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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 4; 5; 6; 7; 8}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 4; 5; 6; 7; 8}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={2; 4; 5; 6; 7; 8} sind,
also A = {1; 3; 9; 10}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 4} und B = {2; 4; 6; 7}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 4} und B = {2; 4; 6; 7}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 2; 4} sind,
also A = {3; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A ={3; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, als auch in der Menge B={2; 4; 6; 7} sind,
also A B = {6; 7}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors nicht durch 2 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6} und die Mengen A = {1; 2} und B = {2; 4; 6}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6}, die nicht in der Menge B={2; 4; 6} sind,
also B = {1; 3; 5}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6}, die sowohl in der Menge A={1; 2}, als auch in der Menge B ={1; 3; 5} sind,
also A B = {1}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 1 6

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 11 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 11 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl keine Primzahl, aber höchstens die 6 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} und die Mengen A = {2; 3; 5; 7; 11} und B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}, die nicht in der Menge A={2; 3; 5; 7; 11} sind,
also A = {1; 4; 6; 8; 9; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}, die sowohl in der Menge A ={1; 4; 6; 8; 9; 10}, als auch in der Menge B={1; 2; 3; 4; 5; 6} sind,
also A B = {1; 4; 6}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

114 + 162 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 114 + 162 = 276

  B B  
A 114162276
A   184
  196 

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

162 + H( A B ) = 196

Somit gilt: H( A B ) = 196 - 162 = 34

  B B  
A 114162276
A  34184
  196 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

276 + 184 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 276 + 184 = 460

  B B  
A 114162276
A  34184
  196460

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( A ∩ B) + 34 = 184

Somit gilt: H( A ∩ B) = 184 - 34 = 150

  B B  
A 114162276
A 15034184
  196460

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 196 = 460

Somit gilt: H(B) = 460 - 196 = 264

  B B  
A 114162276
A 15034184
 264196460

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A   0,24
A 0,55  
 0,77 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.77 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.77 = 0.23

  B B  
A   0,24
A 0,55  
 0,770,231

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.55 = 0.77

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.77 - 0.55 = 0.22

  B B  
A 0,22 0,24
A 0,55  
 0,770,231

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.24 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.24 = 0.76

  B B  
A 0,22 0,24
A 0,55 0,76
 0,770,231

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.22 + P(A ∩ B ) = 0.24

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.24 - 0.22 = 0.02

  B B  
A 0,220,020,24
A 0,55 0,76
 0,770,231

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.55 + P( A B ) = 0.76

Somit gilt: P( A B ) = 0.76 - 0.55 = 0.21

  B B  
A 0,220,020,24
A 0,550,210,76
 0,770,231

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In einem Monat mit 31 Tagen gab es 18 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 10 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 5 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Schule

A : nicht Schule, also schulfrei

B : schönes Wetter

B : nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
10  
A
(schulfrei)
 5 
 18 31

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
10818
A
(schulfrei)
8513
 181331

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 13.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 30% der Bevölkerung ausmacht, 50% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 19%. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind insgesamt mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,3
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,3
A
(andere Partei)
  0,7
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 50% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,3 0,5 = 0,15 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,15 0,3
A
(andere Partei)
  0,7
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 19% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,7 0,19 = 0,133 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,15 0,3
A
(andere Partei)
0,133 0,7
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,150,150,3
A
(andere Partei)
0,1330,5670,7
 0,2830,7171

Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.283 = 28.3%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 24% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 7,44% der Befragten. 35% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0744 0,24
A
(kein Fan)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,07440,16560,24
A
(kein Fan)
  0,76
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es 35% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,76 0,35 = 0,266 berechnen.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,07440,16560,24
A
(kein Fan)
 0,2660,76
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,07440,16560,24
A
(kein Fan)
0,4940,2660,76
 0,56840,43161

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.5684 = 56.84%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 51139190
A 6083143
 111222333

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

= 111 333
= 222 333
=x
= 51 333
= 60 333
= 139 333
= 83 333

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
111 333 x = 51 333 = |:111 ⋅333
also
P B ( A ) = x = 51 111 ≈ 0,4595

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 0,360,060,42
A 0,520,060,58
 0,880,121

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=0,88
=0,12
=x
=0,36
=0,52
=0,06
=0,06

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,12x = 0,06 = |:0,12
also
P B ( A ) = x = 0,06 0,12 ≈ 0,5

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 28% der Bevölkerung ausmacht, 41% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 28%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,28
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,28
A
(andere Partei)
  0,72
   1
=0,28
eigene Partei
=0,72
andere Partei
=0,41
zufrieden
unzufrieden
=0,28
zufrieden
unzufrieden
=0,1148

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 41%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,28 0,41 = 0,1148
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1148 0,28
A
(andere Partei)
  0,72
   1
=0,28
eigene Partei
=0,72
andere Partei
=0,41
zufrieden
unzufrieden
=0,28
zufrieden
unzufrieden
=0,1148
=0,2016

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 28%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,72 0,28 = 0,2016
berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1148 0,28
A
(andere Partei)
0,2016 0,72
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,11480,16520,28
A
(andere Partei)
0,20160,51840,72
 0,31640,68361

Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für A (eigene Partei) unter der Vorraussetzung, dass B (zufrieden) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (zufrieden) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (zufrieden) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (eigene Partei) weiter.)

=0,3164
zufrieden
=0,6836
unzufrieden
=x
eigene Partei
andere Partei
eigene Partei
andere Partei
=0,1148
=0,2016
=0,1652
=0,5184

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,3164x = 0,1148 = |:0,3164
also
P B ( A ) = x = 0,1148 0,3164 ≈ 0,3628


Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,3628 = 36,28%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Nach einer Umfrage könnten sich 26% der Befragten vorstellen, sich als nächstes Auto ein Elektroauto zu kaufen. 44% davon seien auch schon einmal in einem E-Auto gefahren. 41,44% der Befragten meinten, dass sie noch nie in einem E-Auto gesessen sind und sich sicher auch nie eines kaufen werden. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "E-Auto kaufen" und "Erfahrung mit E-Auto" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Auto kaufen

A : nicht E-Auto kaufen, also nicht kaufen

B : E-Auto kennen

B : nicht E-Auto kennen, also nicht kennen

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
  0,26
A
(nicht kaufen)
 0,4144 
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
  0,26
A
(nicht kaufen)
0,32560,41440,74
   1
=0,26
E-Auto kaufen
=0,74
nicht kaufen
=0,44
E-Auto kennen
nicht kennen
E-Auto kennen
nicht kennen
=0,1144
=0,3256
=0,4144

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 44%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,26 0,44 = 0,1144
berechnen.

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
0,1144 0,26
A
(nicht kaufen)
0,32560,41440,74
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
0,11440,14560,26
A
(nicht kaufen)
0,32560,41440,74
 0,440,561

Jetzt können wir P(A)=0.26 mit P(B)=0.44 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.114, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.26 ⋅ 0.44 = 0.1144 ≈ 0.114 ≈ 0.114 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,14940,83
A    
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.83 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.83 = 0.17

  B B  
A  0,14940,83
A   0,17
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.83 ⋅ P ( B ) = 0.1494 |: 0.83

somit gilt:

P ( B ) = 0.1494 0.83 = 0.18

  B B  
A  0,14940,83
A   0,17
  0,181

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,68060,14940,83
A 0,13940,03060,17
 0,820,181