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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 13,5 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 13.52 cm² ≈ 572,56 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 572.56 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 572.56 cm² ⋅ 10 cm ≈ 5725,55 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅13.5 cm ≈ 84.82 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 572.56 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 13.5 cm
≈ 1145.11 cm² + 10 cm ⋅ 84.82 cm
≈ 1145.11 cm² + 848.23 cm²
≈ 1993,34 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 21124.1 m³ = und den Radius r = 41 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 41 2 · h = 21124.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

5281,702h = 21124,1

5281,702h = 21124,1 |:5281,702
h = 3,9995

Wir erhalten also h = 4 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 m ≈ 257.61 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 4 m ⋅ 2π ⋅ 41 m
≈ 4 m ⋅ 257.61 m
≈ 1030,44 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1639.9 cm² = und die Höhe h = 9 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 9 = 1639.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

56,547r = 1639,9

56,547r = 1639,9 |:56,547
r = 29,0007

Wir erhalten also r = 29 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 292 cm² ≈ 2642,08 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2642.08 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2642.08 cm² ⋅ 9 cm ≈ 23778,71 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 6,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,42 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,42 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,08 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8,5 cm)2 - 1 2 π (8,08 cm)2
= 113,49 cm2 - 102,552 cm2
= 10,938 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 650 cm:

V = 10,938 cm2 ⋅ 650 cm = 7110 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 7110 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 56880 g = 56,88 kg.