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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 16 € den 10 kg Äpfel entsprechen.

: 6

⋅ 5

12 kg Äpfel	18,00 €
2 kg Äpfel	3,00 €
10 kg Äpfel	15,00 €

: 6

⋅ 5

Der Wert 16 € war also falsch, richtig wäre 15 € gewesen.

Jetzt überprüfen wir, ob die 7 € den 4 kg Äpfel entsprechen.

: 3

⋅ 1

12 kg Äpfel	18,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €
4 kg Äpfel	6,00 €

: 3

⋅ 1

Der Wert 7 € war also falsch, richtig wäre 6 € gewesen.

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

8 Minuten telefonieren	120 ct
?	?
12 Minuten telefonieren	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Minuten telefonieren in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Minuten telefonieren teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Minuten telefonieren:

8 Minuten telefonieren	120 ct
4 Minuten telefonieren	?
12 Minuten telefonieren	?

Um von 8 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 4 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 120 ct durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten telefonieren entspricht:

: 2

8 Minuten telefonieren	120 ct
4 Minuten telefonieren	?
12 Minuten telefonieren	?

: 2

8 Minuten telefonieren	120 ct
4 Minuten telefonieren	60 ct
12 Minuten telefonieren	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Minuten telefonieren in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Minuten telefonieren in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

8 Minuten telefonieren	120 ct
4 Minuten telefonieren	60 ct
12 Minuten telefonieren	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 60 ct in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

8 Minuten telefonieren	120 ct
4 Minuten telefonieren	60 ct
12 Minuten telefonieren	180 ct

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Minuten telefonieren entspricht: 180 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 1.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 1.5 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{1.5}{3}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 3 Minuten 6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 6 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{6}{3}$ = $2$
Zuordnungsvorschrift: y = $2$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5, wenn die Größe B den Wert 21 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.

Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3.5 hat?
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 16.8 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 21 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 21 durch den Wert von Größe A (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{21}{5}$ = $4,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $4,2$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5
Da der/die Größe A den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $4,2$ ⋅ 3.5 = 14.7
.
x-Wert bei y = 16.8
Da der/die Größe B den Wert 16.8 hat, muss man 16.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
16.8 = $4,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{16.8}{4.2}$ , weil dann 16.8 = $4,2$ ⋅ $\frac{16.8}{4.2}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{16.8}{4.2}$ = 4.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 9 Minuten nur 27ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 27 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 27 durch den Wert von Minuten (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{27}{9}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5

Da der/die Minuten den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $3$ ⋅ 5.5 = 16.5

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Proportionalität überprüfen

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)