Wir können die beiden Brüche am leichtesten vergleichen, wenn wir beide auf die gleichen Nenner bringen.
Dazu müssen wir $\frac{4}{5}$mit 3 erweitern, um auf die 15-tel zu kommen.
$\frac{4}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 3}}{\mathrm{5\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{12}{15}$

Jetzt können wir gut erkennen, dass gilt: $\frac{4}{5}$ = $\frac{12}{15}$

Wir können die beiden Brüche am leichtesten vergleichen, wenn wir beide auf die gleichen Nenner bringen.
Dazu müssen wir $\frac{4}{8}$mit 5 erweitern, um auf die 40-tel zu kommen.
$\frac{4}{8}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 5}}{\mathrm{8\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{20}{40}$

Jetzt können wir gut erkennen, dass gilt: $\frac{4}{8}$ = $\frac{20}{40}$ < $\frac{25}{40}$

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{8}{12}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (8) und Nenner (12) sind:

Mit dem Primteiler 2 funktioniert dies: $\frac{8}{12}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{4}{6}$

Mit dem Primteiler 2 können wir auch $\frac{4}{6}$ nochmals kürzen: $\frac{8}{12}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{2}{3}$

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{6}{10}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (6) und Nenner (10) sind:

Mit dem Primteiler 2 funktioniert dies: $\frac{6}{10}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{3}{5}$

Weil man $\frac{3}{5}$ nicht weiter kürzen kann, müssen wir diesen Bruch eben erweitern.
Mit 2 dürfen wir nicht erweitern, sonst würden wir ja wieder $\frac{6}{10}$ erhalten, deswegen erweitern wir mit 3:
$\frac{3}{5}$$\stackrel{\mathrm{e(3)}}{=}$ $\frac{9}{15}$

An den Pfeilen erkennt man, dass der Bruch $\frac{2}{3}$ mit 2 erweitert werden soll.
Dazu müssen wir einfach sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 2 multiplizieren.

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; ·\; 2}}{\mathrm{3\; ·\; 2}}$ = $\frac{4}{6}$

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 8:

$\frac{3}{5}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 8}}{\mathrm{5\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{24}{40}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 8 nachher der neue Nenner 40 wird.

Wir müssen also 40 : 8 = 5 teilen.

Natürlich hätte man auch den neuen Zähler 25 durch den ursprünglichen Zähler 5 teilen können, also 25 : 5 = 5

Beim Kürzen mit 3 dividieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 3:

$\frac{3}{6}$ = $\frac{\mathrm{3\; :\; 3}}{\mathrm{6\; :\; 3}}$ = $\frac{1}{2}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Zähler 2 nachher der neue Zähler 10 wird.

Wir müssen also mit 10 : 2 = 5 erweitern.

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 5}}{\mathrm{3\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{10}{15}$

Der Bruch soll so gekürzt werden, dass aus dem alten Nenner 42 nachher der neue Nenner 7 wird.

Wir müssen also mit 42 : 7 = 6 kürzen.

$\frac{30}{42}$ = $\frac{\mathrm{30\; :\; 6}}{\mathrm{42\; :\; 6}}$ = $\frac{5}{7}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (27) und Nenner (63) sind:

$\frac{27}{63}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{9}{21}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{3}{7}$

$\frac{27}{63}$ = $\frac{3}{7}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 9 kürzen können).

Ausgehend vom ersten Bruch $\frac{9}{15}$ können wir anhand des Nenners 5 im anderen Bruch erkennen, dass hier der erste Bruch mit 3 gekürzt wurde, weil 15 ja 3 mal so groß ist wie 5 (15:5=3).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Kürzungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des zweiten Bruchs muss somit ein 3-tel so groß wie 9 sein, also 9 : 3 = 3.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{3}{5}$ können wir anhand des Erweiterungsfaktors "· 5" unter dem Gleichheitszeichen erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 5 erweitert wurde.

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des dritten Bruchs muss somit 5 mal so groß wie 3 sein, also 3 · 5 = 15.

Der Nenner des dritten Bruchs muss somit 5 mal so groß wie 5 sein, also 5 · 5 = 25.

Ausgehend vom dritten Bruch $\frac{16}{18}$ können wir anhand des Zählers 8 im anderen Bruch erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 2 erweitert wurde, weil 16 ja 2 mal so groß ist wie 8 (16:8=2).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Nenner des zweiten Bruchs muss somit ein 2-tel so groß wie 18 sein, also 18 : 2 = 9.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{8}{9}$ können wir anhand des Kürzungsfaktors ": 6" über dem Gleichheitszeichen erkennen, dass hier der erste Bruch mit 6 gekürzt wurde.

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Kürzungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des ersten Bruchs muss somit 6 mal so groß wie 8 sein, also 8 · 6 = 48.

Der Nenner des ersten Bruchs muss somit 6 mal so groß wie 9 sein, also 9 · 6 = 54.