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sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise cos( $\frac{2}{3} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$\frac{2}{3} π$ bedeutet $\frac{1}{3}$ eines Kreises, also $\frac{1}{3}$ von 360° = 120°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $\frac{2}{3} π$ ) bzw. für cos(120°) ablesen:

cos $\frac{2}{3} π$ ) bzw. cos(120°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $\frac{2}{3} π$ °) ≈ -0.5

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -450° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-450° sind aber nur ein $\frac{-450°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -450° auch nur $\frac{-450°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{-450}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{-450°}{180°}$ ⋅π = $- \frac{15}{6}$ ⋅π = $- \frac{5}{2}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{1}{6}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{1}{6}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1}{6}$ ⋅180° = 30°

Amplitude und Periode bestimmen

Beispiel:

Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit $f(x) =$ $- 8 \cdot \sin (\frac{5}{2} (x - 3)) - 3$ .

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Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=8

Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b= $\frac{5}{2}$ . Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p= $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{\frac{5}{2}}$ , also p= $\frac{4}{5} π$ .

einfache Sinusbestimmung

Beispiel:

Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um -2 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term sin(x-c) -2 sein.

Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 1 Einheit(en) nach rechts verschoben ist. wir können also c=-1 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:

$\sin (x - 1) - 2$

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

Beispiel:

Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Auch die Amplitude ist ganzzahlig. Die Periode ist entweder ein Vielfaches von π oder auch ganzzahlig. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(2|-2). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 2 Einheit(en) nach rechts und um -2 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=2 und d=-2, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x-2))-2
Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=-1 und den Tiefpunkten bei y=-3 gerade 2 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=1 bestimmen.
Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(2|-2) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand ganzzahlig ist, nämlich gerade 1 zwischen steigender und fallender Wendestelle bzw. 2 zwischen zwei steigenden Wendestellen. Eine Periode ist somit 2. Wir stellen die Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ um zu b= $\frac{2π}{p}$ = $\frac{2π}{2}$ und erhalten so b= $π$ .

Der gesuchte Funktionsterm ist also $\sin (π \cdot (x - 2)) - 2$

trigon. Anwendungsaufgabe

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π \cdot (t - 10)) + 12$ (0 ≤ t ≤ 366) angeben.

Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
Bestimme die maximale Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h).

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{183} π}$ = 366

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 5 h = 7 h.
y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 5 h = 17 h.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Amplitude und Periode bestimmen

einfache Sinusbestimmung

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

trigon. Anwendungsaufgabe