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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(r + s) \cdot (r - s)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(r + s) \cdot (r - s)$ = $r^{2} - {(s)}^{2}$ = $r^{2} - s^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 32 x + 64$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 32 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 32 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $64$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2 x$ und für b dann $8$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 32 x$ = -2⋅ $2 x$ ⋅ $8$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 x - 8)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 x - 8)}^{2}$ = $2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot (- 8) - 8 \cdot 2 x - 8 \cdot (- 8)$ = $4 x^{2} - 32 x + 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 y^{2} + 6 y - 3$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 3 y^{2} + 6 y - 3$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (y^{2} - 2 y + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 {(y - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 14 x + ☐$

Der gemischte Term $- 14 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 14 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 7$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 7$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 7)$ ²

somit gilt: ☐= $49$