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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(2 y + 5 x) \cdot (2 y - 5 x)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(2 y + 5 x) \cdot (2 y - 5 x)$ = ${(2 y)}^{2} - {(5 x)}^{2}$ = $4 y^{2} - 25 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 24 x + 36$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 24 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 24 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $36$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2 x$ und für b dann $6$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 24 x$ = -2⋅ $2 x$ ⋅ $6$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 x - 6)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 x - 6)}^{2}$ = $2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot (- 6) - 6 \cdot 2 x - 6 \cdot (- 6)$ = $4 x^{2} - 24 x + 36$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 4 x^{2} - 8 x - 4$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 4 x^{2} - 8 x - 4$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 4$ aus.

$- 4 (x^{2} + 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- 4 {(x + 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 1$

Der hintere Term $1$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $1$ = 1⋅1 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=1

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅1

somit gilt: ☐= $2 x$