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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite α .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 50°, 90° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 50° - 90° = 40°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 53° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 53° = 37°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=37° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅37° = 106°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 29° = ε + 90° + 29° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 29° = 61°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+29°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+29°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 61° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-61°=119°, also β=59.5°.
Mit α+29°=β=59.5° gilt nun:
α = 30.5°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 35° an einer Seite, also gilt
β +90° + 35° = 180°, oder β = 90° - 35° =55° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 55°=180°, also 2⋅α = 125°
, somit α = 62.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 62.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 62.5° = 27.5°
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 62.5° = 27.5°+φ, oder φ=62.5° -27.5°.
φ = 35°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DA im rechten Winkel zur Strecke CB.
Es gilt somit:
δ +90° + 32° = 180°, oder δ = 90° - 32° =58°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+32)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+32) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-58°=122°
also α = 122° : 2 = 61°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=61°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
61° + 61° + β = 180°, also β = 180° - 122°
=58° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=58° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 58° = 180°, oder φ = 90° - 58°,somit
φ=32°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC.
Es gilt somit:
δ +90° + 23° = 180°, oder δ = 90° - 23° =67°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+23)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+23) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-67°=113°
also α = 113° : 2 = 56.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=56.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
56.5° + 56.5° + β = 180°, also β = 180° - 113°
=67° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=67° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 67° = 180°, oder φ = 90° - 67°,somit
φ=23°.