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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 7 m und die Höhe h = 7 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 72 m² ≈ 153,94 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 153.94 m² mit der Höhe h = 7 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 153.94 m² ⋅ 7 m ≈ 1077,57 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅7 m ≈ 43.98 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 153.94 m² + 7 m ⋅ 2π ⋅ 7 m
≈ 307.88 m² + 7 m ⋅ 43.98 m
≈ 307.88 m² + 307.88 m²
≈ 615,75 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 2814.9 m³ = und den Radius r = 16 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 16 2 · h = 2814.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

804,352h = 2814,9

804,352h = 2814,9 |:804,352
h = 3,4996

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 162 m² ≈ 804,25 m²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅16 m ≈ 100.53 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 804.25 m² + 3.5 m ⋅ 2π ⋅ 16 m
≈ 1608.5 m² + 3.5 m ⋅ 100.53 m
≈ 1608.5 m² + 351.86 m²
≈ 1960,35 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2136.3 m² = und die Höhe h = 10 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · r · 10 = 2136.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

62,83r = 2136,3

62,83r = 2136,3 |:62,83
r = 34,0013

Wir erhalten also r = 34 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 342 m² ≈ 3631,68 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3631.68 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3631.68 m² ⋅ 10 m ≈ 36316,81 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 13 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,26 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 13 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,26 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,24 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (6,5 cm)2 - 1 2 π (6,24 cm)2
= 66,366 cm2 - 61,163 cm2
= 5,203 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 450 cm:

V = 5,203 cm2 ⋅ 450 cm = 2341 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2341 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 18728 g = 18,728 kg.