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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x = 8

Lösung einblenden
2 x = 8 |lg(⋅)
lg( 2 x ) = lg( 8 )
x · lg( 2 ) = lg( 8 ) |: lg( 2 )
x = lg( 8 ) lg( 2 )
x = 3

L={ 3 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

2 x = 8

2 x = 2 3

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x +2 = 1 5

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

5 x +2 = 1 5

5 x +2 = 5 -1

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 5.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: x +2 und rechts: -1) gleichsetzen:

x +2 = -1 | -2
x = -3

L={ -3 }

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 (27) .

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Wir suchen den Logarithmus von 27 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 27 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3☐ = 27 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 (27) = 3, eben weil 33 = 27 gilt .

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 1 5 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 1 5 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 5 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5☐ = 1 5 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 5-Potenz zu schreiben versuchen, also 5☐ = 1 5

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 ( 1 5 ) = -1, eben weil 5-1 = 1 5 gilt .