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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(6 r - 5)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(6 r - 5)}^{2}$ = ${(6 r)}^{2} - 2 \cdot 6 r \cdot 5 + 5^{2}$ = $36 r^{2} - 60 r + 25$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 x^{2} - 40 x + 25$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 40 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 40 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $25$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4 x$ und für b dann $5$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 40 x$ = -2⋅ $4 x$ ⋅ $5$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 x - 5)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 x - 5)}^{2}$ = $4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot (- 5) - 5 \cdot 4 x - 5 \cdot (- 5)$ = $16 x^{2} - 40 x + 25$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 2 x^{2} + 8 x - 8$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 2 x^{2} + 8 x - 8$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 2$ aus.

$- 2 (x^{2} - 4 x + 4)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 2 {(x - 2)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 6 x + ☐$

Der gemischte Term $6 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$6 x$ = 2⋅x⋅◇

also $3$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $3$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $3$ ²

somit gilt: ☐= $9$