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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 3 mm, b = 9 mm und c = 8 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 mm)² + (9 mm)² = 9 mm² + 81 mm² = 90 mm²

d1 = $\sqrt{90}$ mm ≈ 9.487 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{90}$ mm)² + (8 mm)² = 90 mm² + 64 mm² = 154 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 mm² + 81 mm² + 64 mm² = 154 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{154}$ mm ≈ 12.41 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 cm, b = 8 cm und c = 9 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 8 cm und b = 8 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (8 cm)² + (8 cm)² = 64 cm² + 64 cm² = 128 cm²

d1 = $\sqrt{128}$ cm ≈ 11.314 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{128}$ cm)² + (9 cm)² = 128 cm² + 81 cm² = 209 cm²

d = $\sqrt{209}$ cm ≈ 14.457 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 11.31 cm + 14.46 cm + 9 cm ≈ 34.77 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅11.31 cm⋅ 9 cm ≈ 50.91 cm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 mm, b = 6 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 4,5 ² = 49 + 20,25 = 69,25

Also gilt h_b = $\sqrt{69.25}$ mm ≈ 8,3 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,32² + 3² = 69,22 + 9 = 78

Also gilt s = $\sqrt{78.22}$ mm ≈ 8,8 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: b = 9 mm, h = 6 mm, h_b = 7.5 mm.
Berechne a und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = h_b² - h²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 7,5² - 6² = 56,25 - 36 = 20,25

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{20.25}$ mm ≈ 4,5 mm

Somit gilt: a ≈ 9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,5² + 4,5² = 56,25 + 20,25 = 77

Also gilt s = $\sqrt{76.5}$ mm ≈ 8,7 mm

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 30 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 60 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

30² + 30² =h²

900 +900 = h²

1800 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

42.43 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 42.43cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 16 mm² und Pyramidenhöhe h = 6 mm.
Berechne die Grundflächenlänge a und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{16}$ mm = 4 mm

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 4 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 2 ² = 36 + 4 = 40

Also gilt h_a = $\sqrt{40}$ mm ≈ 6,32 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6,32² + 2² = 39,94 + 4 = 44

Also gilt s = $\sqrt{43.94}$ mm ≈ 6,63 mm

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 128 mm und Grundflächenlänge a = 8 mm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Höhe der Seitenfläche ha.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 128 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅128 mm³}{6 mm}$ ≈ 64 mm²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 128 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅128 mm³}{64 mm²}$ ≈ 6 mm

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 6 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 6² + 4 ² = 36 + 16 = 52

Also gilt h_a = $\sqrt{52}$ mm ≈ 7,21 mm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Bestimmung der Kantenlänge s

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha