Aufgabenbeispiele von Vier-Felder-Tafel

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 5; 6; 9} und B = {1; 3; 6; 7; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 5; 6; 9} und B = {1; 3; 6; 7; 9}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={1; 2; 5; 6; 9}, als auch in der Menge B={1; 3; 6; 7; 9} sind,
also A B = {1; 6; 9}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 6; 7; 9}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 6; 7; 9}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 5; 6; 7; 9} sind,
also A = {1; 2; 3; 8; 10}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 3 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 3; 4; 5; 6} und B = {3; 6}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={1; 3; 4; 5; 6} oder in der Menge B={3; 6} sind,
also A B = {1; 3; 4; 5; 6}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 5 8

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 13 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 13 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 3 teilbar ist, aber mindestens die 6 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} und die Mengen A = {3; 6; 9; 12} und B = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}, die nicht in der Menge A={3; 6; 9; 12} sind,
also A = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}, die sowohl in der Menge A ={1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13}, als auch in der Menge B={6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} sind,
also A B = {7; 8; 10; 11; 13}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 263 = 532

Somit gilt: H(B) = 532 - 263 = 269

  B B  
A   319
A  137 
 269263532

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B ) + 137 = 263

Somit gilt: H(A ∩ B ) = 263 - 137 = 126

  B B  
A  126319
A  137 
 269263532

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

319 + H( A ) = 532

Somit gilt: H( A ) = 532 - 319 = 213

  B B  
A  126319
A  137213
 269263532

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 126 = 319

Somit gilt: H(A ∩ B) = 319 - 126 = 193

  B B  
A 193126319
A  137213
 269263532

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( A ∩ B) + 137 = 213

Somit gilt: H( A ∩ B) = 213 - 137 = 76

  B B  
A 193126319
A 76137213
 269263532

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,24  
A 0,26 0,29
   1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.26 + P( A B ) = 0.29

Somit gilt: P( A B ) = 0.29 - 0.26 = 0.03

  B B  
A 0,24  
A 0,260,030,29
   1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.24 + 0.26 = P(B)

Somit gilt: P(B) = 0.24 + 0.26 = 0.5

  B B  
A 0,24  
A 0,260,030,29
 0,5 1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.29 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.29 = 0.71

  B B  
A 0,24 0,71
A 0,260,030,29
 0,5 1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.24 + P(A ∩ B ) = 0.71

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.71 - 0.24 = 0.47

  B B  
A 0,240,470,71
A 0,260,030,29
 0,5 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.5 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.5 = 0.5

  B B  
A 0,240,470,71
A 0,260,030,29
 0,50,51

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

Alle SchülerInnen eines Gymnasiums kommen entweder mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß oder aber mit dem Bus oder einem Auto zur Schule. Von denen, die nicht weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen fahren trotzdem 99 mit dem Bus oder Auto. Von den 318 SchülerInnen, die weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen, kommen aber immerhin 45 mit dem Fahrrad oder zu Fuß. Insgesamt fahren 133 mit dem Fahrrad oder gehen zu Fuß. Wie viele SchülerInnen hat die Schule ?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : nah

A : nicht nah, also entfernt

B : Fahrrad/Fuß

B : nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fahrrad/Fuß)
B
(Bus/Auto)
 
A
(nah)
 99 
A
(entfernt)
45 318
 133  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Fahrrad/Fuß)
B
(Bus/Auto)
 
A
(nah)
8899187
A
(entfernt)
45273318
 133372505

Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 505.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 57% der Befragten weiblich. Während 37% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 15%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : weiblich

A : nicht weiblich, also männlich

B : Fußballfan

B : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,57
A
(männlich)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,57
A
(männlich)
  0,43
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 15% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,57 0,15 = 0,0855 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0855 0,57
A
(männlich)
  0,43
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 37% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,43 0,37 = 0,1591 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0855 0,57
A
(männlich)
0,1591 0,43
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,08550,48450,57
A
(männlich)
0,15910,27090,43
 0,24460,75541

