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sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise cos( 5 2 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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5 2 π bedeutet 5 4 eines Kreises, also 5 4 von 360° = 450°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 450° = 90° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 450° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( 5 2 π ) bzw. für cos(450°) ablesen:

cos 5 2 π ) bzw. cos(450°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( 5 2 π °) ≈ 0

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 270° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

270° sind aber nur ein 270° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 270° auch nur 270° 360° ⋅ 2π = 270 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 270° 180° ⋅π = 9 6 ⋅π = 3 2 ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

1π entspricht also dem Gradmaß 1⋅180° = 180°

Amplitude und Periode bestimmen

Beispiel:

Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit f(x)= - sin( 2x ) -1 .

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Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=1

Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b=2. Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p= 2π b = 2π 2 , also p= π .

einfache Sinusbestimmung

Beispiel:

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Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um -3 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term sin(x-c) -3 sein.

Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 2 Einheit(en) nach rechts verschoben ist. wir können also c=-2 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:

sin( x -2 ) -3

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

Beispiel:

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Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Auch die Amplitude ist ganzzahlig. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

Die Periode ist entweder auch ganzzahlig oder ein Vielfaches von π (bzw. ein einfacher Bruch mit π wie z.B. 3 4 π)

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

  • Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(2|-2). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 2 Einheit(en) nach rechts und um -2 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
  • Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=2 und d=-2, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x-2))-2
  • Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=0 und den Tiefpunkten bei y=-4 gerade 4 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=2 bestimmen.
  • Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(2|-2) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand ganzzahlig ist, nämlich gerade 0.5 zwischen steigender und fallender Wendestelle bzw. 1 zwischen zwei steigenden Wendestellen. Eine Periode ist somit 1. Wir stellen die Periodenformel p= 2π b um zu b= 2π p = 2π 1 und erhalten so b= 2π .

Der gesuchte Funktionsterm ist also 2⋅ sin(2π · ( x -2 )) -2

trigon. Anwendungsaufgabe

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15⋅ sin( 1 40 π · ( t -10 )) +16 (0 ≤ t ≤ 80) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Bestimme die maximale Höhe der Gondel.

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 40 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 40 π = 80

  2. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 16 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 16. Somit ist der höchste Wert bei 16 m + 15 m = 31 m.