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Raumdiagonale

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 8 mm, b = 3 mm und c = 6 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 8 mm und b = 3 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (8 mm)² + (3 mm)² = 64 mm² + 9 mm² = 73 mm²

d1 = $\sqrt{73}$ mm ≈ 8.544 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{73}$ mm)² + (6 mm)² = 73 mm² + 36 mm² = 109 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 64 mm² + 9 mm² + 36 mm² = 109 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{109}$ mm ≈ 10.44 mm

Dreiecke im Quader

Beispiel:

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 mm, b = 7 mm und c = 7 mm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.

Lösung einblenden

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 7 mm und c = 7 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (7 mm)² + (7 mm)² = 49 mm² + 49 mm² = 98 mm²

d1 = $\sqrt{98}$ mm ≈ 9.899 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{98}$ mm)² + (4 mm)² = 98 mm² + 16 mm² = 114 mm²

d = $\sqrt{114}$ mm ≈ 10.677 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 9.9 mm + 10.68 mm + 4 mm ≈ 24.58 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅9.9 mm⋅ 4 mm ≈ 19.8 mm²

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 mm, b = 7 mm, h = 7 mm.
Berechne h_b und s.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_b = $\sqrt{61.25}$ mm ≈ 7,8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 3,5² = 61,31 + 12,25 = 74

Also gilt s = $\sqrt{73.56}$ mm ≈ 8,5 mm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 m, h = 7 m, s = 8.2 m.
Berechne h_b und b.

Lösung einblenden

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3 ² = 49 + 9 = 58

Also gilt h_b = $\sqrt{58}$ m ≈ 7,6 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( $\frac{1}{2}$ b)² = s² - h_b²

( $\frac{1}{2}$ b)² = 8,2² - 7,62² = 67,24 - 58,06 = 9,18

Also gilt $\frac{1}{2}$ b = $\sqrt{9.18}$ m ≈ 3,03 m

Somit gilt: b ≈ 6,1 m

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 20 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 60 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

Lösung einblenden

Es gilt:

30² + 20² =h²

900 +400 = h²

1300 = h² | $\sqrt[]{\cdot}$

36.06 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 36.06cm

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 246,22 m² und Grundfläche G = 81 m².
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundflächenlänge a.

Lösung einblenden

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 246,22 m² - 81 m² = 165,22 m²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 165,22 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 165,22 m² = 41.305 m².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 41.305 m² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅41.3}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{81}$ m = 9 m

somit gilt: h_a = $\frac{82.61}{9}$ m ≈ 9,18 m

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 9,18² - 4,5² = 84,25 - 20,25 = 64

Also gilt h = $\sqrt{64}$ m ≈ 8 m

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 9 m berechnet.

Pyramide (Volumenberechnung)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Volumen V = 84 mm und Pyramidenhöhe h = 7 mm.
Berechne die Grundfläche G und die Kantenlänge s.

Lösung einblenden

Bestimmung der Grundfläche G

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{3⋅V}{h}$ :

Das Volumen V ist ja mit V = 84 mm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{3⋅V}{h}$ = $\frac{3⋅84 mm³}{7 mm}$ ≈ 36 mm²

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 36 mm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{36}$ mm = 6 mm

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 3 ² = 49 + 9 = 58

Also gilt h_a = $\sqrt{58}$ mm ≈ 7,62 mm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,62² + 3² = 58,06 + 9 = 67

Also gilt s = $\sqrt{67.06}$ mm ≈ 8,19 mm

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Raumdiagonale

Dreiecke im Quader

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Anwendungen Pythagoras

Pyramide (Oberflächenberechnung)

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Pyramide (Volumenberechnung)

Bestimmung der Grundfläche G

Bestimmung der Kantenlänge s