Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

$\frac{x^3}{x^5}$

= $x^{3-5}$

= $x^{-2}$

= $\frac{1}{x^2}$

${\left(-12\right)}^7$⋅ ${\left(-12\right)}^{-5}$

Herkömmlicher Weg:

${\left(-12\right)}^7·\left(\frac{1}{{\left(-12\right)}^5}\right)$

= $\frac{\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)}{\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)·\left($ -12$\right)}$

= ($-12$) · ($-12$)

= $144$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${\left(-12\right)}^7$⋅ ${\left(-12\right)}^{-5}$

= ${\left(-12\right)}^{7-5}$

= ${\left(-12\right)}^2$

= $144$

$-3x^3·4x^8$ = $(-3·x^3)·4·x^8$ = $-12x^3·x^8$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $-12$ $x^{3+8}$

= $-12x^{11}$

$\frac{-5x^{-4}}{2x^9}$ = $\frac{-5·x^{-4}}{2·x^9}$ = $-\frac{5}{2}\frac{x^{-4}}{x^9}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{5}{2}$ $x^{-4-9}$

= $-\frac{5}{2}{x}^{-13}$

= $-\frac{5}{2x^{13}}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{{12}^x}{3^x}$

= ${\left(\frac{12}{3}\right)}^x$

= $4^x$

= $6^3$⋅ $3^{-3}$

= $6^3·\frac{1}{3^3}$

= $\frac{6^3}{3^3}$

= $\frac{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>6</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></mrow></math>}}{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mrow></math>}}$

= $\frac{6}{3}·\frac{6}{3}·\frac{6}{3}$

= ${\left(\frac{6}{3}\right)}^3$

= $2^3$

= $8$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2^x\right)}^4$

= $2^{x·4}$

= $2^{4x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(2^4\right)}^x$

= ${16}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(3x^5\right)}^3$

= $3^3·{\left(x^5\right)}^3$

= $3^3·x^{5·3}$

= $27x^{15}$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^2}{3^{-2}}$

= $5^2·3^2$

= ${\left(5\cdot 3\right)}^2$

= ${15}^2$

= $225$

${\left(5x\right)}^2-4x^2$

= $5^2·x^2-4x^2$

= $25x^2-4x^2$

= $21x^2$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (14 = 2 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^4·2+7^4·2^4}{{14}^4}$

= $\frac{7^4·\left(2+2^4\right)}{{\left(7\cdot 2\right)}^4}$

= $\frac{7^4·\left(2+2^4\right)}{7^4·2^4}$

= $\frac{2+2^4}{2^4}$

= $\frac{2·\left(1+2^3\right)}{2^4}$

= $\frac{1+8}{2^3}$

= $\frac{9}{8}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(4x^2+8x+4\right)}^3}{8{\left(x+1\right)}^3}$

= $\frac{4^3·{\left(x^2+2x+1\right)}^3}{8{\left(x+1\right)}^3}$

= $\frac{{\left(2^2\right)}^3·{\left(x^2+2x+1\right)}^3}{2^3·{\left(x+1\right)}^3}$

= $\frac{2^6·{\left(x^2+2x+1\right)}^3}{2^3·{\left(x+1\right)}^3}$

= $\frac{2^3·{\left(x^2+2x+1\right)}^3}{{\left(x+1\right)}^3}$

= $\frac{8{\left({\left(x+1\right)}^2\right)}^3}{{\left(x+1\right)}^3}$

= $\frac{8{\left(x+1\right)}^6}{{\left(x+1\right)}^3}$

= $\frac{8{\left(x+1\right)}^3}{1}$

= $8{\left(x+1\right)}^3$