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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(8 y - 4 x)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(8 y - 4 x)}^{2}$ = ${(8 y)}^{2} - 2 \cdot 8 y \cdot 4 x + {(4 x)}^{2}$ = $64 y^{2} - 64 y x + 16 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 - 40 x + 25 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 40 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 40 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16$ ) als auch der letzte ( $25 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4$ und für b dann $5 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 40 x$ = -2⋅ $4$ ⋅ $5 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 - 5 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 - 5 x)}^{2}$ = $4 \cdot 4 + 4 \cdot (- 5 x) - 5 x \cdot 4 - 5 x \cdot (- 5 x)$ = $16 - 40 x + 25 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 2 u^{2} - 12 u - 18$

$- 2 u^{2} - 12 u - 18$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 2$ aus.

$- 2 (u^{2} + 6 u + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- 2 {(u + 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 9$

Der hintere Term $9$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $9$ = 3⋅3 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=3

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅3

somit gilt: ☐= $6 x$