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Raumdiagonale

Beispiel:

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Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 mm, b = 3 mm und c = 6 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 8 mm und b = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d12 = a² +b² = (8 mm)2 + (3 mm)2 = 64 mm² + 9 mm² = 73 mm²

d1 = 73 mm ≈ 8.544 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d2 = d1² + c² = ( 73 mm)2 + (6 mm)2 = 73 mm² + 36 mm² = 109 mm²

Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 64 mm² + 9 mm² + 36 mm² = 109 mm²
berechnen.

d = 109 mm ≈ 10.44 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

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Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 mm, b = 7 mm und c = 7 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

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Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 7 mm und c = 7 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d12 = b² + c² = (7 mm)2 + (7 mm)2 = 49 mm² + 49 mm² = 98 mm²

d1 = 98 mm ≈ 9.899 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d2 = d1² + a² = ( 98 mm)2 + (4 mm)2 = 98 mm² + 16 mm² = 114 mm²

d = 114 mm ≈ 10.677 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 9.9 mm + 10.68 mm + 4 mm ≈ 24.58 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = 1 2 d1 ⋅a ≈ 1 2 ⋅9.9 mm⋅ 4 mm ≈ 19.8 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 7 mm, h = 7 mm.
Berechne hb und s.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

hb2 = 72 + 3,5 2 = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt hb = 61.25 mm ≈ 7,8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete 1 2 b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = hb2 + ( 1 2 b)2

Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,832 + 3,52 = 61,31 + 12,25 = 74

Also gilt s = 73.56 mm ≈ 8,5 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 m, h = 7 m, s = 8.2 m.
Berechne hb und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

hb2 = 72 + 3 2 = 49 + 9 = 58

Also gilt hb = 58 m ≈ 7,6 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete 1 2 b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = hb2 + ( 1 2 b)2

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( 1 2 b)2 = s2 - hb2

( 1 2 b)2 = 8,22 - 7,622 = 67,24 - 58,06 = 9,18

Also gilt 1 2 b = 9.18 m ≈ 3,03 m

Somit gilt: b ≈ 6,1 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 20 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 60 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

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Es gilt:

302 + 202 =h2

900 +400 = h2

1300 = h2 |

36.06 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 36.06cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 246,22 m² und Grundfläche G = 81 m².
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundflächenlänge a.

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Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe ha berechnen:

Um ha zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 246,22 m² - 81 m² = 165,22 m²

ha ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 165,22 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche AS = 1 4 ⋅ 165,22 m² = 41.305 m².

Zum anderen gilt aber auch
AS = 1 2 a⋅ha, also: 41.305 m² = 1 2 a⋅ha oder eben

ha = 2⋅41.3 a

Um ha zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = G = 81 m = 9 m

somit gilt: ha = 82.61 9 m ≈ 9,18 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

ha2 = h2 + ( 1 2 a)2

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

ha2 - ( 1 2 a)2 = h2

h2 = 9,182 - 4,52 = 84,25 - 20,25 = 64

Also gilt h = 64 m ≈ 8 m

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 9 m berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 84 mm und Pyramidenhöhe h = 7 mm.
Berechne die Grundfläche G und die Kantenlänge s.

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Bestimmung der Grundfläche G

Da sich ja das Volumen V = 1 3 G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = 3⋅V h :

Das Volumen V ist ja mit V = 84 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = 3⋅V h = 3⋅84 mm³ 7 mm ≈ 36 mm²

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe ha berechnen:

Um ha zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = G = 36 mm = 6 mm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

ha2 = h2 + ( 1 2 a)2

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

ha2 = 72 + 3 2 = 49 + 9 = 58

Also gilt ha = 58 mm ≈ 7,62 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete 1 2 a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = ha2 + ( 1 2 a)2

Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,622 + 32 = 58,06 + 9 = 67

Also gilt s = 67.06 mm ≈ 8,19 mm