Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 8; 10}.

Die Menge $\bar{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={2; 8; 10} sind,
also $\bar{A}$ = {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 5; 6} und B = {3; 4; 6; 8; 9}.

Um die Menge $\bar{A}$ ∪ $B$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\bar{A}$ bestimmen.

Die Menge $\bar{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 5; 6} sind,
also $\bar{A}$ = {1; 2; 3; 7; 8; 9; 10}

Die Menge $\bar{A}$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge $\bar{A}$={1; 2; 3; 7; 8; 9; 10} oder in der Menge B={3; 4; 6; 8; 9} sind,
also $\bar{A}$ ∪ $B$ = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6} und die Mengen A = {3; 6} und B = {3; 6}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6}, die sowohl in der Menge A={3; 6}, als auch in der Menge B={3; 6} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {3; 6}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∩ $B$) = $\frac{|A\cap B|}{\mathrm{|S|}}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6; 10} und B = {4; 8}.

Um die Menge $A$ ∩ $\bar{B}$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\bar{B}$ bestimmen.

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={4; 8} sind,
also $\bar{B}$ = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10}

Die Menge $A$ ∩ $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={2; 4; 5; 6; 10}, als auch in der Menge $\bar{B}$={1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10} sind,
also $A$ ∩ $\bar{B}$ = {2; 5; 6; 10}

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 162 = 266

Somit gilt: H(A ∩ B) = 266 - 162 = 104

	$B$	$\bar{B}$
$A$	104	162	266
$\bar{A}$	165	110

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

165 + 110 = H( $\bar{A}$)

Somit gilt: H( $\bar{A}$) = 165 + 110 = 275

	$B$	$\bar{B}$
$A$	104	162	266
$\bar{A}$	165	110	275

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

104 + 165 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 104 + 165 = 269

	$B$	$\bar{B}$
$A$	104	162	266
$\bar{A}$	165	110	275
	269

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

162 + 110 = H( $\bar{B}$)

Somit gilt: H( $\bar{B}$) = 162 + 110 = 272

	$B$	$\bar{B}$
$A$	104	162	266
$\bar{A}$	165	110	275
	269	272

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

266 + 275 = H(B + $\bar{B}$)

Somit gilt: H(B + $\bar{B}$) = 266 + 275 = 541

	$B$	$\bar{B}$
$A$	104	162	266
$\bar{A}$	165	110	275
	269	272	541

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\bar{A}$) = P(B)+P( $\bar{B}$) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,04
$\bar{A}$		0,23	0,58
			1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( $\bar{A}$ ∩ B) + 0.23 = 0.58

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.58 - 0.23 = 0.35

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,04
$\bar{A}$	0,35	0,23	0,58
			1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.04 + 0.35 = P(B)

Somit gilt: P(B) = 0.04 + 0.35 = 0.39

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,04
$\bar{A}$	0,35	0,23	0,58
	0,39		1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.58 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.58 = 0.42

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,04		0,42
$\bar{A}$	0,35	0,23	0,58
	0,39		1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.04 + P(A ∩ $\bar{B}$) = 0.42

Somit gilt: P(A ∩ $\bar{B}$) = 0.42 - 0.04 = 0.38

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,04	0,38	0,42
$\bar{A}$	0,35	0,23	0,58
	0,39		1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.39 + P( $\bar{B}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{B}$) = 1 - 0.39 = 0.61

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,04	0,38	0,42
$\bar{A}$	0,35	0,23	0,58
	0,39	0,61	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: E-Bike

$\bar{A}$: nicht E-Bike, also kein E-Bike

$B$: Mountainbike

$\bar{B}$: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)			882
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	609
		1182	2100

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)	309	573	882
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	609	609	1218
	918	1182	2100

Der gesuchte Wert, Anzahl verkaufter "normaler" Fahrräder, ist also 609.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: iPhone

$\bar{A}$: nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$: installiert

$\bar{B}$: nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,25
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,25
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,75
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 46% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,25 ⋅ 0,46 = 0,115 berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,115		0,25
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,75
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "anderes Smartphone" sind es 23% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,75 ⋅ 0,23 = 0,1725 berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,115		0,25
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,1725		0,75
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,115	0,135	0,25
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,1725	0,5775	0,75
	0,2875	0,7125	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5775 = 57.75%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: über 80

$\bar{A}$: nicht über 80, also höchstens 80

$B$: sterben

$\bar{B}$: nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,95
	0,0224

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)			0,05
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,95
	0,0224	0,9776	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "sterben" sind es 44.64% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,0224 ⋅ 0,4464 = 0,01 berechnen.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,01		0,05
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,95
	0,0224	0,9776	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,01	0,04	0,05
$\bar{A}$ (höchstens 80)	0,0124	0,9376	0,95
	0,0224	0,9776	1

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9376 = 93.76%.

