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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $-2x-5y$ = $32$.

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x-5\cdot \left(-4\right)$ = $32$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x-5\cdot \left(-4\right)$	=	$32$
$-2x+20$	=	$32$	| $-20$
$-2x$	=	$12$	|:($-2$)
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4x+2y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-4)
denn 4⋅2 +2⋅( - 4 ) = 8 -8 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-8)
denn 4⋅4 +2⋅( - 8 ) = 16 -16 = 0

Oder : (0|0)
denn 4⋅0 +2⋅0 = 0 +0 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ & +2y& =& $ 4$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2y$	=	$4$	|:$2$
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}-x& +4y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ & +y& =& $ 2$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+4·2$	=	$13$
$-x+8$	=	$13$	| $-8$
$-x$	=	$5$	|:($-1$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ -23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ -x& -4y& =& $ -23$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$-x-4y$	=	$-23$	| $+4y$
$-x$	=	$-23+4y$	|:($-1$)
$x$	=	$23-4y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& -3y& =& $ -12$& & & \text{(I)}\\ x& & =& \left(23-4y\right)& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $23-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(23-4y\right)-3y$	=	$-12$
$23-4y-3y$	=	$-12$
$-7y+23$	=	$-12$	| $-23$
$-7y$	=	$-35$	|:($-7$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $23-4\cdot 5$

= $23-20$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +3y& =& $ -25$& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 35$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-2x& +3y& =& $ -25$& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 35$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-2x+3y$	=	$-25$
$3y-2x$	=	$-25$	| $+2x$
$3y$	=	$-25+2x$	|:$3$
$y$	=	$-\frac{25}{3}+\frac{2}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{25}{3}+\frac{2}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ 5x& -2y& =& $ 35$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{25}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(-\frac{25}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$35$
$5x+\frac{50}{3}-\frac{4}{3}x$	=	$35$
$\frac{11}{3}x+\frac{50}{3}$	=	$35$	|⋅ 3
$3\left(\frac{11}{3}x+\frac{50}{3}\right)$	=	$105$
$11x+50$	=	$105$	| $-50$
$11x$	=	$55$	|:$11$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{25}{3}+\frac{2}{3}\cdot 5$

= $-\frac{25}{3}+\frac{10}{3}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{4}y& =& $ -\frac{11}{6}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{4}x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{5}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-\frac{1}{3}x& -\frac{1}{4}y& =& $ -\frac{11}{6}$& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{4}x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{5}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y$	=	$-\frac{11}{6}$
$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{3}x$	=	$-\frac{11}{6}$	|⋅ 12
$12\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{3}x\right)$	=	$-22$
$-3y-4x$	=	$-22$	| $+4x$
$-3y$	=	$-22+4x$	|:($-3$)
$y$	=	$\frac{22}{3}-\frac{4}{3}x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(\frac{22}{3}-\frac{4}{3}x\right)& & & \text{(I)}\\ \frac{1}{4}x& +\frac{1}{3}y& =& $ \frac{5}{3}$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{22}{3}-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}·\left(\frac{22}{3}-\frac{4}{3}x\right)$	=	$\frac{5}{3}$
$\frac{1}{4}x+\frac{22}{9}-\frac{4}{9}x$	=	$\frac{5}{3}$
$-\frac{7}{36}x+\frac{22}{9}$	=	$\frac{5}{3}$	|⋅ 36
$36\left(-\frac{7}{36}x+\frac{22}{9}\right)$	=	$60$
$-7x+88$	=	$60$	| $-88$
$-7x$	=	$-28$	|:($-7$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{22}{3}-\frac{4}{3}\cdot 4$

= $\frac{22}{3}-\frac{16}{3}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

7x -12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = 4 -10 = -6

7x -12y = 7 -24 = -17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = -6

7x -12y = -17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

$\begin{array}{ccccccc}-16x& -8y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Lösung einblenden

$\begin{array}{ccccccc}-16x& -8y& =& $ 6$& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$-16x-8y$	=	$6$
$-8y-16x$	=	$6$	| $+16x$
$-8y$	=	$6+16x$	|:($-8$)
$y$	=	$-\frac{3}{4}-2x$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}& +y& =& \left(-\frac{3}{4}-2x\right)& & & \text{(I)}\\ 4x& +2y& =& $ -1$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{4}-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·\left(-\frac{3}{4}-2x\right)$	=	$-1$
$4x-\frac{3}{2}-4x$	=	$-1$
$-\frac{3}{2}$	=	$-1$	| $+\frac{3}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 3-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}x& +2y& =& $ 13$& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x+2y$	=	$13$	| $-2y$
$x$	=	$13-2y$

Als neues LGS erhält man so:

$\begin{array}{ccccccc}x& & =& \left(13-2y\right)& & & \text{(I)}\\ 3x& -3y& =& $ -6$& & & \text{(II)}\end{array}$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(13-2y\right)-3y$	=	$-6$
$39-6y-3y$	=	$-6$
$-9y+39$	=	$-6$	| $-39$
$-9y$	=	$-45$	|:($-9$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-2\cdot 5$

= $13-10$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5