Mathebattle EduRandomtasks

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5}}{x^{9}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{5}}{x^{9}}$

= $x^{5 - 9}$

= $x^{- 4}$

= $\frac{1}{x^{4}}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{18^{6}}{18^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{18^{6}}{18^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{18^{6}}{18^{4}}$

= $\frac{18 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 18}{18 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 18}$

= 18 · 18

= $324$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{18^{6}}{18^{4}}$

= $18^{6 - 4}$

= $18^{2}$

= $324$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 8 x^{5} \cdot 2 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 8 x^{5} \cdot 2 x^{2}$ = $(- 8 \cdot x^{5}) \cdot 2 \cdot x^{2}$ = $- 16 x^{5} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 16$ $x^{5 + 2}$

= $- 16 x^{7}$

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 5 x^{- 6}}{2 x^{- 9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 5 x^{- 6}}{2 x^{- 9}}$ = $\frac{- 5 \cdot x^{- 6}}{2 \cdot x^{- 9}}$ = $- \frac{5}{2} \frac{x^{- 6}}{x^{- 9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{5}{2}$ $x^{- 6 - (- 9)}$

= $- \frac{5}{2} x^{3}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{6^{6}}{6^{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6}$

= ${(\frac{6}{6})}^{6}$

= $1^{6}$

= $1$

3. PG: Potenzen potenzieren

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{5}$

= $2^{x \cdot 5}$

= $2^{5 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{5})}^{x}$

= $32^{x}$

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(7 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(7 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $7^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $7^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $49 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $49 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $49 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 9}}{5^{9}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 9}}{5^{9}}$

= $\frac{1}{2^{9}} \cdot \frac{1}{5^{9}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 5)}^{9}}$

= $\frac{1}{10^{9}}$

= $\frac{1}{1000000000}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8} + x^{6}}{x^{3}} - 5 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{8} + x^{6}}{x^{3}} - 5 x^{3}$

= $\frac{x^{8}}{x^{3}} + \frac{x^{6}}{x^{3}} - 5 x^{3}$

= $x^{5} + x^{3} - 5 x^{3}$

= $x^{5} - 4 x^{3}$

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4 \cdot 5 + 4^{3} \cdot 5}{20}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (20 = 4 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4 \cdot 5 + 4^{3} \cdot 5}{20}$

= $\frac{(4 + 4^{3}) \cdot 5}{4 \cdot 5}$

= $\frac{4 + 4^{3}}{4}$

= $\frac{4 \cdot (1 + 4^{2})}{4}$

= $\frac{1 + 16}{1}$

= $17$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} - 25)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} - 25)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{2}}{{((2 x + 5) \cdot (2 x - 5))}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2} \cdot {(2 x - 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(2 x - 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

3. PG: Potenzen potenzieren

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Potenzen multiplizieren

Vereinfachen von Potenzen

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Potenzen mit binom. Formeln