Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

$\frac{x^9}{x^6}$

= $x^{9-6}$

= $x^3$

${\left(-10\right)}^7$⋅ ${\left(-10\right)}^{-15}$

Herkömmlicher Weg:

${\left(-10\right)}^7·\left(\frac{1}{{\left(-10\right)}^{15}}\right)$

= $\frac{\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)}{\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)}$

= $ 1 (-10) · (-10) · (-10) · (-10) · (-10) · (-10) · (-10) · (-10) $

= $\frac{1}{100000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${\left(-10\right)}^7$⋅ ${\left(-10\right)}^{-15}$

= ${\left(-10\right)}^{7-15}$

= ${\left(-10\right)}^{-8}$

= $\frac{1}{{\left(-10\right)}^8}$

= $\frac{1}{100000000}$

$-8x^6·3x^9$ = $(-8·x^6)·3·x^9$ = $-24x^6·x^9$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $-24$ $x^{6+9}$

= $-24x^{15}$

$\frac{7x^{-2}}{2x^2}$ = $\frac{7·x^{-2}}{2·x^2}$ = $\frac{7}{2}\frac{x^{-2}}{x^2}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{-2-2}$

= $\frac{7}{2}{x}^{-4}$

= $\frac{7}{2x^4}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(3x\right)}^2$

= $3^2·x^2$

= $9x^2$

= $5^2·3^2$

= $5·5$ ⋅ $3·3$

= $5·3·5·3$

= ${(5·3)}^2$

= ${15}^2$

= $225$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(5^x\right)}^2$

= $5^{x·2}$

= $5^{2x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(5^2\right)}^x$

= ${25}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(3x^3\right)}^3$

= $3^3·{\left(x^3\right)}^3$

= $3^3·x^{3·3}$

= $27x^9$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^2·{38}^{-2}$

= $\frac{2^2}{{38}^2}$

= ${\left(\frac{2}{38}\right)}^2$

= ${\left(\frac{1}{19}\right)}^2$

= $\frac{1}{361}$

${\left(3x\right)}^4-5x^4$

= $3^4·x^4-5x^4$

= $81x^4-5x^4$

= $76x^4$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (20 = 4 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^5·5^7+4^8·5^7}{{20}^7}$

= $\frac{\left(4^5+4^8\right)·5^7}{{\left(4\cdot 5\right)}^7}$

= $\frac{\left(4^5+4^8\right)·5^7}{4^7·5^7}$

= $\frac{4^5+4^8}{4^7}$

= $\frac{4^5·\left(1+4^3\right)}{4^7}$

= $\frac{1+64}{4^2}$

= $\frac{65}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{16{\left(x-1\right)}^4}{{\left(4x^2-4\right)}^4}$

= $\frac{16{\left(x-1\right)}^4}{4^4·{\left(x^2-1\right)}^4}$

= $\frac{2^4·{\left(x-1\right)}^4}{{\left(2^2\right)}^4·{\left(x^2-1\right)}^4}$

= $\frac{2^4·{\left(x-1\right)}^4}{2^8·{\left(x^2-1\right)}^4}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^4}{2^4·{\left(x^2-1\right)}^4}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^4}{16{(\left(x-1\right)·\left(x+1\right))}^4}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^4}{{\left(x-1\right)}^4·16{\left(x+1\right)}^4}$

= $\frac{1}{1·16{\left(x+1\right)}^4}$

= $\frac{1}{16{\left(x+1\right)}^4}$