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Zweisatz

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 8 ct.

Wie viel kosten ihn 8 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute telefonieren	8 ct
8 Minuten telefonieren	?

Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 8 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 8 ct mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 Minuten telefonieren entspricht:

⋅ 8

1 Minute telefonieren	8 ct
8 Minuten telefonieren	?

⋅ 8

1 Minute telefonieren	8 ct
8 Minuten telefonieren	64 ct

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 Minuten telefonieren entspricht: 64 ct

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

20 Becher Joghurt	9000 g
?	?
12 Becher Joghurt	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 20 und von 12 sein, also der ggT(20,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Becher Joghurt:

20 Becher Joghurt	9000 g
4 Becher Joghurt	?
12 Becher Joghurt	?

Um von 20 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 4 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 9000 g durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Becher Joghurt entspricht:

: 5

20 Becher Joghurt	9000 g
4 Becher Joghurt	?
12 Becher Joghurt	?

: 5

(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)

: 5

20 Becher Joghurt	9000 g
4 Becher Joghurt	1800 g
12 Becher Joghurt	?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 5

⋅ 3

20 Becher Joghurt	9000 g
4 Becher Joghurt	1800 g
12 Becher Joghurt	?

: 5

⋅ 3

Wir müssen somit auch rechts die 1800 g in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:

: 5

⋅ 3

20 Becher Joghurt	9000 g
4 Becher Joghurt	1800 g
12 Becher Joghurt	5400 g

: 5

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Becher Joghurt entspricht: 5400 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 3 wenn die Größe B den Wert 6.3 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 6.3 durch den Wert von 'Größe A' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{3}$ des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= $\frac{6.3}{3}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 4 Minuten 5,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 5.6 durch den Wert von 'Zeit' (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{4}$ = $1,4$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,4$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 8.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 10.5 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 8.4 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 8.4 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{8.4}{4}$ = $2,1$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,1$ ⋅ x

x-Wert bei y = 10.5

Da der/die Größe B den Wert 10.5 hat, muss man 10.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
10.5 = $2,1$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{10.5}{2.1}$ , weil dann 10.5 = $2,1$ ⋅ $\frac{10.5}{2.1}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{10.5}{2.1}$ = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 2 Minuten nur 18ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 18 = m⋅2.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 18 durch den Wert von Minuten (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{18}{2}$ = $9$
Zuordnungsvorschrift: y = $9$ ⋅ x

y-Wert bei x = 2.5

Da der/die Minuten den Wert 2.5 hat, muss man einfach 2.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Preis zu erhalten:
y= $9$ ⋅ 2.5 = 22.5

.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)