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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 cm³. Berechne die Kantenlänge.

Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a³

Es gilt somit:

1000 cm³ = ⬜³

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 cm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 14 cm ⋅ 6 cm = 42 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 42 cm² ⋅ 5 cm = 210 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 mm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{5}{2}$ )² = 5² |-( $\frac{5}{2}$ )²

h_c² = 5² - ( $\frac{5}{2}$ )² = 5² - 2.5² = 25 - 6.25= 18.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{18,75}$ ≈ 4.33

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 ⋅ 4.33 ≈ 10.8

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
A_Dreieck = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 25 ≈ 10.8

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche A_Dreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ A_Dreieck ≈ 6 ⋅ 10.8 ≈ 65

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 65 mm² ⋅ 60 mm ≈ 3897.1 mm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 630 cm³, die Höhe h = 70 cm und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{630}{70}$ ≈ 9

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ x² = $\frac{1}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 9 einsetzen:

9 ≈ $\frac{1}{4}$ x² | ⋅4

36 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{36}$ ≈ 6

Für x = 6 cm ist somit die Grundfläche G ≈ 9 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 630 cm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)