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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'andere'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{11}{70}$ )
'andere'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 6 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 3 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{3}{38}$ = $\frac{35}{38}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{38}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{21}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{91}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{21}{95}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{21}{95}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{91}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{95}$ + $\frac{21}{95}$ + $\frac{91}{190}$ = $\frac{35}{38}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{45}{136}$
13 -> 14	$\frac{25}{136}$
13 -> 15	$\frac{5}{68}$
14 -> 13	$\frac{25}{136}$
14 -> 14	$\frac{5}{68}$
14 -> 15	$\frac{5}{136}$
15 -> 13	$\frac{5}{68}$
15 -> 14	$\frac{5}{136}$
15 -> 15	$\frac{1}{136}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{10}{17}$ ; P("14")= $\frac{5}{17}$ ; P("15")= $\frac{2}{17}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{5}{68}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{5}{68}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{5}{68}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{68}$ + $\frac{5}{68}$ + $\frac{5}{68}$ = $\frac{15}{68}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{21}{23}$
= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{7}{23}$
= $\frac{21}{184}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal 1-12"?

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Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 1-12": $\frac{25}{37}$ ;

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> nicht 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> nicht 1-12	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 1-12")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'1-12' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{1369}$ = $\frac{144}{1369}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 3 38 = 35 38

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{3}{38}$ = $\frac{35}{38}$