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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $10$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$10$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6^{3 x + 3}$ = $\frac{1}{6}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$6^{3 x + 3}$ = $\frac{1}{6}$

$6^{3 x + 3}$ = $6^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 6.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $3 x + 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$3 x + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 4$	\|: $3$
$x$	=	$- \frac{4}{3}$

L={ $- \frac{4}{3}$ }

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{14} (\frac{1}{196})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{196}$ zur Basis $14$ , also die Hochzahl mit der man $14$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{196}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $14$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $14$ ^☐ = $\frac{1}{196}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{14} (\frac{1}{196})$ = $- 2$ , eben weil $14$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{196}$ gilt .