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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 39 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = cm = 19.5cm
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 19.52 cm² ≈ 1194,59 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1194.59 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1194.59 cm² ⋅ 5 cm ≈ 5972,95 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19.5 cm ≈ 122.52 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1194.59 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 19.5 cm
≈ 2389.18 cm² + 5 cm ⋅ 122.52 cm
≈ 2389.18 cm² + 612.61 cm²
≈
3001,79 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 18483.6 m³ = und die Höhe h = 3.5 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 18483.6
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = | ≈ | |
| r2 | = | ≈ |
Wir erhalten also r = 41 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 m ≈ 257.61 m
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 3.5 m ⋅ 2π ⋅ 41 m
≈ 3.5 m ⋅ 257.61 m
≈ 901,64 m²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 3455.8 mm² = und den Radius r = 22 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also
2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 3455.8
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 3 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 222 mm² ≈ 1520,53 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1520.53 mm² mit der Höhe h = 3 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1520.53 mm² ⋅ 3 mm ≈ 4561,59 mm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,079m² und wird von einer 16 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,079 zu berechen.
Ain = π rin2
3,079 m² = π rin2 | :π
0,98 m² = rin2
0,99 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,99 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,16 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,15 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,152 ≈ 4,155 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,079 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,155 m2 - 3,079 m2 = 1,076 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:
V = 1,076 m2 ⋅ 4 m = 4,303 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:
m = 4,303 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 8606 kg.