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sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $\frac{3}{2} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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$\frac{3}{2} π$ bedeutet $\frac{3}{4}$ eines Kreises, also $\frac{3}{4}$ von 360° = 270°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{3}{2} π$ ) bzw. für sin(270°) ablesen:

sin( $\frac{3}{2} π$ ) bzw. sin(270°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{3}{2} π$ °) ≈ -1

Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = -180° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-180° sind aber nur ein $\frac{-180°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -180° auch nur $\frac{-180°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{-180}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{-180°}{180°}$ ⋅π = $- \frac{6}{6}$ ⋅π = $- 1$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{1}{2}$ π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{1}{2}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1}{2}$ ⋅180° = 90°

Amplitude und Periode bestimmen

Beispiel:

Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit $f(x) =$ $- 6 \cdot \sin (\frac{1}{3} (x + 2)) + 3$ .

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Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=6

Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b= $\frac{1}{3}$ . Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p= $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$ , also p= $6 π$ .

einfache Sinusbestimmung

Beispiel:

Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um 2 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term sin(x-c) +2 sein.

Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 2 Einheit(en) nach rechts verschoben ist. wir können also c=-2 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:

$\sin (x - 2) + 2$

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

Beispiel:

Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Auch die Amplitude ist ganzzahlig. Die Periode ist entweder ein Vielfaches von π oder auch ganzzahlig. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(1|-1). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 1 Einheit(en) nach rechts und um -1 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=1 und d=-1, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x-1))-1
Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=2 und den Tiefpunkten bei y=-4 gerade 6 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=3 bestimmen.
Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(1|-1) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand ganzzahlig ist, nämlich gerade 2 zwischen steigender und fallender Wendestelle bzw. 4 zwischen zwei steigenden Wendestellen. Eine Periode ist somit 4. Wir stellen die Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ um zu b= $\frac{2π}{p}$ = $\frac{2π}{4}$ und erhalten so b= $\frac{1}{2} π$ .

Der gesuchte Funktionsterm ist also $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} π \cdot (x - 1)) - 1$

trigon. Anwendungsaufgabe

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $4,5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π \cdot (t - 40)) + 12$ (0 ≤ t ≤ 366) angeben.

Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn ist der Tag am längsten?
Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{183} π}$ = 366

t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 40 d = 131.5 d. Die Lösung ist also: 131.5 d.
y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4.5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4.5 h = 7.5 h.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Amplitude und Periode bestimmen

einfache Sinusbestimmung

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

trigon. Anwendungsaufgabe