Sammelkorb: 
Klasse 5
- Klasse 6
Klasse 7
- Klasse 8
- Klasse 9
- Klasse 10
- Fit für die Oberstufe
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Thaleskreis (einfach)
Beispiel:
Bestimme die fehlende Winkelweite β .
Wegen des Satzes von Thales muss die Winkelweite des nicht gekennzeichneten Winkels im Kreisbogen immer 90° betragen.
Die drei Winkel 68°, 90° und β müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel β: β=180° - 68° - 90° = 22°.
Thaleskreis (doppeltes Dreieck)
Beispiel:
Bestimme die fehlenden Winkelweiten β und α .
Wegen des Satzes von Thales muss im Dreieck ABC die Winkelweite des Winkels in C (also γ+φ) 90° betragen.
Die drei Winkel 90°, 58° und α müssen zusammen 180° ergeben.
Also gilt für den Winkel α: α=180° - 90° - 58° = 32°.
Das Dreieck AMC ist ja aber gleichschenklig, da sowohl die Strecke MA als auch MC der Radius des Thaleskreise ist. Also muss auch der Winkel γ=32° sein.
Somit ergibt sich aufgrund der Winkelsumme im Dreieck AMC für den Winkel β = 180° - 2 ⋅32° = 116°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: β + γ + 32° = β + 90° + 32° = 180°,
somit gilt β = 180° - 90° - 32° = 58°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+32°) gleich groß sein.
Mit α+32°=β=58° gilt nun:
α = 26°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite BC. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 24° an einer Seite, also gilt
β +90° + 24° = 180°, oder β = 90° - 24° =66° .
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MB gleich lang sind, also ist MDB
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α +
β = 2⋅α + 66°=180°, also 2⋅α = 114°
, somit α = 57°.
Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 57° + 90° + ε = 180°
oder ε = 90° - 57° = 33°
Weil die Höhe auf A genau in der Mitte auf BC trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ),
also 57° = 33°+φ, oder φ=57° -33°.
φ = 24°
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3
Beispiel:
M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.
Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DA im rechten Winkel zur Strecke CB.
Es gilt somit:
δ +90° + 35° = 180°, oder δ = 90° - 35° =55°
(δ ist der gesamte Winkel in C).
Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch
und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+35)
gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+35) + δ=180°,
also 2⋅α +δ=180°,
oder 2⋅α =180°-δ =180°-55°=125°
also α = 125° : 2 = 62.5°.
Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC
ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist
auch γ=62.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β =
62.5° + 62.5° + β = 180°, also β = 180° - 125°
=55° .
Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=55° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 55° = 180°, oder φ = 90° - 55°,somit
φ=35°.
Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss. Dadurch muss natürlich auch δ als Nebenwinkel rechtwinklig (also δ=90°) sein.
Wegen der Dreieckswinkelsumme muss also gelten: ε + δ + 23° = ε + 90° + 23° = 180°,
somit gilt ε = 180° - 90° - 23° = 67°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+23°) gleich groß sein.
Es gilt also wegen der Winkelsumme im Dreieck:
ε + β + (α+23°) =
ε + 2⋅β = 180°, also 67° + 2⋅β = 180°.
oder: 2⋅β=180°-67°=113°, also β=56.5°.
Mit α+23°=β=56.5° gilt nun:
α = 33.5°