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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x^{2}$

$- 3$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 13 x - 7}{x + 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 13 x - 7}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 13 x - 7}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$- 13 x - 7$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$- 13 x - 7$	=	$3 x^{2} + 9 x$

- 13 x - 7

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} - 22 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 84}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{22+20}{- 6}$ = $\frac{42}{- 6}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{22-20}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 22 x - 7$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{22}{3} x + \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{3})}^{2} - (\frac{7}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $-$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $-$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{11}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{21}{3}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$1$ = $- \frac{5}{x - 5} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

1

=

- \frac{5}{x - 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$1$	=	$- \frac{5}{x - 5} - x$	\|⋅( $x - 5$ )
$1 \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{5}{x - 5} \cdot (x - 5) - x \cdot (x - 5)$
$x - 5$	=	$- 5 - x \cdot (x - 5)$
$x - 5$	=	$- x^{2} + 5 x - 5$

$x - 5$	=	$- x^{2} + 5 x - 5$	\| $+ 5$
$x$	=	$- x^{2} + 5 x$	\| $- (- x^{2} + 5 x)$
$x^{2} + x - 5 x$	=	0
$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 8} - \frac{- 9,25}{x + 2} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 8} + \frac{9,25}{x + 2} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{9,25}{x + 2} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{9,25}{x + 2} - 3 x$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{9,25}{x + 2} \cdot (4 (x + 2)) - 3 x \cdot (4 (x + 2))$
=	$- x + 37 - 12 x \cdot (x + 2)$
=	$- 12 x^{2} - 25 x + 37$

0

=

- 12 x^{2} - 25 x + 37

|

+ 12 x^{2}

+ 25 x

- 37

$12 x^{2} + 25 x - 37$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 37)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 776}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{2 401}}{24}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{2 401}}{24}$ = $\frac{- 25+49}{24}$ = $\frac{24}{24}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{2 401}}{24}$ = $\frac{- 25-49}{24}$ = $\frac{- 74}{24}$ = $- \frac{37}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 25 x - 37$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{25}{12} x - \frac{37}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{24})}^{2} - (- \frac{37}{12})$ = $\frac{625}{576}$ $+$ $\frac{37}{12}$ = $\frac{625}{576}$ $+$ $\frac{1776}{576}$ = $\frac{2401}{576}$

x_1,2 = $- \frac{25}{24}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{576}}$

x₁ = $- \frac{25}{24}$ - $\frac{49}{24}$ = $- \frac{74}{24}$ = -3.0833333333333

x₂ = $- \frac{25}{24}$ + $\frac{49}{24}$ = $\frac{24}{24}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{37}{12}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 11 x + 28}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 11 x + 28}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 11 x + 28}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 11 x + 28$

- x^{2}

=

- 11 x + 28

|

+ 11 x

- 28

$- x^{2} + 11 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 11+3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 11-3}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 28$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{20}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{20}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 20$
$x^{2} + a x + 20$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):