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Berechnung von Volumen

Beispiel:

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Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Das Volumen des Quaders lässt sich ja recht einfachmit der Formel V = a⋅b⋅c berechnen:

V1 = a⋅b⋅c
= 2 m⋅9 m⋅8 m
= 144 m³

Den draufliegenden Halbzylinder berechnen wir mit der (halben) Zylinderformel V = G ⋅ h = 1 2 ⋅ π ⋅ r² ⋅ h

Mit r = a 2 = 1 m und h = b = 9 m gilt dann :
V2 = 1 2 ⋅ π ( a 2 )² ⋅ b
= 1 2 ⋅ π 1 m² ⋅ 9 m
= 14,14 m³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit:V = V1 + V2 ≈ 144 m³ + 14,14 m³ ≈ 158,1 m³

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

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Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O1 = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 5 mm⋅6 mm + 2⋅5 mm⋅8 mm + 2⋅6 mm⋅8 mm
= 30 mm² + 80 mm² + 96 mm²
206 mm²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 2,5 mm,
also 2⋅ 1 2 πr² = π⋅2,5² mm² ≈ 19,63 mm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=6 mm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= a 2 =2.5 mm, also U = π⋅r = 2.5π mm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O2 = πr² + π⋅r⋅b = 2.5²π mm + π⋅2.5⋅6 mm = 21.25⋅π mm² ≈ 66,76 mm².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O1 + O2 ≈ 206 mm² + 66,76 mm² ≈ 272,76 mm²