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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 96 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 96 2 m = 48m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 482 m² ≈ 7238,23 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7238.23 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7238.23 m² ⋅ 10 m ≈ 72382,29 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 m ≈ 301.59 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7238.23 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 48 m
≈ 14476.46 m² + 10 m ⋅ 301.59 m
≈ 14476.46 m² + 3015.93 m²
≈ 17492,39 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3402.3 mm³ = und die Höhe h = 3 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 3 = 3402.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

9,426 r 2 = 3402,3

9,426 r 2 = 3402,3 |:9,426
r 2 = 360,94844 | ⋅2
r1 = - 360,94844 ≈ -18,999
r2 = 360,94844 ≈ 18,999

Wir erhalten also r = 19 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 192 mm² ≈ 1134,11 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19 mm ≈ 119.38 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1134.11 mm² + 3 mm ⋅ 2π ⋅ 19 mm
≈ 2268.23 mm² + 3 mm ⋅ 119.38 mm
≈ 2268.23 mm² + 358.14 mm²
≈ 2626,37 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 763.4 cm² = und den Radius r = 9 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 9 2 + 2⋅π · 9 · h = 763.4

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

56,547h +508,923 = 763,4

56,547h +508,923 = 763,4 | -508,923
56,547h = 254,477 |:56,547
h = 4,5003

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 92 cm² ≈ 254,47 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 cm² mit der Höhe h = 4.5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 cm² ⋅ 4.5 cm ≈ 1145,11 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 3 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 15 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,3 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 15 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,3 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,2 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7,5 cm)2 - 1 2 π (7,2 cm)2
= 88,357 cm2 - 81,43 cm2
= 6,927 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 300 cm:

V = 6,927 cm2 ⋅ 300 cm = 2078 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2078 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 16624 g = 16,624 kg.