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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Zweisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kostet 1 Brötchen immer 0,40 €.
Wie viel kosten 6 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Brötchen in der ersten Zeile auf 6 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.4 € mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Brötchen entspricht:
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Brötchen entspricht: 2,40 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 1,40 € für 7 Eier.
Wie viel kosten 6 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 0,80 €?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 7 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 7 und von 6 sein, also der ggT(7,6) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Eier:
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Um von 7 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 140 ct durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:
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: 7
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: 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Eier in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 6 Eier in der dritten Zeile zu kommen.
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: 7
⋅ 6
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: 7
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Eier entspricht: 120 ct
Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 0,80 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 140 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 140 und von 80 sein, also der ggT(140,80) = 20.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 20 ct:
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Um von 140 ct in der ersten Zeile auf 20 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 7 Eier durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 20 ct entspricht:
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: 7
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: 7
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Jetzt müssen wir ja wieder die 20 ct in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 80 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 7
⋅ 4
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: 7
⋅ 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 80 ct entspricht: 4 Eier
Proportionaler Term
Beispiel:
Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4 wenn die Größe B den Wert 18 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 18 durch den Wert
von 'Größe A' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Proportionaler Term Anwendung
Beispiel:
Eine Verpackungsmachine kann in 4 Minuten 15,6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.
Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 15.6 durch den Wert
von 'Verpackungszeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
Wert bei Proportionalität finden
Beispiel:
Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 19 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 5.7 hat?
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 19 = m⋅5.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 19 durch den Wert
von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 5.7
Da der/die Größe B den Wert 5.7 hat, muss man 5.7 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
5.7 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 5.7 = ⋅ .
Somit gilt für x (Größe A) = = 1.5.
Wert bei Proportionalität (Anwendungen)
Beispiel:
Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 6,4kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.
Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6.4 = m⋅8.
Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 6.4 durch den Wert
von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade
des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m==
Zuordnungsvorschrift: y = ⋅ x
x-Wert bei y = 6.8
Da der/die Gesamtgewicht den Wert 6.8 hat, muss man 6.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen,
um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
6.8 = ⋅ x.
Das klappt mit x = , weil dann 6.8 = ⋅ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = = 8.5.