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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 100 m und die Höhe h = 10 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = m = 50m
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 502 m² ≈ 7853,98 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7853.98 m² mit der Höhe h = 10 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 7853.98 m² ⋅ 10 m ≈ 78539,82 m³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅50 m ≈ 314.16 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7853.98 m² + 10 m ⋅ 2π ⋅ 50 m
≈ 15707.96 m² + 10 m ⋅ 314.16 m
≈ 15707.96 m² + 3141.59 m²
≈
18849,56 m²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 4536.5 cm³ = und den Radius r = 19 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 4536.5
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 4 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19 cm ≈ 119.38 cm
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 4 cm ⋅ 2π ⋅ 19 cm
≈ 4 cm ⋅ 119.38 cm
≈ 477,52 cm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 150.8 mm² = und die Höhe h = 8 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 150.8
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 3 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 32 mm² ≈ 28,27 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 28.27 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 28.27 mm² ⋅ 8 mm ≈ 226,19 mm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,011m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,011 zu berechen.
Ain = π rin2
4,011 m² = π rin2 | :π
1,277 m² = rin2
1,13 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,13 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,3 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,32 ≈ 5,309 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,011 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 5,309 m2 - 4,011 m2 = 1,298 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:
V = 1,298 m2 ⋅ 4 m = 5,191 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:
m = 5,191 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 12458,4 kg.