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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 72 mm und die Höhe h = 6 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = mm = 36mm
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 362 mm² ≈ 4071,5 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4071.5 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4071.5 mm² ⋅ 6 mm ≈ 24429,02 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅36 mm ≈ 226.19 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4071.5 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 36 mm
≈ 8143.01 mm² + 6 mm ⋅ 226.19 mm
≈ 8143.01 mm² + 1357.17 mm²
≈
9500,18 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 20175.3 mm³ = und den Radius r = 26 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 20175.3
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 9.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 262 mm² ≈ 2123,72 mm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅26 mm ≈ 163.36 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2123.72 mm² + 9.5 mm ⋅ 2π ⋅ 26 mm
≈ 4247.43 mm² + 9.5 mm ⋅ 163.36 mm
≈ 4247.43 mm² + 1551.95 mm²
≈
5799,38 mm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 8086.5 m² = und den Radius r = 33 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also
2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 8086.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 332 m² ≈ 3421,19 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3421.19 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 3421.19 m² ⋅ 6 m ≈ 20527,17 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,584m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,584 zu berechen.
Ain = π rin2
1,584 m² = π rin2 | :π
0,504 m² = rin2
0,71 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,71 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,85 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,852 ≈ 2,27 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,584 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,27 m2 - 1,584 m2 = 0,686 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:
V = 0,686 m2 ⋅ 4 m = 2,744 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:
m = 2,744 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 7134,4 kg.