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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 m, b = 9 m und c = 5 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 8 m und b = 9 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (8 m)² + (9 m)² = 64 m² + 81 m² = 145 m²

d1 = $\sqrt{145}$ m ≈ 12.042 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{145}$ m)² + (5 m)² = 145 m² + 25 m² = 170 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 64 m² + 81 m² + 25 m² = 170 m²
berechnen.

d = $\sqrt{170}$ m ≈ 13.038 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 cm, b = 2 cm und c = 8 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 cm und b = 2 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (6 cm)² + (2 cm)² = 36 cm² + 4 cm² = 40 cm²

d1 = $\sqrt{40}$ cm ≈ 6.325 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{40}$ cm)² + (8 cm)² = 40 cm² + 64 cm² = 104 cm²

d = $\sqrt{104}$ cm ≈ 10.198 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 6.32 cm + 10.2 cm + 8 cm ≈ 24.52 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅6.32 cm⋅ 8 cm ≈ 25.3 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, b = 9 m, h = 6 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 4,5 ² = 36 + 20,25 = 56,25

Also gilt h_b = $\sqrt{56.25}$ m ≈ 7,5 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,5² + 4,5² = 56,25 + 20,25 = 77

Also gilt s = $\sqrt{76.5}$ m ≈ 8,7 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 4 mm, h = 6 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 6² + 3,5 ² = 36 + 12,25 = 48,25

Also gilt h_b = $\sqrt{48.25}$ mm ≈ 6,9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,95² + 2² = 48,3 + 4 = 52

Also gilt s = $\sqrt{52.3}$ mm ≈ 7,2 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 5m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 15m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 20m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

Lösung einblenden

Im ersten Dreieck gilt:

5² + k1² = 15²

25 + k1² = 225 |-25

k1² = 200 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 14.14

Im zweiten Dreieck gilt:

5² + k2² = 20²

25 + k2² = 400 |-25

k2² = 375 | $\sqrt[]{\cdot}$

k2 ≈ 19.36

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 33.51m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 7,83 cm und Pyramidenhöhe h = 7 cm.
Berechne die Mantelfläche M und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,83² - 7² = 61,25 - 49 = 12,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{12.25}$ cm ≈ 3,5 cm

Somit gilt: a ≈ 7 cm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅7 cm⋅7,83 cm ≈ 27,39 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅27,39 cm² = 109,57 cm²

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 7 cm berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 8,94 m und Kantenlänge s = 9,8 m.
Berechne die Grundfläche G und das Volumen V.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 9,8² - 8,94² = 96 - 80 = 16

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{16}$ m ≈ 4 m

Somit gilt: a ≈ 8 m

somit gilt: G = a² = (8 m)² = 64 m²

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 64 m² bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,94 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,94² - 4² = 80 - 16 = 64

Also gilt h = $\sqrt{64}$ m ≈ 8 m

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅64 m² ⋅ 8 m ≈ 170,67 m³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Mantelfläche M

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung des Volumen V