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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(8 u + 8) \cdot (8 u - 8)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(8 u + 8) \cdot (8 u - 8)$ = ${(8 u)}^{2} - 8^{2}$ = $64 u^{2} - 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $64 x^{2} - 64 x + 16$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 64 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 64 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $64 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $16$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $8 x$ und für b dann $4$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 64 x$ = -2⋅ $8 x$ ⋅ $4$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(8 x - 4)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(8 x - 4)}^{2}$ = $8 x \cdot 8 x + 8 x \cdot (- 4) - 4 \cdot 8 x - 4 \cdot (- 4)$ = $64 x^{2} - 64 x + 16$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 x^{2} - 32$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$2 x^{2} - 32$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (x^{2} - 16)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$2 (x + 4) (x - 4)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 25$

Der hintere Term $25$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $25$ = 5⋅5 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=5

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅5

somit gilt: ☐= $10 x$