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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.25 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.875 und somit β=61°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 29°.
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 32° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 32° = 58°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) =
Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 6cm ≈ 5.1cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+32°) gleich groß sein. Damit gilt 58° = α + 32°, woraus folgt: α = 26°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 26° = 64°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5.7cm
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 19,1° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=22m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 32,2°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(32.2°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(19.1°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(32.2°)= | ⋅ x
(I) tan(32.2°) ⋅ x =h |:tan(32.2°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(19.1°)= | ⋅ (x+ 22)
(II) tan(19.1°) ⋅ (x+ 22) = h |:tan(32.2°)
(II) x + 22= |
(II) x = - 22
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 22
= - 22
⋅ h = ⋅ h - 22
1.588 h = 2.8878 h - 22 | - 1.588 + 22
22 = 1.2999 h | : 1.2999
16.925 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=16.9m hoch.
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(0|-4), B(3|-4) und C(3|1).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 5 und (zwischen A und B) c = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.b2 = 52 + 32
b2 = 25 + 9
b2 = 34
b = ≈ 5.83
Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = ≈ 1.667
Daraus folgt: α = arctan(1.667) ≈ 59°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-59° = 31°