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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 94 mm und die Höhe h = 7 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = mm = 47mm
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 472 mm² ≈ 6939,78 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6939.78 mm² mit der Höhe h = 7 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 6939.78 mm² ⋅ 7 mm ≈ 48578,45 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅47 mm ≈ 295.31 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6939.78 mm² + 7 mm ⋅ 2π ⋅ 47 mm
≈ 13879.56 mm² + 7 mm ⋅ 295.31 mm
≈ 13879.56 mm² + 2067.17 mm²
≈
15946,72 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1244.1 m² = und den Radius r = 44 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1244.1
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 442 m² ≈ 6082,12 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6082.12 m² mit der Höhe h = 4.5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 6082.12 m² ⋅ 4.5 m ≈ 27369,56 m³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1319.5 m² = und den Radius r = 35 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1319.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 352 m² ≈ 3848,45 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3848.45 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 3848.45 m² ⋅ 6 m ≈ 23090,71 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,18 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,18 cm ist, muss also der innere Radius rin = 5,82 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (6 cm)2 - π (5,82
cm)2
= 56,549 cm2 - 53,207 cm2
=
3,342 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:
V = 3,342 cm2 ⋅ 300 cm = 1003 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 1003 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 8024 g = 8,024 kg.