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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 23 m und die Höhe h = 6 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 232 m² ≈ 1661,9 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1661.9 m² mit der Höhe h = 6 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1661.9 m² ⋅ 6 m ≈ 9971,42 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23 m ≈ 144.51 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1661.9 m² + 6 m ⋅ 2π ⋅ 23 m
≈ 3323.81 m² + 6 m ⋅ 144.51 m
≈ 3323.81 m² + 867.08 m²
≈
4190,88 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 42248.1 mm³ = und den Radius r = 41 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 42248.1
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 8 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 412 mm² ≈ 5281,02 mm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 mm ≈ 257.61 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5281.02 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 41 mm
≈ 10562.03 mm² + 8 mm ⋅ 257.61 mm
≈ 10562.03 mm² + 2060.88 mm²
≈
12622,92 mm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 2309.1 m² = und die Höhe h = 7.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 2309.1
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 49 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 492 m² ≈ 7542,96 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7542.96 m² mit der Höhe h = 7.5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 7542.96 m² ⋅ 7.5 m ≈ 56572,23 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,208m² und wird von einer 8 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,208 zu berechen.
Ain = π rin2
1,208 m² = π rin2 | :π
0,385 m² = rin2
0,62 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,62 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,08 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,7 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,72 ≈ 1,539 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,208 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 1,539 m2 - 1,208 m2 = 0,331 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:
V = 0,331 m2 ⋅ 2 m = 0,664 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:
m = 0,664 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 1726,4 kg.