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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat die Oberfläche O = 2400 cm². Berechne die Kantenlänge.

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Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2

Es gilt somit:

2400 cm² = 6 ⋅ ⬜2

Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.

400 cm² = ⬜2

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 cm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

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Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

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Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = 1 2 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = 1 2 ⋅ 13 cm ⋅ 8 cm = 52 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 52 cm² ⋅ 6 cm = 312 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

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Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 70 mm. Berechne das Volumen des Prismas.

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Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = 1 2 c ⋅ hc

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

hc2 + ( 6 2 )2 = 62 |-( 6 2 )2

hc2 = 62 - ( 6 2 )2 = 62 - 32 = 36 - 9= 27

Daraus ergibt sich:

hc = 27 ≈ 5.196

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 6 ⋅ 5.196 ≈ 15.6

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = 3 4 a2 = 3 4 36 ≈ 15.6

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=70 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 15.6 mm² ⋅ 70 mm ≈ 1091.2 mm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

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Ein Prisma hat das Volumen V = 14731.1 m³, die Höhe h = 70 m und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

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Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = V h 14731.1 70 ≈ 210.44

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = 1 6 G ≈ 210.44 6 ≈ 35.07 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

hc2 + ( x 2 )2 = x2 |-( x 2 )2

hc2 = x2 - ( x 2 )2 = x2 - 1 4 x2 = 3 4 x2

Daraus ergibt sich:

hc = 3 2 x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche ADreieck:

ADreieck = 1 2 x ⋅ hc = 1 2 ⋅ x ⋅ 3 2 x ≈ 3 4 x2

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche ADreieck = 35.07 einsetzen:

35.07 ≈ 3 4 x2 | ⋅4: 3

81 ≈ x2

x ≈ 81 ≈ 9

Für x = 9 m ist somit die Grundfläche ADreieck ≈ 35.1 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 14731.1 m³