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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 2 m, b = 6 m und c = 4 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 2 m und b = 6 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (2 m)² + (6 m)² = 4 m² + 36 m² = 40 m²

d1 = $\sqrt{40}$ m ≈ 6.325 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{40}$ m)² + (4 m)² = 40 m² + 16 m² = 56 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 4 m² + 36 m² + 16 m² = 56 m²
berechnen.

d = $\sqrt{56}$ m ≈ 7.483 m

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 mm, b = 4 mm und c = 4 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 4 mm und c = 4 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (4 mm)² + (4 mm)² = 16 mm² + 16 mm² = 32 mm²

d1 = $\sqrt{32}$ mm ≈ 5.657 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{32}$ mm)² + (8 mm)² = 32 mm² + 64 mm² = 96 mm²

d = $\sqrt{96}$ mm ≈ 9.798 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 5.66 mm + 9.8 mm + 8 mm ≈ 23.45 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅5.66 mm⋅ 8 mm ≈ 22.63 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 mm, b = 4 mm, h = 8 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_b = $\sqrt{70.25}$ mm ≈ 8,4 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,38² + 2² = 70,22 + 4 = 74

Also gilt s = $\sqrt{74.22}$ mm ≈ 8,6 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 m, b = 4 m, h = 8 m.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_b = $\sqrt{70.25}$ m ≈ 8,4 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,38² + 2² = 70,22 + 4 = 74

Also gilt s = $\sqrt{74.22}$ m ≈ 8,6 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 64m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Lösung einblenden

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371064²

40589641000000 + k1² = 40590456492096 |-40589641000000

k1² = 815492096 | $\sqrt[]{\cdot}$

k1 ≈ 28556.82

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 28556.82m

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Kantenlänge s = 8,25 mm und Höhe der Seitenfläche ha = 7,21 mm.
Berechne die Mantelfläche M und die Oberfläche O.

Lösung einblenden

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( $\frac{1}{2}$ a)² = s² - h_a²

( $\frac{1}{2}$ a)² = 8,25² - 7,21² = 68 - 52 = 16

Also gilt $\frac{1}{2}$ a = $\sqrt{16}$ mm ≈ 4 mm

Somit gilt: a ≈ 8 mm

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S= $\frac{1}{2}$ a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$ ⋅8 mm⋅7,21 mm ≈ 28,84 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅28,84 mm² = 115,38 mm²

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M ist ja mit M = 115,38 mm² bereits bekannt.

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 mm)² = 64 mm²

somit gilt: O = M + G = 115,38 mm² + 64 mm² = 179,38 mm²

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 170,67 m und Grundflächenlänge a = 8 m.
Berechne die Kantenlänge s und die Grundfläche G.

Lösung einblenden

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 m bereits bekannt.

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Pyramindenhöhe h berechnen:

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 170,67 m³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅170,67 m³}{8 m}$ ≈ 64 m²

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{3⋅V}{G}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 170,67 m³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{3⋅V}{G}$ = $\frac{3⋅170,67 m³}{64 m²}$ ≈ 8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 8² + 4 ² = 64 + 16 = 80

Also gilt h_a = $\sqrt{80}$ m ≈ 8,94 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 4² = 79,92 + 16 = 96

Also gilt s = $\sqrt{95.92}$ m ≈ 9,8 m

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 64 m² berechnet.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Mantelfläche M

Bestimmung der Oberfläche O

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Kantenlänge s

Bestimmung der Grundfläche G