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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 m, b = 3 m und c = 2 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 m und b = 3 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 m)² + (3 m)² = 9 m² + 9 m² = 18 m²

d1 = $\sqrt{18}$ m ≈ 4.243 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{18}$ m)² + (2 m)² = 18 m² + 4 m² = 22 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 m² + 9 m² + 4 m² = 22 m²
berechnen.

d = $\sqrt{22}$ m ≈ 4.69 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 cm, b = 7 cm und c = 5 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 7 cm und b = 7 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (7 cm)² + (7 cm)² = 49 cm² + 49 cm² = 98 cm²

d1 = $\sqrt{98}$ cm ≈ 9.899 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{98}$ cm)² + (5 cm)² = 98 cm² + 25 cm² = 123 cm²

d = $\sqrt{123}$ cm ≈ 11.091 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 9.9 cm + 11.09 cm + 5 cm ≈ 25.99 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 5:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅9.9 cm⋅ 5 cm ≈ 24.75 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 mm, b = 5 mm, h = 6 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 3 ² = 36 + 9 = 45

Also gilt h_b = $\sqrt{45}$ mm ≈ 6,7 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,71² + 2,5² = 45,02 + 6,25 = 51

Also gilt s = $\sqrt{51.27}$ mm ≈ 7,2 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 mm, b = 5 mm, h = 8 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_b = $\sqrt{70.25}$ mm ≈ 8,4 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,38² + 2,5² = 70,22 + 6,25 = 76

Also gilt s = $\sqrt{76.47}$ mm ≈ 8,8 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 55 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 50 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

25² + 55² =h²

625 +3025 = h²

3650 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

60.42 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 60.42cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 8,32 m und Grundfläche G = 81 m².
Berechne die Kantenlänge s und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,32 m bereits bekannt.

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ m = 9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,32² + 4,5² = 69,25 + 20,25 = 20

Also gilt s = $\sqrt{20.25}$ m ≈ 9,46 m

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅9 m⋅8,32 m ≈ 37,45 m²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅37,45 m² = 149,79 m²

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

somit gilt: O = M + G = 149,79 m² + 81 m² = 230,79 m²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 106,67 m und Pyramidenhöhe h = 5 m.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Um a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundfläche G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 106,67 m³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅106,67 m³}{5 m}$ ≈ 64 m²

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{64}$ m = 8 m

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 5 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 5² + 4 ² = 25 + 16 = 41

Also gilt h_a = $\sqrt{41}$ m ≈ 6,4 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,4² + 4² = 40,96 + 16 = 57

Also gilt s = $\sqrt{56.96}$ m ≈ 7,55 m

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 64 m² berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundfläche G