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Kreis zeichnen und Radius messen
Beispiel:
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M(4.5|1.5), der durch den Punkt A(3|1) geht, in eine Koordinatensystem (Einheit: 1cm).
Miss dann den Radius dieses Kreises.
Runde dein Ergebnis auf mindestens eine Stelle nach dem Komma.
Man zeichnet zuerst die beiden Punkte M und A in ein Koordinatensystem ein. Jetzt kann man den Zirkel auf den Abstand zwischen den beiden Punkten einstellen und damit den Kreis zeichnen. Ab einfachsten lässt sich jetzt der Radius ablesen, wenn man einfach horizontal vom Mittelpunkt nach rechts geht:
r ≈ 1.58
Punkt auf Kreis finden
Beispiel:
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M(8|4) und Radius r = 2 cm in ein Koordinatensystem (Einheit: 1cm).
Finde nun einen Punkt auf diesem Kreisbogen, der den y-Wert 2.5 hat.
Runde dein Ergebnis auf mindestens eine Stelle nach dem Komma.
Man zeichnet zuerst den Mittelpunkt in ein Koordinatensystem ein, wählt am Zirkel den Radius r = 2 cm und zeichnet den Kreis.
Jetzt kann auf man der waagrechten Linie bei y = 2.5 ablesen, welche Punkte des Kreises den y-Wert 2.5 haben.
Das Ergebnis sind somit die Punkte P(6.68|2.5) und Q(9.32|2.5) möglich.
Umfang eines Kreises
Beispiel:
Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Bestimme seinen Umfang.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Wir wenden einfach die Formel
U = 2 ⋅ π ⋅ r
oder näherungsweise
U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ r
an und erhalten so:
U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 4 cm
≈ 3,1 ⋅8 cm
≈ 24,8 cm
Umfang Kreis rückwärts
Beispiel:
Ein Kreis hat den Umfang U = 6.2 cm. Bestimme seinen Durchmesser.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
6.2 ≈ 3,1 ⋅ d
Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:
d ≈ 6.2 cm : 3,1
= 2 cm
Umfang Kreis am Bild
Beispiel:
Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Man erkennt hier einen -Kreisring. Dabei hat der äußere Kreisringbogen den Radius r1 = 2 cm und der innere den Radius r2 = 1 cm.
Für die Länge des äußeren Kreisbogen gilt somit U1 = ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r1
≈ ⋅
2 ⋅ 3,1 ⋅ 2 cm ≈ ⋅ 3,1 cm ≈ 6,2 cm .
Für die Länge des inneren Kreisbogen gilt somit U2 = ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r2
≈ ⋅
2 ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm ≈ ⋅ 3,1 cm ≈ 3,1 cm .
Dazu kommen noch die beiden Geradenstücke an den Enden des Kreisringbogens, die ja gerade die Differenz der beiden Radien als Länge haben,
also
U3 = 2 ⋅ (2 cm - 1 cm) = 2 ⋅1cm = 2 cm
Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 6,2 cm + 3,1 cm + 2 cm = 11,3 cm.
Flächeninhalt Kreis
Beispiel:
Ein Kreis hat den Radius 5 mm. Bestimme seinen Flächeninhalt.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r2
an und erhalten so:
A = π ⋅ 52 mm²
≈ 3,1 ⋅ 25 mm²
≈ 77,5 mm²
Flächeninhalt Kreis am Bild
Beispiel:
Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Man kann hier erkennen, dass ein Halbkreis aus einem Rechteck herausgeschnitten wurde. Das ganze Rechteck hat dabei eine Höhe von 3 cm und eine
Breite von 2 cm.
Somit gilt für dessen Flächeninhalt A1 = 3 cm ⋅ 2 cm =
6 cm²,
Für den Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius r =1 cm, der aus dem Rechteck unten herausgeschnitten wurde, gilt:
A2 = ⋅ π ⋅ r2 ≈ ⋅ 3,1 ⋅ 12 cm²
= ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm² = 1.55 cm².
Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 6 cm² - 1,55 cm² = 4,45 cm².
Flächeninhalt zusammengesetzt
Beispiel:
Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 5 cm und der Höhe h = 4 cm berechnet werden:
A1 = 5 cm ⋅ 4 cm = 20 cm²
Der Flächeninhalt des blauen Dreiecks unten kann man berechnen mit:
A2 = ⋅ g ⋅ hg
= ⋅ 3 cm ⋅ 3 cm = ⋅
9 cm ²
= 4.5 cm²
Der Flächeninhalt des grünen Dreiecks links kann man berechnen mit:
A3 = ⋅ b ⋅ hb
= ⋅ 4 cm ⋅ 2 cm = ⋅ 8 cm²
= 4 cm²
Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A1 + A2 +
A3
= 20 cm² + 4.5 cm² + 4 cm²
= 28,5 cm².