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Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 2400 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
2400 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.
400 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 mm funktioniert.
Volumen eines Prisma
Beispiel:
Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.
Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:
A = ⋅ 9 cm ⋅ 5 cm = 22.5 cm²
Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 22.5 cm² ⋅ 5 cm = 112.5 cm³
Volumen eines Prisma 2
Beispiel:
Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 80 cm. Berechne das Volumen des Prismas.
Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:
G = c ⋅ hc
Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:
hc2 + ()2 = 92 |-()2
hc2 = 92 - ()2 = 92 - 4.52 = 81 - 20.25= 60.75
Daraus ergibt sich:
hc = ≈ 7.794
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G = c ⋅ hc = ⋅ 9 ⋅ 7.794 ≈ 35.1
Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G =
a2 =
Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=80 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 35.1 cm² ⋅ 80 cm ≈ 2805.9 cm³
Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)
Beispiel:
Ein Prisma hat das Volumen V = 4364.8 mm³, die Höhe h = 70 mm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.
Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G =
Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
hc2 + (
hc2 = x2 - (
Daraus ergibt sich:
hc =
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G =
Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 62.35 einsetzen:
62.35 ≈
144 ≈ x2
x ≈
Für x = 12 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 62.4 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 4364.8 mm³
