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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 4}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{0}{x - 4}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{0}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 2 x \cdot (x - 4)$
0	=	$- 2 x \cdot (x - 4)$
0	=	$- 2 x^{2} + 8 x$

0	=	$- 2 x^{2} + 8 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 8 x)$
$2 x^{2} - 8 x$	=	0
$2 x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $\frac{3 x + 15}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{3 x + 15}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$	=	$\frac{3 x + 15}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 20 x$	=	$3 x + 15$
$4 x^{2} + 20 x$	=	$3 x + 15$

4 x^{2} + 20 x

=

3 x + 15

|

- 3 x

- 15

$4 x^{2} + 17 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{- 17+23}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{- 17-23}{8}$ = $\frac{- 40}{8}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 17 x - 15$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x - \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - (- \frac{15}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $- \frac{40}{8}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x$ = $- \frac{15 x}{x - 1} + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{15 x}{x - 1} + 4$	\|⋅( $x - 1$ )
$3 x \cdot (x - 1)$	=	$- \frac{15 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1)$
$3 x \cdot (x - 1)$	=	$- 15 x + 4 x - 4$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 1)$	=	$- 15 x + 4 x - 4$
$3 x \cdot x - 3 x$	=	$- 15 x + 4 x - 4$
$3 x^{2} - 3 x$	=	$- 11 x - 4$

3 x^{2} - 3 x

=

- 11 x - 4

|

+ 11 x

+ 4

$3 x^{2} + 8 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 8+4}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 8-4}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 4} - \frac{- 7,5}{x + 2} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 4} + \frac{7,5}{x + 2} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{7,5}{x + 2} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{7,5}{x + 2} - 3 x$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{7,5}{x + 2} \cdot (2 (x + 2)) - 3 x \cdot (2 (x + 2))$
=	$- x + 15 - 6 x \cdot (x + 2)$
=	$- 6 x^{2} - 13 x + 15$

0

=

- 6 x^{2} - 13 x + 15

|

+ 6 x^{2}

+ 13 x

- 15

$6 x^{2} + 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{529}}{12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{529}}{12}$ = $\frac{- 13+23}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.83

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{529}}{12}$ = $\frac{- 13-23}{12}$ = $\frac{- 36}{12}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 13 x - 15$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{13}{6} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{360}{144}$ = $\frac{529}{144}$

x_1,2 = $- \frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{529}{144}}$

x₁ = $- \frac{13}{12}$ - $\frac{23}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{12}$ + $\frac{23}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = 0.83333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{5}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{15}{x^{4}}$ = $- \frac{8}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{15}{x^{4}}$	=	$- \frac{8}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{15}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{8}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 15$	=	$- 8 x$

x^{2} + 15

=

- 8 x

|

+ 8 x

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):