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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 9}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 9}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 5; 9} sind,
also A = {1; 2; 3; 6; 7; 8; 10}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {4; 5; 7; 9; 10}. Bestimme B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {4; 5; 7; 9; 10}.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={4; 5; 7; 9; 10} sind,
also B = {1; 2; 3; 6; 8}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 4 teilbar ist und der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 3; 4; 6; 7} und B = {4; 8}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die sowohl in der Menge A={1; 2; 3; 4; 6; 7}, als auch in der Menge B={4; 8} sind,
also A B = {4}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 1 8

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 7} und B = {1; 5; 6; 7; 9; 10}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 7} und B = {1; 5; 6; 7; 9; 10}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 5; 6; 7; 9; 10} sind,
also B = {2; 3; 4; 8}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={1; 4; 7}, als auch in der Menge B ={2; 3; 4; 8} sind,
also A B = {4}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

68 + 98 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 68 + 98 = 166

  B B  
A 6898166
A   120
  206 

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

98 + H( A B ) = 206

Somit gilt: H( A B ) = 206 - 98 = 108

  B B  
A 6898166
A  108120
  206 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

166 + 120 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 166 + 120 = 286

  B B  
A 6898166
A  108120
  206286

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( A ∩ B) + 108 = 120

Somit gilt: H( A ∩ B) = 120 - 108 = 12

  B B  
A 6898166
A 12108120
  206286

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 206 = 286

Somit gilt: H(B) = 286 - 206 = 80

  B B  
A 6898166
A 12108120
 80206286

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,35 
A 0,25  
  0,551

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.55 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.55 = 0.45

  B B  
A  0,35 
A 0,25  
 0,450,551

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.25 = 0.45

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.45 - 0.25 = 0.2

  B B  
A 0,20,35 
A 0,25  
 0,450,551

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.35 + P( A B ) = 0.55

Somit gilt: P( A B ) = 0.55 - 0.35 = 0.2

  B B  
A 0,20,35 
A 0,250,2 
 0,450,551

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.2 + 0.35 = P(A)

Somit gilt: P(A) = 0.2 + 0.35 = 0.55

  B B  
A 0,20,350,55
A 0,250,2 
 0,450,551

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.25 + 0.2 = P( A )

Somit gilt: P( A ) = 0.25 + 0.2 = 0.45

  B B  
A 0,20,350,55
A 0,250,20,45
 0,450,551

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In einem Monat mit 31 Tagen gab es 13 Tage, an denen keine Schule war. Dummerweise gab es 10 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 5 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage mit schönem Wetter gab es?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : Schule

A : nicht Schule, also schulfrei

B : schönes Wetter

B : nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
10  
A
(schulfrei)
 513
   31

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
10818
A
(schulfrei)
8513
 181331

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie schöne Tage, ist also 8.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 25% der Bevölkerung ausmacht, 44% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 23%. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind insgesamt mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,25
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,25
A
(andere Partei)
  0,75
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 44% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,25 0,44 = 0,11 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,11 0,25
A
(andere Partei)
  0,75
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 23% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,75 0,23 = 0,1725 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,11 0,25
A
(andere Partei)
0,1725 0,75
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,110,140,25
A
(andere Partei)
0,17250,57750,75
 0,28250,71751

Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.2825 = 28.25%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 2,58% der Bevölkerung diese nicht überleben. In einem Land sind 92% der Bevölkerung nicht älter als 80 Jahre. Von denen, die die Viruskrankheit nicht überleben, sind 46,51% über 80 Jahre alt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Infizierter nicht älter als 80 ist und die Krankheit überlebt?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : über 80

A : nicht über 80, also höchstens 80

B : sterben

B : nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
   
A
(höchstens 80)
  0,92
 0,0258  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
  0,08
A
(höchstens 80)
  0,92
 0,02580,97421

Aus der Information von der Teilgruppe mit "sterben" sind es 46.51% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( B A ) = 0,0258 0,4651 = 0,012 berechnen.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,012 0,08
A
(höchstens 80)
  0,92
 0,02580,97421

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,0120,0680,08
A
(höchstens 80)
0,01380,90620,92
 0,02580,97421

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9062 = 90.62%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 41105146
A 9176167
 132181313

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

= 146 313
= 167 313
=x
= 41 313
= 105 313
= 91 313
= 76 313

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
167 313 x = 91 313 = |:167 ⋅313
also
P A ( B ) = x = 91 167 ≈ 0,5449

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 0,640,230,87
A 0,10,030,13
 0,740,261

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=0,74
=0,26
=x
=0,64
=0,1
=0,23
=0,03

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,74x = 0,64 = |:0,74
also
P B ( A ) = x = 0,64 0,74 ≈ 0,8649

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 29,8% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 46% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 19% aller Smartphones iPhones. Ein Bekannter erzählt, dass er die App installiert hat. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein iPhones hat?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,19
A
(anderes Smartphone)
   
 0,298  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,19
A
(anderes Smartphone)
  0,81
 0,2980,7021
=0,19
iPhone
=0,81
anderes Smartphone
=0,46
installiert
nicht installiert
installiert
nicht installiert
=0,0874

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 46%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,19 0,46 = 0,0874
berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,0874 0,19
A
(anderes Smartphone)
  0,81
 0,2980,7021

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,08740,10260,19
A
(anderes Smartphone)
0,21060,59940,81
 0,2980,7021

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für A (iPhone) unter der Vorraussetzung, dass B (installiert) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (installiert) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (installiert) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (iPhone) weiter.)

=0,298
installiert
=0,702
nicht installiert
=x
iPhone
anderes Smartphone
iPhone
anderes Smartphone
=0,0874
=0,2106
=0,1026
=0,5994

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,298x = 0,0874 = |:0,298
also
P B ( A ) = x = 0,0874 0,298 ≈ 0,2933


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,2933 = 29,33%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 2300 Fahrräder verkauft. Davon waren 774 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 966 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1304 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  966
A
(kein E-Bike)
774  
  13042300

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
222744966
A
(kein E-Bike)
7745601334
 99613042300

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 2300. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,0970,3230,42
A 0,3370,2430,58
 0,4330,5671

Jetzt können wir P(A)=0.42 mit P(B)=0.433 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.097, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.42 ⋅ 0.433 = 0.1819 ≈ 0.182 ≠ 0.097 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,6715 
A   0,15
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.15 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.15 = 0.85

  B B  
A  0,67150,85
A   0,15
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.85 ⋅ P ( B ) = 0.6715 |: 0.85

somit gilt:

P ( B ) = 0.6715 0.85 = 0.79

  B B  
A  0,67150,85
A   0,15
  0,791

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,17850,67150,85
A 0,03150,11850,15
 0,210,791