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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite β .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 38°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel β: β=180° - 38° - 90° = 52°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten δ und ε .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 35° und ε müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel ε: ε=180° - 90° - 35° = 55°.
Das Dreieck MBC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MB als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel φ=55° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck MBC für den Winkel δ = 180° - 2 ⋅55° = 70°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 30° = ε + 90° + 30° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 30° = 60°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+30°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+30°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 60° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-60°=120°, also β=60°.
Mit α+30°=β=60° gilt nun:
α = 30°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 25° an einer Seite, also gilt
β +90° + 25° = 180°, oder β = 90° - 25° =65° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 65°=180°, also 2⋅α = 115°
, somit α = 57.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 57.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 57.5° = 32.5°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 57.5° = 32.5°+φ, oder φ=57.5° -32.5°.
φ = 25°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 24° = 180°, oder δ = 90° - 24° =66°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+24)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+24) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-66°=114°
also α = 114° : 2 = 57°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=57°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
57° + 57° + β = 180°, also β = 180° - 114°
=66° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=66° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 66° = 180°, oder φ = 90° - 66°,somit
φ=24°.
Wechselwinkel (schwerer)
Beispiel:
Die beiden blauen Geraden sind parallel.
Bestimme den fehlenden Winkel ε (in rot gezeichnet) .
Die beiden gegebenen Winkel (in grün) sind 60° und 96°.
Da der gegebene Winkel 96° ist, gilt für γ als Nebenwinkel von 96°:
γ=180°-96°=84°
Da γ und δ Stufenwinkel an Parallelen sind, muss auch δ=84° betragen.
Da die drei Winkel δ(=84°), 60° und ε an einer Geraden liegen, muss ihre
Winkelsumme gerade 180° betragen.
Es gilt also: 84° + 60° + ε =
144° + ε = 180°,
also ε = 36°