Mathebattle EduRandomtasks

Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 dm². Berechne die Kantenlänge.

Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

150 dm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.

25 dm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 8 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 13 cm ⋅ 9 cm = 58.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 58.5 cm² ⋅ 8 cm = 468 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 40 mm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{4}{2}$ )² = 8² |-( $\frac{4}{2}$ )²

h_c² = 8² - ( $\frac{4}{2}$ )² = 8² - 2² = 64 - 4= 60

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{60}$ ≈ 7.746

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 ⋅ 7.746 ≈ 15.5

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=40 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 15.5 mm² ⋅ 40 mm ≈ 619.7 mm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 450 m³, die Höhe h = 50 m und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{450}{50}$ ≈ 9

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ x² = $\frac{1}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 9 einsetzen:

9 ≈ $\frac{1}{4}$ x² | ⋅4

36 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{36}$ ≈ 6

Für x = 6 m ist somit die Grundfläche G ≈ 9 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 450 m³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)