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Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

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Wir überprüfen zuerst, ob die 54 € den 36 kg Birnen entsprechen.

: 5

⋅ 6

30 kg Birnen	45,00 €
6 kg Birnen	9,00 €
36 kg Birnen	54,00 €

: 5

⋅ 6

Der Wert 54 € war also korrekt.

Jetzt überprüfen wir, ob die 63 € den 40 kg Birnen entsprechen.

: 3

⋅ 4

30 kg Birnen	45,00 €
10 kg Birnen	15,00 €
40 kg Birnen	60,00 €

: 3

⋅ 4

Der Wert 63 € war also falsch, richtig wäre 60 € gewesen.

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 2,40 € für 8 Eier.

Wie viel kosten 12 Eier?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Eier	240 ct
?	?
12 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:

8 Eier	240 ct
4 Eier	?
12 Eier	?

Um von 8 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 240 ct durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:

: 2

8 Eier	240 ct
4 Eier	?
12 Eier	?

: 2

8 Eier	240 ct
4 Eier	120 ct
12 Eier	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

8 Eier	240 ct
4 Eier	120 ct
12 Eier	?

: 2

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 120 ct in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 2

⋅ 3

8 Eier	240 ct
4 Eier	120 ct
12 Eier	360 ct

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Eier entspricht: 360 ct

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 8.1 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 8.1 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{8.1}{3}$ = $2,7$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,7$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 6 Minuten 21,6 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 21.6 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{21.6}{6}$ = $3,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3, wenn die Größe B den Wert 15 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 5 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 15 = m⋅3.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 15 durch den Wert von Größe A (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{15}{3}$ = $5$
Zuordnungsvorschrift: y = $5$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5

Da der/die Größe A den Wert 5 hat, muss man einfach 5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $5$ ⋅ 5 = 25

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 9 Minuten nur 27ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 27 = m⋅9.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 27 durch den Wert von Minuten (9) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{9}$ des Wertes bei 9 sein muss.
Also: m= $\frac{27}{9}$ = $3$
Zuordnungsvorschrift: y = $3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 5.5
Da der/die Minuten den Wert 5.5 hat, muss man einfach 5.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $3$ ⋅ 5.5 = 16.5
.
x-Wert bei y = 16.5
Da der/die Preis den Wert 16.5 hat, muss man 16.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
16.5 = $3$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{16.5}{3}$ , weil dann 16.5 = $3$ ⋅ $\frac{16.5}{3}$ .
Somit gilt für x (Minuten) = $\frac{16.5}{3}$ = 5.5.

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Proportionalität überprüfen

Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)