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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 7; 8; 9; 10} und B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 7; 8; 9; 10} und B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={1; 4; 7; 8; 9; 10} oder in der Menge B={1; 2; 3; 4; 6; 8; 9} sind,
also A B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 5; 6; 8; 10} und B = {3; 4; 8; 10}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 5; 6; 8; 10} und B = {3; 4; 8; 10}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={2; 3; 4; 5; 6; 8; 10} sind,
also A = {1; 7; 9}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A ={1; 7; 9}, als auch in der Menge B={3; 4; 8; 10} sind,
also A B = {}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 4 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 3; 4} und B = {4; 8}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={1; 3; 4} oder in der Menge B={4; 8} sind,
also A B = {1; 3; 4; 8}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 4 8 = 1 2

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bestimme alle Sektoren, deren Zahl nicht durch 5 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 2; 4; 5; 6; 7} und B = {5}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die nicht in der Menge B={5} sind,
also B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die sowohl in der Menge A={1; 2; 4; 5; 6; 7}, als auch in der Menge B ={1; 2; 3; 4; 6; 7; 8} sind,
also A B = {1; 2; 4; 6; 7}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

185 + 164 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 185 + 164 = 349

  B B  
A 185164349
A 193 209
    

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

193 + H( A B ) = 209

Somit gilt: H( A B ) = 209 - 193 = 16

  B B  
A 185164349
A 19316209
    

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

185 + 193 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 185 + 193 = 378

  B B  
A 185164349
A 19316209
 378  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

164 + 16 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 164 + 16 = 180

  B B  
A 185164349
A 19316209
 378180 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

349 + 209 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 349 + 209 = 558

  B B  
A 185164349
A 19316209
 378180558

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,1 0,21
A  0,53 
   1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.1 + P(A ∩ B ) = 0.21

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.21 - 0.1 = 0.11

  B B  
A 0,10,110,21
A  0,53 
   1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.11 + 0.53 = P( B )

Somit gilt: P( B ) = 0.11 + 0.53 = 0.64

  B B  
A 0,10,110,21
A  0,53 
  0,641

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.21 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.21 = 0.79

  B B  
A 0,10,110,21
A  0,530,79
  0,641

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( A ∩ B) + 0.53 = 0.79

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.79 - 0.53 = 0.26

  B B  
A 0,10,110,21
A 0,260,530,79
  0,641

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.64 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.64 = 0.36

  B B  
A 0,10,110,21
A 0,260,530,79
 0,360,641

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

Alle SchülerInnen eines Gymnasiums kommen entweder mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß oder aber mit dem Bus oder einem Auto zur Schule. Von denen, die nicht weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen fahren trotzdem 127 mit dem Bus oder Auto. Von den 476 SchülerInnen, die weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen, kommen aber immerhin 43 mit dem Fahrrad oder zu Fuß. Insgesamt fahren 234 mit dem Fahrrad oder gehen zu Fuß. Wie viele SchülerInnen hat die Schule ?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : nah

A : nicht nah, also entfernt

B : Fahrrad/Fuß

B : nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fahrrad/Fuß)
B
(Bus/Auto)
 
A
(nah)
 127 
A
(entfernt)
43 476
 234  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Fahrrad/Fuß)
B
(Bus/Auto)
 
A
(nah)
191127318
A
(entfernt)
43433476
 234560794

Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 794.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 45% der Befragten weiblich. Während 32% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 15%. Wie hoch ist der Prozentsatz der Fußballfans unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : weiblich

A : nicht weiblich, also männlich

B : Fußballfan

B : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,45
A
(männlich)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,45
A
(männlich)
  0,55
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 15% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,45 0,15 = 0,0675 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0675 0,45
A
(männlich)
  0,55
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 32% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,55 0,32 = 0,176 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0675 0,45
A
(männlich)
0,176 0,55
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,06750,38250,45
A
(männlich)
0,1760,3740,55
 0,24350,75651

