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Diagonalen im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 5 mm, b = 8 mm und c = 9 mm.
Berechne die Weite des Winkels α.

Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Um die graue Bodendiagonale d_B als Gegenkathete von α zu bestimmen, müssen wir diese erst mit dem Satz des Pythagoras in dem rechtwinkligen Bodendreieck berechnen:

d_B² = a² + b² = 5² + 8² = 25 + 64 = 89

d_B = $\sqrt{89}$ ≈ 9.434

Die Länge der Ankathete vom Winkel α ist c = 9 mm und die Länge der Gegenkathete d_B = 9.434 mm.

Mit dem Tangens können wir so also recht schnell die Weite des Winkels α berechnen:

tan(α) = $\frac{GK}{AK}$ = $\frac{9.434}{9}$

α = arctan( $\frac{9.434}{9}$ ) ≈ 46.3°

Diagonalen im Quader 2

Beispiel:

Berechne die Länge der roten Seite x.
(Der gegebene Winkel ist 45°.)

Lösung einblenden

Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Aus dem Schaubild lässt sich herauslesen, dass die Länge der Hypotenuse d = 8 mm und der gegebene Winkel 45° ist.

Somit lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

sin(45°) = $\frac{x}{8 mm}$ | ⋅ 8 mm

x = 8 mm ⋅ sin(45°) ≈ 5.66 mm

Quader-Volumen rückwärts (schwer)

Beispiel:

Der abgebildete Quader mit a = 9 und α = 36° hat das Volumen 346.7 mm³.
Berechne die Höhe c des Quaders.

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Das Volumen eines Quaders berechnet sich als V = a ⋅ b ⋅ c. Dummerweise ist aber nur eine der Kantenlängen bekannt und zwei unbekannt. Dafür kennen wir aber den Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die beiden fehlenen Kantenlängen die Katheten sind.

Dadurch können wir diese beiden fehlenden Kantenlängen c und b in Abhängigkeit von der gleichen Diagonalenlänge d bestimmen:

sin(36°) = $\frac{c}{d}$ ; also gilt c = d ⋅ sin(36°) ≈ 0,5878 d

cos(36°) = $\frac{b}{d}$ ; also gilt b = d ⋅ cos(36°) ≈ 0,809 d

Somit gilt für das Volumen V des Quaders:

V = 9 ⋅ 0,5878 d ⋅ 0,809 d = 346.7

4.28 d² = 346.7 | :4.28

d² ≈ 81

d ≈ 9

Um nun die gesuchte Kantenlänge c zu erhalten, nutzen wir wieder die Gleichung von oben:

sin(36°) = $\frac{c}{d}$ ;
also gilt
c = d ⋅ sin(36°) ≈ 9 ⋅ 0,5878 ≈ 5,3

Die gesuchte Höhe c ist somit c ≈ 5.29 mm

Winkel in Pyramiden

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 m und h_b = 8.7 m.
Berechne die Größe des Winkels α.

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Wir sehen, dass der gesuchte Winkel α in einem rechtwinkligen Dreieck liegt, so dass wir den Sinus, Kosinus oder Tangens anwenden zu können:

Die Länge der (gestrichelt dargestellten) Ankathete auf der Bodenfläche zwischen dem Fußpunkt von h und dem von h_b nennen wir d. Dieses d ist ja gerade die Hälfte von a, also gilt d = 3.5 m.

In dem Dreieck mit dem Winkel α gilt:

cos(α) = $\frac{AK}{Hyp}$ = $\frac{d}{h_{b}}$ = $\frac{3.5}{8.7}$ ≈ 0.4

Somit gilt: α ≈ 66.3°

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Diagonalen im Quader

Diagonalen im Quader 2

Quader-Volumen rückwärts (schwer)

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