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Zweisatz

Beispiel:

Beim Bäcker Allesfresh kostet 1 Brezel immer 0,40 €.

Wie viel kosten 3 Brezeln?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Brezel	0,40 €
3 Brezeln	?

Um von 1 Brezeln in der ersten Zeile auf 3 Brezeln in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 0.4 € mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 Brezeln entspricht:

⋅ 3

1 Brezel	0,40 €
3 Brezeln	?

⋅ 3

1 Brezel	0,40 €
3 Brezeln	1,20 €

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 Brezeln entspricht: 1,20 €

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 3600 g Protein in dessen 12kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 15 kg Powerdrink?
Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 4800 g Protein zu sich nehmen möchte?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

12 kg Powerdrink	3600 g Protein
?	?
15 kg Powerdrink	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 12 und von 15 sein, also der ggT(12,15) = 3.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Powerdrink:

12 kg Powerdrink	3600 g Protein
3 kg Powerdrink	?
15 kg Powerdrink	?

Um von 12 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 3 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 3600 g Protein durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Powerdrink entspricht:

: 4

12 kg Powerdrink	3600 g Protein
3 kg Powerdrink	900 g Protein
15 kg Powerdrink	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

12 kg Powerdrink	3600 g Protein
3 kg Powerdrink	900 g Protein
15 kg Powerdrink	4500 g Protein

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 kg Powerdrink entspricht: 4500 g Protein

Für die andere Frage (Wie viel kg Powerdrink bräuchte man, wenn man 4800 g Protein zu sich nehmen möchte?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g Protein"-Werte haben und nach einem "kg Powerdrink"-Wert gesucht wird:

3600 g Protein	12 kg Powerdrink
?	?
4800 g Protein	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g Protein in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 3600 g Protein teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 3600 und von 4800 sein, also der ggT(3600,4800) = 1200.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1200 g Protein:

3600 g Protein	12 kg Powerdrink
1200 g Protein	?
4800 g Protein	?

Um von 3600 g Protein in der ersten Zeile auf 1200 g Protein in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 12 kg Powerdrink durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1200 g Protein entspricht:

: 3

3600 g Protein	12 kg Powerdrink
1200 g Protein	4 kg Powerdrink
4800 g Protein	?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 1200 g Protein in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4800 g Protein in der dritten Zeile zu kommen.

: 3

⋅ 4

3600 g Protein	12 kg Powerdrink
1200 g Protein	4 kg Powerdrink
4800 g Protein	16 kg Powerdrink

: 3

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4800 g Protein entspricht: 16 kg Powerdrink

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 18 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 18 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{5}$ = $3,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Ein Boiler erhitzt Wasser. Dabei wird in 3 Minuten das Wasser um 9°C erhitzt. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert einen Wert der Wassererhitzung in °C zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Temperaturänderung', nämlich 9 durch den Wert von 'Erhitzungsszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{3}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8, wenn die Größe B den Wert 18.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 12.65 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18.4 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 18.4 durch den Wert von Größe A (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{18.4}{8}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

x-Wert bei y = 12.65

Da der/die Größe B den Wert 12.65 hat, muss man 12.65 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
12.65 = $2,3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{12.65}{2.3}$ , weil dann 12.65 = $2,3$ ⋅ $\frac{12.65}{2.3}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{12.65}{2.3}$ = 5.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 3 Bücher wiegen zusammen 1,5kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.5 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 1.5 durch den Wert von Bücheranzahl (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{1.5}{3}$ = $0,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 3

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 3 hat, muss man 3 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
3 = $0,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{3}{0.5}$ , weil dann 3 = $0,5$ ⋅ $\frac{3}{0.5}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{3}{0.5}$ = 6.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)