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Fußballfans, ist also 0.2435 = 24.35%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 38% der Bevölkerung zufrieden. 61% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 52,7% der Bevölkerung ist weder Anhänger seiner Partei noch zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : zufrieden

A : nicht zufrieden, also unzufrieden

B : eigene Partei

B : nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,38
A
(unzufrieden)
 0,527 
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,38
A
(unzufrieden)
0,0930,5270,62
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es 61% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,38 0,61 = 0,2318 berechnen.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,2318 0,38
A
(unzufrieden)
0,0930,5270,62
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,23180,14820,38
A
(unzufrieden)
0,0930,5270,62
 0,32480,67521

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.3248 = 32.48%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 134131265
A 140121261
 274252526

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

= 274 526
= 252 526
=x
= 134 526
= 140 526
= 131 526
= 121 526

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
252 526 x = 121 526 = |:252 ⋅526
also
P B ( A ) = x = 121 252 ≈ 0,4802

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 0,120,050,17
A 0,380,450,83
 0,50,51

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=0,5
=0,5
=x
=0,12
=0,38
=0,05
=0,45

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,5x = 0,45 = |:0,5
also
P B ( A ) = x = 0,45 0,5 ≈ 0,9

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 37% der Bevölkerung ausmacht, 43% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 16%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,37
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,37
A
(andere Partei)
  0,63
   1
=0,37
eigene Partei
=0,63
andere Partei
=0,43
zufrieden
unzufrieden
=0,16
zufrieden
unzufrieden
=0,1591

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 43%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,37 0,43 = 0,1591
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1591 0,37
A
(andere Partei)
  0,63
   1
=0,37
eigene Partei
=0,63
andere Partei
=0,43
zufrieden
unzufrieden
=0,16
zufrieden
unzufrieden
=0,1591
=0,1008

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 16%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,63 0,16 = 0,1008
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1591 0,37
A
(andere Partei)
0,1008 0,63
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,15910,21090,37
A
(andere Partei)
0,10080,52920,63
 0,25990,74011

Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für A (eigene Partei) unter der Vorraussetzung, dass B (zufrieden) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (zufrieden) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (zufrieden) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (eigene Partei) weiter.)

=0,2599
zufrieden
=0,7401
unzufrieden
=x
eigene Partei
andere Partei
eigene Partei
andere Partei
=0,1591
=0,1008
=0,2109
=0,5292

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,2599x = 0,1591 = |:0,2599
also
P B ( A ) = x = 0,1591 0,2599 ≈ 0,6122


Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,6122 = 61,22%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 44% aller Smartphones installiert. 25% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 42% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "iPhone" und "App ist installiert" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
   
A
(anderes Smartphone)
 0,42 
 0,44  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
 0,14 
A
(anderes Smartphone)
 0,42 
 0,440,561
=0,44
installiert
=0,56
nicht installiert
=0,25
iPhone
anderes Smartphone
iPhone
anderes Smartphone
=0,11
=0,14
=0,42

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 25%, also P B ( A ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( B A ) = P ( B ) P B ( A ) = 0,44 0,25 = 0,11
berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,110,14 
A
(anderes Smartphone)
 0,42 
 0,440,561

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,110,140,25
A
(anderes Smartphone)
0,330,420,75
 0,440,561

Jetzt können wir P(A)=0.25 mit P(B)=0.44 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.11, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.25 ⋅ 0.44 = 0.11 = 0.11 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,1935 0,45
A    
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.45 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.45 = 0.55

  B B  
A 0,1935 0,45
A   0,55
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.45 ⋅ P ( B ) = 0.1935 |: 0.45

somit gilt:

P ( B ) = 0.1935 0.45 = 0.43

  B B  
A 0,1935 0,45
A   0,55
 0,43 1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,19350,25650,45
A 0,23650,31350,55
 0,430,571