Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(8 a + 9 b) \cdot (8 a - 9 b)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(8 a + 9 b) \cdot (8 a - 9 b)$ = ${(8 a)}^{2} - {(9 b)}^{2}$ = $64 a^{2} - 81 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 - 84 x + 49 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 84 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 84 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36$ ) als auch der letzte ( $49 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6$ und für b dann $7 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 84 x$ = -2⋅ $6$ ⋅ $7 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(6 - 7 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(6 - 7 x)}^{2}$ = $6 \cdot 6 + 6 \cdot (- 7 x) - 7 x \cdot 6 - 7 x \cdot (- 7 x)$ = $36 - 84 x + 49 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 z^{2} - 20 z + 50$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$2 z^{2} - 20 z + 50$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (z^{2} - 10 z + 25)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$2 {(z - 5)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 25$

Der hintere Term $25$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $25$ = 5⋅5 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=5

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅5

somit gilt: ☐= $10 x$