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Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite β .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 55°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel β: β=180° - 55° - 90° = 35°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten δ und ε .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 36° und ε müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel ε: ε=180° - 90° - 36° = 54°.
Das Dreieck MBC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MB als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel φ=54° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck MBC für den Winkel δ = 180° - 2 ⋅54° = 72°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 25° = ε + 90° + 25° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 25° = 65°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+25°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+25°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 65° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-65°=115°, also β=57.5°.
Mit α+25°=β=57.5° gilt nun:
α = 32.5°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite BC. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 35° an einer Seite, also gilt
β +90° + 35° = 180°, oder β = 90° - 35° =55° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MB gleich lang sind, also ist MDB
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 55°=180°, also 2⋅α = 125°
, somit α = 62.5°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 62.5° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 62.5° = 27.5°
Weil die Höhe auf A genau in der Mitte auf BC trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 62.5° = 27.5°+φ, oder φ=62.5° -27.5°.
φ = 35°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite BC. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DC im rechten Winkel zur Strecke BA.
Es gilt somit:
δ +90° + 25° = 180°, oder δ = 90° - 25° =65°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf A genau in der Mitte auf BC trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+25)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+25) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-65°=115°
also α = 115° : 2 = 57.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MB gleich lang sind, also ist MDB
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=57.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
57.5° + 57.5° + β = 180°, also β = 180° - 115°
=65° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=65° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 65° = 180°, oder φ = 90° - 65°,somit
φ=25°.
Winkelsumme im Doppel-Dreieck
Beispiel:
Bestimme die Winkelweite von γ.
Da β und 69° Nebenwinkel in M sind, gilt β + 69° = 180°. Also ist β = 180° - 69° = 111°.
Wegen der Winkelsumme im MAB gilt dann aber: 111° + 50° + γ =180°, also gilt
γ=180°-111° - 50° = 19°.