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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $27$

Lösung einblenden

$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$1$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (27)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (27)$ = $3$ , eben weil $3$ ^$3$ = $27$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{16})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{16})$ = $- 4$ , eben weil $2$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{16}$ gilt .