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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 2 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{4}$ ; "nicht NWT": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{19}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{15}{76}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{15}{76}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{21}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{38}$ = $\frac{21}{38}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 6 blaue , 3 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{15}$ ; "nicht rot": $\frac{13}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{105}$ = $\frac{104}{105}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{105}$
rot -> nicht rot	$\frac{13}{105}$
nicht rot -> rot	$\frac{13}{105}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{26}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{15}$ ; P("nicht rot")= $\frac{13}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{13}{105}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{13}{105}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{26}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{13}{105}$ + $\frac{13}{105}$ + $\frac{26}{35}$ = $\frac{104}{105}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 11 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'5'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{24}{25}$
= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{4}{25}$
= $\frac{8}{975}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 4 gelbe, 3 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{9}$
rot -> blau	$\frac{1}{15}$
rot -> gelb	$\frac{4}{45}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{15}$
blau -> rot	$\frac{1}{15}$
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> gelb	$\frac{4}{75}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{25}$
gelb -> rot	$\frac{4}{45}$
gelb -> blau	$\frac{4}{75}$
gelb -> gelb	$\frac{16}{225}$
gelb -> schwarz	$\frac{4}{75}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{15}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{25}$
schwarz -> gelb	$\frac{4}{75}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{4}{15}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{15}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 1 105 = 104 105

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{105}$ = $\frac{104}{105}$