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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 m³. Berechne die Kantenlänge.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3

Es gilt somit:

1000 m³ = ⬜3

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 m funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

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Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

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Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 8 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = 1 2 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = 1 2 ⋅ 5 cm ⋅ 6 cm = 15 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 15 cm² ⋅ 8 cm = 120 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

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Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 40 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

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Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = 1 2 c ⋅ hc

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

hc2 + ( 10 2 )2 = 72 |-( 10 2 )2

hc2 = 72 - ( 10 2 )2 = 72 - 52 = 49 - 25= 24

Daraus ergibt sich:

hc = 24 ≈ 4.899

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 4.899 ≈ 24.5

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=40 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 24.5 cm² ⋅ 40 cm ≈ 979.8 cm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

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Ein Prisma hat das Volumen V = 2165.1 mm³, die Höhe h = 50 mm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

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Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = V h 2165.1 50 ≈ 43.3

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

hc2 + ( x 2 )2 = x2 |-( x 2 )2

hc2 = x2 - ( x 2 )2 = x2 - 1 4 x2 = 3 4 x2

Daraus ergibt sich:

hc = 3 2 x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 x ⋅ hc = 1 2 ⋅ x ⋅ 3 2 x ≈ 3 4 x2

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 43.3 einsetzen:

43.3 ≈ 3 4 x2 | ⋅4: 3

100 ≈ x2

x ≈ 100 ≈ 10

Für x = 10 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 43.3 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 2165.1 mm³