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Mittelwert berechnen

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert von: 2; 10; 1; 10; 11; 4; 4

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Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

2 + 10 + 1 + 10 + 11 + 4 + 4 = 42

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:

Mittelwert m = $\frac{42}{7}$ = 6

Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 10; ⬜; 8; 6; 14 haben den Mittelwert 8.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

$\frac{10+⬜+8+6+14}{5}$ = 8

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

$\frac{38+⬜}{5}$ = 8

Wenn wir die Summe im Zähler durch 5 teilen, erhalten wir 8.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 5-fache von 8, also 5 ⋅ 8 = 40 sein, also ...

38 + ⬜ = 40

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 40 - 38 sein muss.

⬜ = 2

Zentralwert angeben

Beispiel:

Gib mit Hilfe der Rangliste den Zentralwert an.

Urliste: 12; 4; 4; 4; 19; 11; 5; 4; 2; 3; 3

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 2
-> 3
-> 3
-> 4
-> 4
-> 4
-> 4
-> 5
-> 11
-> 12
-> 19

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert einfach den mittleren (hier also den 6-ten) Wert der Liste nehmen, also 4.

Kenngrößen bestimmen

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Zentralwert von:

15 €; 21 €; 11 €; 13 €; 20 €

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 11 € und der größte Wert, also das Maximum 21 € ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 21 € - 11 € = 10 €.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

15 € + 21 € + 11 € + 13 € + 20 € = 80 €

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:

Mittelwert m = $\frac{80}{5}$ € = 16 €

Zentralwert

Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 11
-> 13
-> 15
-> 20
-> 21

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert einfach den mittleren (hier also den 3-ten) Wert der Liste nehmen, also 15 €.

Relative Häufigkeit

Beispiel:

Bei einer Umfrage unter Schüler:innen wurde gefragt, wie viele Personen in ihrem Haushalt leben. Dabei gaben 1 an, in einem 2-Personen-Haushalt zu leben, 6 in einem 3-Personen-Haushalt, 14 in einem 4-Personen-Haushalt und 4 Schüler:innen gaben an in einem Haushalt mit mindestens 5 Personen zu wohnen.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Haushaltsgrößen bei den Schüler:innen in Prozent.

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Zuerst addieren wir alle Schüler:innen zusammen und erhalten: 1 + 6 + 14 + 4 = 25

Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 25 teilen:

Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:

2-Personen: $\frac{1}{25}$ = $\frac{4}{100}$ = 4%

3-Personen: $\frac{6}{25}$ = $\frac{24}{100}$ = 24%

4-Personen: $\frac{14}{25}$ = $\frac{56}{100}$ = 56%

5-Personen oder mehr: $\frac{4}{25}$ = $\frac{16}{100}$ = 16%

Relative Häufigkeit rückwärts

Beispiel:

(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)

Bei einer Datenerhebung werden 40 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.

Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.

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Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:

A: 135°

B: 90°

C: 90°

D: 45°

Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.

Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=40 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:

Option	relative Häufigkeit	tatsächliche Zahl
A	$\frac{135}{360}$ = $\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$ ⋅40 = 15
B	$\frac{90}{360}$ = $\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$ ⋅40 = 10
C	$\frac{90}{360}$ = $\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$ ⋅40 = 10
D	$\frac{45}{360}$ = $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅40 = 5

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Mittelwert berechnen

Mittelwert rückwärts

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Minimum und Maximum

Spannweite

Mittelwert

Zentralwert

Relative Häufigkeit

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