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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 3; 6; 7; 8; 10} und B = {4; 6}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 3; 6; 7; 8; 10} und B = {4; 6}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={1; 2; 3; 6; 7; 8; 10} oder in der Menge B={4; 6} sind,
also A B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 10}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10} und B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10} und B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A und die Menge B bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={2; 3; 4; 6; 8; 9; 10} sind,
also A = {1; 5; 7}

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} sind,
also B = {1; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A ={1; 5; 7}, als auch in der Menge B ={1; 10} sind,
also A B = {1}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 6; 7; 9}. Es wird zufällig ein Element der Ergebnismenge S gewählt. Dabei haben alle Elemente die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses in der Menge A ist?

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 6; 7; 9}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 6; 7; 9} sind,
also A = {1; 2; 3; 5; 8; 10}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A ) = | A | |S| = 6 10 = 3 5

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bestimme alle Sektoren, deren Zahl durch 5 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {3; 4; 5; 6; 8} und B = {5}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die sowohl in der Menge A={3; 4; 5; 6; 8}, als auch in der Menge B={5} sind,
also A B = {5}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

150 + 105 = H( A )

Somit gilt: H( A ) = 150 + 105 = 255

  B B  
A  108 
A 150105255
 199  

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 150 = 199

Somit gilt: H(A ∩ B) = 199 - 150 = 49

  B B  
A 49108 
A 150105255
 199  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

108 + 105 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 108 + 105 = 213

  B B  
A 49108 
A 150105255
 199213 

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

49 + 108 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 49 + 108 = 157

  B B  
A 49108157
A 150105255
 199213 

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

199 + 213 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 199 + 213 = 412

  B B  
A 49108157
A 150105255
 199213412

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A   0,87
A  0,06 
  0,211

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.21 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.21 = 0.79

  B B  
A   0,87
A  0,06 
 0,790,211

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B ) + 0.06 = 0.21

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.21 - 0.06 = 0.15

  B B  
A  0,150,87
A  0,06 
 0,790,211

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.87 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.87 = 0.13

  B B  
A  0,150,87
A  0,060,13
 0,790,211

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.15 = 0.87

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.87 - 0.15 = 0.72

  B B  
A 0,720,150,87
A  0,060,13
 0,790,211

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( A ∩ B) + 0.06 = 0.13

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.13 - 0.06 = 0.07

  B B  
A 0,720,150,87
A 0,070,060,13
 0,790,211

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In einem Monat mit 30 Tagen gab es 15 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 10 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 4 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : Schule

A : nicht Schule, also schulfrei

B : schönes Wetter

B : nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
10  
A
(schulfrei)
 4 
 15 30

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
101121
A
(schulfrei)
549
 151530

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 9.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 32% der Bevölkerung ausmacht, 40% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 24%. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind insgesamt mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,32
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,32
A
(andere Partei)
  0,68
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 40% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,32 0,4 = 0,128 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,128 0,32
A
(andere Partei)
  0,68
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 24% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,68 0,24 = 0,1632 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,128 0,32
A
(andere Partei)
0,1632 0,68
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1280,1920,32
A
(andere Partei)
0,16320,51680,68
 0,29120,70881

Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.2912 = 29.12%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 34,32% aller Smartphones installiert. 33,57% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 53,2% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones unter allen Smartphones?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
   
A
(anderes Smartphone)
 0,532 
 0,3432  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
 0,1248 
A
(anderes Smartphone)
 0,532 
 0,34320,65681

Aus der Information von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 33.57% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( B A ) = 0,3432 0,3357 = 0,1152 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,11520,1248 
A
(anderes Smartphone)
 0,532 
 0,34320,65681

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,11520,12480,24
A
(anderes Smartphone)
0,2280,5320,76
 0,34320,65681

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz iPhones unter allen Smartphones, ist also 0.24 = 24%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 16757224
A 9326119
 26083343

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

= 260 343
= 83 343
=x
= 167 343
= 93 343
= 57 343
= 26 343

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
260 343 x = 93 343 = |:260 ⋅343
also
P B ( A ) = x = 93 260 ≈ 0,3577

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 0,090,070,16
A 0,110,730,84
 0,20,81

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=0,2
=0,8
=x
=0,09
=0,11
=0,07
=0,73

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,2x = 0,09 = |:0,2
also
P B ( A ) = x = 0,09 0,2 ≈ 0,45

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 0,1% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 98,8% der tatsächlich infizierten auch einen positives Ergebnis. Bei den nicht infizierten zeigt dies der Test auch zu 98,7% an. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : infiziert

A : nicht infiziert, also nicht infiziert

B : Test positiv

B : nicht Test positiv, also Test negativ

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,001
A
(nicht infiziert)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,001
A
(nicht infiziert)
  0,999
   1
=0,001
infiziert
=0,999
nicht infiziert
Test positiv
=0,012
Test negativ
=0,013
Test positiv
Test negativ
=0,000012

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 1.2%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,001 0,012 = 0,000012
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
 0,0000120,001
A
(nicht infiziert)
  0,999
   1
=0,001
infiziert
=0,999
nicht infiziert
Test positiv
=0,012
Test negativ
=0,013
Test positiv
Test negativ
=0,000012
=0,012987

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.3%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,999 0,013 = 0,012987
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
 0,0000120,001
A
(nicht infiziert)
0,012987 0,999
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,0009880,0000120,001
A
(nicht infiziert)
0,0129870,9860130,999
 0,0139750,9860251

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für A (infiziert) unter der Vorraussetzung, dass B (Test positiv) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (Test positiv) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (Test positiv) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (infiziert) weiter.)

=0,013975
Test positiv
=0,986025
Test negativ
=x
infiziert
nicht infiziert
infiziert
nicht infiziert
=0,000988
=0,012987
=0,000012
=0,986013

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,013975x = 0,000988 = |:0,013975
also
P B ( A ) = x = 0,000988 0,013975 ≈ 0,0707


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,0707 = 7,07%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 100 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 27 das Leistungsfach. 22 von den insgesamt 55 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
27  
A
(Jungs)
 22 
  55100

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
273360
A
(Jungs)
182240
 4555100

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (Mädchen) und B (Leistungsfach) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,270,330,6
A 0,180,220,4
 0,450,551

Jetzt können wir P(A)=0.6 mit P(B)=0.45 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.27, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.6 ⋅ 0.45 = 0.27 = 0.27 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,44 0,55
A    
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.55 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.55 = 0.45

  B B  
A 0,44 0,55
A   0,45
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.55 ⋅ P ( B ) = 0.44 |: 0.55

somit gilt:

P ( B ) = 0.44 0.55 = 0.8

  B B  
A 0,44 0,55
A   0,45
 0,8 1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,440,110,55
A 0,360,090,45
 0,80,21