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Zweisatz

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 1 km braucht sie 6 Minuten.

Wie lange braucht sie für 8 km?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 km	6 min
8 km	?

Um von 1 km in der ersten Zeile auf 8 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 8 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 6 min mit 8 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 8 km entspricht:

⋅ 8

1 km	6 min
8 km	?

⋅ 8

1 km	6 min
8 km	48 min

⋅ 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 km entspricht: 48 min

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 4000 g Protein in dessen 8kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 7 kg Powerdrink?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 kg Powerdrink	4000 g Protein
?	?
7 kg Powerdrink	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 7 sein, also der ggT(8,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 kg Powerdrink:

8 kg Powerdrink	4000 g Protein
1 kg Powerdrink	?
7 kg Powerdrink	?

Um von 8 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 1 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 4000 g Protein durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Powerdrink entspricht:

: 8

8 kg Powerdrink	4000 g Protein
1 kg Powerdrink	?
7 kg Powerdrink	?

: 8

8 kg Powerdrink	4000 g Protein
1 kg Powerdrink	500 g Protein
7 kg Powerdrink	?

: 8

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 8

⋅ 7

8 kg Powerdrink	4000 g Protein
1 kg Powerdrink	500 g Protein
7 kg Powerdrink	?

: 8

⋅ 7

Wir müssen somit auch rechts die 500 g Protein in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren:

: 8

⋅ 7

8 kg Powerdrink	4000 g Protein
1 kg Powerdrink	500 g Protein
7 kg Powerdrink	3500 g Protein

: 8

⋅ 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 kg Powerdrink entspricht: 3500 g Protein

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 9 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{9}{5}$ = $1,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,8$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 5 Minuten 17,5 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 17.5 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{5}$ des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= $\frac{17.5}{5}$ = $3,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,5$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 9.2 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 6 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 9.2 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 9.2 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{4}$ des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= $\frac{9.2}{4}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

y-Wert bei x = 6

Da der/die Größe A den Wert 6 hat, muss man einfach 6 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y= $2,3$ ⋅ 6 = 13.8

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 1,6kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.6 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 1.6 durch den Wert von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{1.6}{8}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.1

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 1.1 hat, muss man 1.1 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
1.1 = $0,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.1}{0.2}$ , weil dann 1.1 = $0,2$ ⋅ $\frac{1.1}{0.2}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{1.1}{0.2}$ = 5.5.

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Einfacher Dreisatz

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)