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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 16 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{16}{2}$ cm = 8cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 8² cm² ≈ 201,06 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 201.06 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 201.06 cm² ⋅ 10 cm ≈ 2010,62 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅8 cm ≈ 50.27 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 201.06 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 8 cm
≈ 402.12 cm² + 10 cm ⋅ 50.27 cm
≈ 402.12 cm² + 502.65 cm²
≈ 904,78 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 13804.2 cm³ = und den Radius r = 26 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 26^{2} \cdot h$ = 13804.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$2 123,992 h$ = $13 804,2$

$2 123,992 h$	=	$13 804,2$	\|: $2 123,992$
$h$	=	$6,4992$

Wir erhalten also h = 6.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26 cm ≈ 163.36 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 6.5 cm ⋅ 2π ⋅ 26 cm
≈ 6.5 cm ⋅ 163.36 cm
≈ 1061,86 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 933.1 mm² = und den Radius r = 9 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r² + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$2 \cdot π \cdot 9^{2} + 2 \cdot π \cdot 9 \cdot h$ = 933.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$56,547 h + 508,923$ = $933,1$

$56,547 h + 508,923$	=	$933,1$	\| $- 508,923$
$56,547 h$	=	$424,177$	\|: $56,547$
$h$	=	$7,5013$

Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 9² mm² ≈ 254,47 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 mm² mit der Höhe h = 7.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 mm² ⋅ 7.5 mm ≈ 1908,52 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,35 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,35 cm ist, muss also der innere Radius r_in = 6,65 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = A_out - A_in = $\frac{1}{2}$ π r² - $\frac{1}{2}$ π r_in² =
= $\frac{1}{2}$ π (7 cm)² - $\frac{1}{2}$ π (6,65 cm)²
= 76,969 cm² - 69,465 cm²
= 7,504 cm²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:

V = 7,504 cm² ⋅ 300 cm = 2251 cm³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm³:

m = 2251 cm³ ⋅ 8 g/cm³ = 18008 g = 18,008 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen