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sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( - 1 5 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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- 1 5 π bedeutet - 1 10 eines Kreises, also - 1 10 von 360° = -36°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -36° + 360° = 324°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( - 1 5 π ) bzw. für cos(-36°) ablesen:

cos - 1 5 π ) bzw. cos(-36°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( - 1 5 π °) ≈ 0.81

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 165° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

165° sind aber nur ein 165° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 165° auch nur 165° 360° ⋅ 2π = 165 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 165° 180° ⋅π = 33 36 ⋅π = 11 12 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = - 1 2 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

- 1 2 π entspricht also dem Gradmaß - 1 2 ⋅180° = -90°

Amplitude und Periode bestimmen

Beispiel:

Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit f(x)= -4⋅ sin( 2 3 x ) -2 .

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Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=4

Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b= 2 3 . Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p= 2π b = 2π 2 3 , also p= 3π .

einfache Sinusbestimmung

Beispiel:

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Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um -2 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term sin(x-c) -2 sein.

Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 1 Einheit(en) nach rechts verschoben ist. wir können also c=-1 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:

sin( x -1 ) -2

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

Beispiel:

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Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Auch die Amplitude ist ganzzahlig. Die Periode ist entweder ein Vielfaches von π oder auch ganzzahlig. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

  • Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(2|0). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 2 Einheit(en) nach rechts und um 0 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
  • Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=2 und d=0, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x-2))+0
  • Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=2 und den Tiefpunkten bei y=-2 gerade 4 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=2 bestimmen.
  • Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(2|0) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand ganzzahlig ist, nämlich gerade 1 zwischen steigender und fallender Wendestelle bzw. 2 zwischen zwei steigenden Wendestellen. Eine Periode ist somit 2. Wir stellen die Periodenformel p= 2π b um zu b= 2π p = 2π 2 und erhalten so b= π .

Der gesuchte Funktionsterm ist also 2⋅ sin(π ( x -2 ))

trigon. Anwendungsaufgabe

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit f(t)= 5⋅ sin( 1 12 π ( t -7 )) +10 (0 ≤ t ≤ 24) näherungsweise angeben.

  1. Wie groß ist die tiefste Temperatur?
  2. Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 12 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 12 π = 24

  1. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 10 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 10. Somit ist der tiefste Wert bei 10 ° C - 5 ° C = 5 ° C.

  2. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 10 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 10. Somit ist der höchste Wert bei 10 ° C + 5 ° C = 15 ° C.