$P_B\left(\bar{A}\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\bar{A}$ unter der Vorraussetzung, dass $B$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\bar{A}$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(\bar{A}\right)$ = | :

$P_B\left(\bar{A}\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap \bar{A})}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
$\frac{\mathrm{319}}{\mathrm{662}}$ ⋅ x = $\frac{\mathrm{191}}{\mathrm{662}}$ = |:319 ⋅662
also
$P_B\left(\bar{A}\right)$ = x = $\frac{\mathrm{191}}{\mathrm{319}}$ ≈ 0,5987

$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\bar{A}$ unter der Vorraussetzung, dass $\bar{B}$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\bar{B}$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\bar{B}$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\bar{A}$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = | :

$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}\bar{B}\cap \bar{A})}{\mathrm{P(}\bar{B})}$

oder hier im speziellen:
0,42 ⋅ x = 0,06 = |:0,42
also
$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,42}}$ ≈ 0,1429

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: iPhone

$\bar{A}$: nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$: installiert

$\bar{B}$: nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,33
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)
	0,2927

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,33
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,67
	0,2927	0,7073	1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 42%, also $P_A\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(B\right)$ = 0,33 ⋅ 0,42 = 0,1386
berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,1386		0,33
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,67
	0,2927	0,7073	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,1386	0,1914	0,33
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,1541	0,5159	0,67
	0,2927	0,7073	1

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (iPhone) unter der Vorraussetzung, dass $B$ (installiert) bereits eingetroffen ist - kurz $P_B\left(A\right)$.

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ (installiert) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ (installiert) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (iPhone) weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,2927 ⋅ x = 0,1386 = |:0,2927
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,1386}}{\mathrm{0,2927}}$ ≈ 0,4735

Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,4735 = 47,35%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: E-Auto kaufen

$\bar{A}$: nicht E-Auto kaufen, also nicht kaufen

$B$: E-Auto kennen

$\bar{B}$: nicht E-Auto kennen, also nicht kennen

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (E-Auto kennen)	$\bar{B}$ (nicht kennen)
$A$ (E-Auto kaufen)			0,23
$\bar{A}$ (nicht kaufen)		0,4081

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (E-Auto kennen)	$\bar{B}$ (nicht kennen)
$A$ (E-Auto kaufen)			0,23
$\bar{A}$ (nicht kaufen)	0,3619	0,4081	0,77
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 47%, also $P_A\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(B\right)$ = 0,23 ⋅ 0,47 = 0,1081
berechnen.

	$B$ (E-Auto kennen)	$\bar{B}$ (nicht kennen)
$A$ (E-Auto kaufen)	0,1081		0,23
$\bar{A}$ (nicht kaufen)	0,3619	0,4081	0,77
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (E-Auto kennen)	$\bar{B}$ (nicht kennen)
$A$ (E-Auto kaufen)	0,1081	0,1219	0,23
$\bar{A}$ (nicht kaufen)	0,3619	0,4081	0,77
	0,47	0,53	1

Jetzt können wir P(A)=0.23 mit P(B)=0.47 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.108, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.23 ⋅ 0.47 = 0.1081 ≈ 0.108 ≈ 0.108 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,1449	0,69
$\bar{A}$
			1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.69 + P( $\bar{A}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{A}$) = 1 - 0.69 = 0.31

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,1449	0,69
$\bar{A}$			0,31
			1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $A$ und $\bar{B}$) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

⋅ =

also 0.69 ⋅ = 0.1449 |: 0.69

somit gilt:

= $\frac{\mathrm{0.1449}}{\mathrm{0.69}}$ = 0.21

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,1449	0,69
$\bar{A}$			0,31
		0,21	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,5451	0,1449	0,69
$\bar{A}$	0,2449	0,0651	0,31
	0,79	0,21	1