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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{4}{x}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$2$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$4$	=	$2 x$

$4$	=	$2 x$	\| $- 4$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x + 4}$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{x}{x + 4}$	=	$2$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$2 \cdot (x + 4)$
$x$	=	$2 (x + 4)$

$x$	=	$2 x + 8$	\| $- 2 x$
$- x$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ }

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{12}{3 x + 3}$ = $3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{6 x}{3 (x + 1)} + \frac{12}{3 (x + 1)}

3

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 (x + 1)} + \frac{12}{3 (x + 1)}$	=	$3$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{12}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=	$3 \cdot (x + 1)$
$2 x + 4$	=	$3 (x + 1)$

$2 x + 4$	=	$3 x + 3$	\| $- 4$
$2 x$	=	$3 x - 1$	\| $- 3 x$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Formel umstellen

Beispiel:

Josephine möchte für den Coopertest trainieren. Ihre Sportlehrerin empfiehlt ihr mit einer konstanten Geschwindigkeit von 200 m/min zu laufen. Wie lange braucht sie dann für ihre 6500 Meter lange Trainingsstrecke?

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Wir wenden hier die Formel v= $\frac{s}{t}$ an und stellen sie so um, dass die gesuchte Größe t alleine steht:

v= $\frac{s}{t}$ |⋅t

=> v⋅t=s |:v

=> t= $\frac{s}{v}$

Jetzt müssen wir nur noch die gegebenen Werte einsetzen und ausrechnen:

t= $\frac{s}{v}$ = $\frac{6500 m}{200 m/min}$ = 32.5 min