841}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{841}}{6}$ = $\frac{- 11+29}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{841}}{6}$ = $\frac{- 11-29}{6}$ = $\frac{- 40}{6}$ = $- \frac{20}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x - 60$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $20$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{720}{36}$ = $\frac{841}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{841}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{29}{6}$ = $- \frac{40}{6}$ = -6.6666666666667

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{29}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{20}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 12} - \frac{- 100}{6 x - 24} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 12} + \frac{100}{6 x - 24} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{100}{6 (x - 4)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{100}{6 (x - 4)} + 4 x$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + \frac{100}{6 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + 4 x \cdot (3 (x - 4))$
=	$- x + 50 + 12 x (x - 4)$
=	$12 x^{2} - 49 x + 50$

0

=

12 x^{2} - 49 x + 50

|

- 12 x^{2}

+ 49 x

- 50

$- 12 x^{2} + 49 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 50)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 2 400}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{1}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{1}}{- 24}$ = $\frac{- 49+1}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{1}}{- 24}$ = $\frac{- 49-1}{- 24}$ = $\frac{- 50}{- 24}$ = $\frac{25}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 49 x - 50$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{49}{12} x + \frac{25}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{49}{24})}^{2} - (\frac{25}{6})$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{25}{6}$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{2400}{576}$ = $\frac{1}{576}$

x_1,2 = $\frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1}{576}}$

x₁ = $\frac{49}{24}$ - $\frac{1}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

x₂ = $\frac{49}{24}$ + $\frac{1}{24}$ = $\frac{50}{24}$ = 2.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $\frac{25}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}$ = $\frac{30}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}$	=	$\frac{30}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{30}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 7 x$	=	$30$

x^{2} + 7 x

=

30

|

- 30

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7+13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7-13}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 9$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 9 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 9 x$
$a + x^{2} + 9 x$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):