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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 94 mm und die Höhe h = 7 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 94 2 mm = 47mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 472 mm² ≈ 6939,78 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6939.78 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6939.78 mm² ⋅ 7 mm ≈ 48578,45 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅47 mm ≈ 295.31 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6939.78 mm² + 7 mm ⋅ 2π ⋅ 47 mm
≈ 13879.56 mm² + 7 mm ⋅ 295.31 mm
≈ 13879.56 mm² + 2067.17 mm²
15946,72 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1244.1 m² = und den Radius r = 44 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · 44 · h = 1244.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

276,452h = 1244,1

276,452h = 1244,1 |:276,452
h = 4,5002

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 442 m² ≈ 6082,12 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6082.12 m² mit der Höhe h = 4.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6082.12 m² ⋅ 4.5 m ≈ 27369,56 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1319.5 m² = und den Radius r = 35 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · 35 · h = 1319.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

219,905h = 1319,5

219,905h = 1319,5 |:219,905
h = 6,0003

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 352 m² ≈ 3848,45 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3848.45 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3848.45 m² ⋅ 6 m ≈ 23090,71 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,18 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,18 cm ist, muss also der innere Radius rin = 5,82 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (6 cm)2 - 1 2 π (5,82 cm)2
= 56,549 cm2 - 53,207 cm2
= 3,342 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:

V = 3,342 cm2 ⋅ 300 cm = 1003 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 1003 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 8024 g = 8,024 kg.