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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 85 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = cm = 42.5cm
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 42.52 cm² ≈ 5674,5 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5674.5 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 5674.5 cm² ⋅ 8 cm ≈ 45396,01 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅42.5 cm ≈ 267.04 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5674.5 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 42.5 cm
≈ 11349 cm² + 8 cm ⋅ 267.04 cm
≈ 11349 cm² + 2136.28 cm²
≈
13485,29 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2205.4 m² = und den Radius r = 39 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 2205.4
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 9 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 392 m² ≈ 4778,36 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4778.36 m² mit der Höhe h = 9 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4778.36 m² ⋅ 9 m ≈ 43005,26 m³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 207.3 mm² = und den Radius r = 11 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 207.3
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 3 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 112 mm² ≈ 380,13 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 380.13 mm² mit der Höhe h = 3 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 380.13 mm² ⋅ 3 mm ≈ 1140,4 mm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,664m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,664 zu berechen.
Ain = π rin2
3,664 m² = π rin2 | :π
1,166 m² = rin2
1,08 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,08 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,25 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,252 ≈ 4,909 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,664 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,909 m2 - 3,664 m2 = 1,245 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:
V = 1,245 m2 ⋅ 5 m = 6,222 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:
m = 6,222 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 14932,8 kg.