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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(5 c - 3 d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(5 c - 3 d)}^{2}$ = ${(5 c)}^{2} - 2 \cdot 5 c \cdot 3 d + {(3 d)}^{2}$ = $25 c^{2} - 30 c d + 9 d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 y^{2} + 18 y + 1$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $18 y$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $18 y$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81 y^{2}$ ) als auch der letzte ( $1$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9 y$ und für b dann $1$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $18 y$ = 2⋅ $9 y$ ⋅ $1$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(9 y + 1)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(9 y + 1)}^{2}$ = $9 y \cdot 9 y + 9 y \cdot 1 + 1 \cdot 9 y + 1 \cdot 1$ = $81 y^{2} + 18 y + 1$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 x^{2} + 24 x - 48$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 3 x^{2} + 24 x - 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (x^{2} - 8 x + 16)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 {(x - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 12 x + ☐$

Der gemischte Term $- 12 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 12 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 6$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 6$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 6)$ ²

somit gilt: ☐= $36$