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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 9 blaue , 9 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{12}{145}$
rot -> blau	$\frac{27}{290}$
rot -> gelb	$\frac{27}{290}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{290}$
blau -> rot	$\frac{27}{290}$
blau -> blau	$\frac{12}{145}$
blau -> gelb	$\frac{27}{290}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{290}$
gelb -> rot	$\frac{27}{290}$
gelb -> blau	$\frac{27}{290}$
gelb -> gelb	$\frac{12}{145}$
gelb -> schwarz	$\frac{9}{290}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{290}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{290}$
schwarz -> gelb	$\frac{9}{290}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'gelb' (P= $\frac{27}{290}$ )
'gelb'-'blau' (P= $\frac{27}{290}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{290}$ + $\frac{27}{290}$ = $\frac{27}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{77}$
13 -> 14	$\frac{50}{231}$
13 -> 15	$\frac{10}{231}$
14 -> 13	$\frac{50}{231}$
14 -> 14	$\frac{15}{77}$
14 -> 15	$\frac{10}{231}$
15 -> 13	$\frac{10}{231}$
15 -> 14	$\frac{10}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{11}$ ; P("14")= $\frac{5}{11}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{10}{231}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{10}{231}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{15}{77}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{231}$ + $\frac{10}{231}$ + $\frac{15}{77}$ = $\frac{65}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{12}$

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ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen