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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 6 cm und die Höhe h = 7 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{6}{2}$ cm = 3cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r²

G = π ⋅ 3² cm² ≈ 28,27 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 28.27 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 28.27 cm² ⋅ 7 cm ≈ 197,92 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅3 cm ≈ 18.85 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 28.27 cm² + 7 cm ⋅ 2π ⋅ 3 cm
≈ 56.55 cm² + 7 cm ⋅ 18.85 cm
≈ 56.55 cm² + 131.95 cm²
≈ 188,5 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 12924.5 m³ = und den Radius r = 22 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot 22^{2} \cdot h$ = 12924.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

$1 520,728 h$ = $12 924,5$

$1 520,728 h$	=	$12 924,5$	\|: $1 520,728$
$h$	=	$8,4989$

Wir erhalten also h = 8.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅22 m ≈ 138.23 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 8.5 m ⋅ 2π ⋅ 22 m
≈ 8.5 m ⋅ 138.23 m
≈ 1174,96 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 10618.6 cm³ = und die Höhe h = 5 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h, also

π ⋅ r² ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

$π \cdot r^{2} \cdot 5$ = 10618.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

$15,71 r^{2}$ = $10 618,6$

$15,71 r^{2}$	=	$10 618,6$	\|: $15,71$
$r^{2}$	=	$675,91343$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
r₁	=	$- \sqrt{675,91343}$	≈ $- 25,998$
r₂	=	$\sqrt{675,91343}$	≈ $25,998$

Wir erhalten also r = 26 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26 cm ≈ 163.36 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5 cm ⋅ 2π ⋅ 26 cm
≈ 5 cm ⋅ 163.36 cm
≈ 816,81 cm²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,155m² und wird von einer 20 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

Lösung einblenden

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche A_in = 4,155 zu berechen.

A_in = π r_in²

4,155 m² = π r_in² | :π

1,323 m² = r_in²

1,15 m ≈ r_in

Der Radius des inneren Kreises ist also r_in = 1,15 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,2 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises r_out = 1,35 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt A_out = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,35² ≈ 5,726 m²

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt A_in = 4,155 m² hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = A_out - A_in = 5,726 m² - 4,155 m² = 1,571 m²

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:

V = 1,571 m² ⋅ 3 m = 4,712 m³

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m³:

m = 4,712 m³ ⋅ 2000 kg/m³ = 9424 kg.

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Zylinder V und O

Zylinder rückwärts (einfach)

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Zylinder Anwendungen