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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{3 x + 1}$ = $\frac{1}{4}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$4^{3 x + 1}$ = $\frac{1}{4}$

$4^{3 x + 1}$ = $4^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 4.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $3 x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$3 x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 2$	\|: $3$
$x$	=	$- \frac{2}{3}$

L={ $- \frac{2}{3}$ }

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (121)$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $121$ zur Basis $11$ , also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $121$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $121$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{11} (121)$ = $2$ , eben weil $11$ ^$2$ = $121$ gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\frac{1}{324})$ .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $18$ ^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{18} (\frac{1}{324})$ = $- 2$ , eben weil $18$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{324}$ gilt .