Mathebattle EduRandomtasks

Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 27 dm³. Berechne die Kantenlänge.

Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a³

Es gilt somit:

27 dm³ = ⬜³

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 dm funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 8 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9 cm ⋅ 8 cm = 36 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 36 cm² ⋅ 8 cm = 288 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{7}{2}$ )² = 8² |-( $\frac{7}{2}$ )²

h_c² = 8² - ( $\frac{7}{2}$ )² = 8² - 3.5² = 64 - 12.25= 51.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{51,75}$ ≈ 7.194

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 ⋅ 7.194 ≈ 25.2

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 25.2 cm² ⋅ 60 cm ≈ 1510.7 cm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 157.5 m³, die Höhe h = 70 m und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{157.5}{70}$ ≈ 2.25

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ x² = $\frac{1}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 2.25 einsetzen:

2.25 ≈ $\frac{1}{4}$ x² | ⋅4

9 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{9}$ ≈ 3

Für x = 3 m ist somit die Grundfläche G ≈ 2.3 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 157.5 m³

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Würfel V+O rückwärts

Volumen eines Prisma

Volumen eines Prisma 2

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)