Mathebattle EduRandomtasks

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{9}}{x^{2}}$

= $x^{9 - 2}$

= $x^{7}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{7}$ ⋅ $5^{- 10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{7}$ ⋅ $5^{- 10}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{7} \cdot \frac{1}{5^{10}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{125}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{7}$ ⋅ $5^{- 10}$

= $5^{7 - 10}$

= $5^{- 3}$

= $\frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{1}{125}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot 3 x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{7} \cdot 3 x^{3}$ = $1 \cdot x^{7} \cdot 3 \cdot x^{3}$ = $3 x^{7} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $3$ $x^{7 + 3}$

= $3 x^{10}$

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{6}}{2 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{6}}{2 x^{- 6}}$ = $\frac{4 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{- 6}}$ = $2 \frac{x^{6}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{6 - (- 6)}$

= $2 x^{12}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $14^{5}$ ⋅ $7^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $14^{5}$ ⋅ $7^{- 5}$

= $14^{5} \cdot \frac{1}{7^{5}}$

= $\frac{14^{5}}{7^{5}}$

= $\frac{14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7}$

= ${(\frac{14}{7})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

3. PG: Potenzen potenzieren

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{3}$

= $x^{4 \cdot 3}$

= $x^{12}$

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{2} \cdot 2^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{2} \cdot 2^{- 4}$

= $\frac{8^{2}}{2^{4}}$

= $\frac{{(2^{3})}^{2}}{2^{4}}$

= $\frac{2^{6}}{2^{4}}$

= $2^{6 - 4}$

= $2^{2}$

= $4$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4} - 3 x^{4}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{4} - 3 x^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4} - 3 x^{4}$

= $16 x^{4} - 3 x^{4}$

= $13 x^{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{3} \cdot 4^{2} + 7^{3} \cdot 4^{4}}{28^{3}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{3} \cdot 4^{2} + 7^{3} \cdot 4^{4}}{28^{3}}$

= $\frac{7^{3} \cdot (4^{2} + 4^{4})}{{(7 \cdot 4)}^{3}}$

= $\frac{7^{3} \cdot (4^{2} + 4^{4})}{7^{3} \cdot 4^{3}}$

= $\frac{4^{2} + 4^{4}}{4^{3}}$

= $\frac{4^{2} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{3}}$

= $\frac{1 + 16}{4}$

= $\frac{17}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}{{(x^{2} - 1)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}{{(x^{2} - 1)}^{5}}$

= $\frac{{({(x + 1)}^{2})}^{5}}{{((x + 1) \cdot (x - 1))}^{5}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{10}}{{(x + 1)}^{5} \cdot {(x - 1)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{5}}{1 \cdot {(x - 1)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(x - 1)}^{5}}$

= ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

3. PG: Potenzen potenzieren

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Potenzen multiplizieren

Vereinfachen von Potenzen

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Potenzen mit binom. Formeln