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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 dm². Berechne die Kantenlänge.

Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

54 dm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.

9 dm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 dm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 9 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6 cm ⋅ 6 cm = 18 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 18 cm² ⋅ 9 cm = 162 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 90 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{6}{2}$ )² = 6² |-( $\frac{6}{2}$ )²

h_c² = 6² - ( $\frac{6}{2}$ )² = 6² - 3² = 36 - 9= 27

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{27}$ ≈ 5.196

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6 ⋅ 5.196 ≈ 15.6

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
A_Dreieck = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 36 ≈ 15.6

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche A_Dreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ A_Dreieck ≈ 6 ⋅ 15.6 ≈ 93.5

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=90 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 93.5 cm² ⋅ 90 cm ≈ 8417.8 cm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 757.8 mm³, die Höhe h = 70 mm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{757.8}{70}$ ≈ 10.83

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 10.83 einsetzen:

10.83 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

25 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{25}$ ≈ 5

Für x = 5 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 10.8 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 757.8 mm³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)