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Zweisatz

Beispiel:

Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 4 ct.

Wie viel kosten ihn 4 min telefonieren?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 Minute telefonieren	4 ct
4 Minuten telefonieren	?

Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 4 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 4 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 4 ct mit 4 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Minuten telefonieren entspricht:

⋅ 4

1 Minute telefonieren	4 ct
4 Minuten telefonieren	?

⋅ 4

1 Minute telefonieren	4 ct
4 Minuten telefonieren	16 ct

⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Minuten telefonieren entspricht: 16 ct

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 0,80 € für 4 Eier.

Wie viel kosten 5 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 1,20 €?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

4 Eier	80 ct
?	?
5 Eier	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 4 und von 5 sein, also der ggT(4,5) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Eier:

4 Eier	80 ct
1 Ei	?
5 Eier	?

Um von 4 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 80 ct durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:

: 4

4 Eier	80 ct
1 Ei	20 ct
5 Eier	?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Eier in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Eier in der dritten Zeile zu kommen.

: 4

⋅ 5

4 Eier	80 ct
1 Ei	20 ct
5 Eier	100 ct

: 4

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Eier entspricht: 100 ct

Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 1,20 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:

80 ct	4 Eier
?	?
120 ct	?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 80 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 80 und von 120 sein, also der ggT(80,120) = 40.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 40 ct:

80 ct	4 Eier
40 ct	?
120 ct	?

Um von 80 ct in der ersten Zeile auf 40 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 4 Eier durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 40 ct entspricht:

: 2

80 ct	4 Eier
40 ct	2 Eier
120 ct	?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 40 ct in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 120 ct in der dritten Zeile zu kommen.

: 2

⋅ 3

80 ct	4 Eier
40 ct	2 Eier
120 ct	6 Eier

: 2

⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 120 ct entspricht: 6 Eier

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6 wenn die Größe B den Wert 9.6 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 9.6 durch den Wert von 'Größe A' (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{9.6}{6}$ = $1,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,6$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 7 Minuten 18,2 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 18.2 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{18.2}{7}$ = $2,6$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,6$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 24.5 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 35 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 24.5 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 24.5 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{24.5}{7}$ = $3,5$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,5$ ⋅ x

x-Wert bei y = 35

Da der/die Größe B den Wert 35 hat, muss man 35 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
35 = $3,5$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{35}{3.5}$ , weil dann 35 = $3,5$ ⋅ $\frac{35}{3.5}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{35}{3.5}$ = 10.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 6 Bücher wiegen zusammen 1,2kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.2 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 1.2 durch den Wert von Bücheranzahl (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{6}$ des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= $\frac{1.2}{6}$ = $0,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,2$ ⋅ x

x-Wert bei y = 1.8

Da der/die Gesamtgewicht den Wert 1.8 hat, muss man 1.8 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
1.8 = $0,2$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{1.8}{0.2}$ , weil dann 1.8 = $0,2$ ⋅ $\frac{1.8}{0.2}$ .
Somit gilt für x (Bücheranzahl) = $\frac{1.8}{0.2}$ = 9.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zweisatz

Dreisatz (beide Richtungen)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)