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also P B ( A ) = P( B A ) P( B ) = 0.0855 0.2446


Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.3496 = 34.96%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 2% der Bevölkerung diese nicht überleben. In einem Land sind 93% der Bevölkerung nicht älter als 80 Jahre. Von den über 80-jährigen sterben sogar 18% an dieser Viruskrankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Infizierter nicht älter als 80 ist und die Krankheit überlebt?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : über 80

A : nicht über 80, also höchstens 80

B : sterben

B : nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
   
A
(höchstens 80)
  0,93
 0,02  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
  0,07
A
(höchstens 80)
  0,93
 0,020,981

Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es 18% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,07 0,18 = 0,0126 berechnen.

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,0126 0,07
A
(höchstens 80)
  0,93
 0,020,981

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(sterben)
B
(überleben)
 
A
(über 80)
0,01260,05740,07
A
(höchstens 80)
0,00740,92260,93
 0,020,981

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9226 = 92.26%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 82143225
A 18071251
 262214476

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

= 262 476
= 214 476
=x
= 82 476
= 180 476
= 143 476
= 71 476

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
214 476 x = 71 476 = |:214 ⋅476
also
P B ( A ) = x = 71 214 ≈ 0,3318

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,020,350,37
A 0,30,330,63
 0,320,681

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,37
=0,63
=x
=0,02
=0,35
=0,3
=0,33

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,63x = 0,33 = |:0,63
also
P A ( B ) = x = 0,33 0,63 ≈ 0,5238

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 0,2% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 99,1% der tatsächlich infizierten auch einen positives Ergebnis. Bei den nicht infizierten zeigt dies der Test auch zu 98,6% an. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : infiziert

A : nicht infiziert, also nicht infiziert

B : Test positiv

B : nicht Test positiv, also Test negativ

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,002
A
(nicht infiziert)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,002
A
(nicht infiziert)
  0,998
   1
=0,002
infiziert
=0,998
nicht infiziert
Test positiv
=0,009
Test negativ
=0,014
Test positiv
Test negativ
=0,000018

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 0.9%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,002 0,009 = 0,000018
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
 0,0000180,002
A
(nicht infiziert)
  0,998
   1
=0,002
infiziert
=0,998
nicht infiziert
Test positiv
=0,009
Test negativ
=0,014
Test positiv
Test negativ
=0,000018
=0,013972

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.4%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,998 0,014 = 0,013972
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
 0,0000180,002
A
(nicht infiziert)
0,013972 0,998
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,0019820,0000180,002
A
(nicht infiziert)
0,0139720,9840280,998
 0,0159540,9840461

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für A (infiziert) unter der Vorraussetzung, dass B (Test positiv) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (Test positiv) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (Test positiv) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (infiziert) weiter.)

=0,015954
Test positiv
=0,984046
Test negativ
=x
infiziert
nicht infiziert
infiziert
nicht infiziert
=0,001982
=0,013972
=0,000018
=0,984028

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,015954x = 0,001982 = |:0,015954
also
P B ( A ) = x = 0,001982 0,015954 ≈ 0,1242


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,1242 = 12,42%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Nach einer Umfrage könnten sich 48% der Befragten vorstellen, sich als nächstes Auto ein Elektroauto zu kaufen. 48% davon seien auch schon einmal in einem E-Auto gefahren. 27,04% der Befragten meinten, dass sie noch nie in einem E-Auto gesessen sind und sich sicher auch nie eines kaufen werden. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "E-Auto kaufen" und "Erfahrung mit E-Auto" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Auto kaufen

A : nicht E-Auto kaufen, also nicht kaufen

B : E-Auto kennen

B : nicht E-Auto kennen, also nicht kennen

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
  0,48
A
(nicht kaufen)
 0,2704 
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
  0,48
A
(nicht kaufen)
0,24960,27040,52
   1
=0,48
E-Auto kaufen
=0,52
nicht kaufen
=0,48
E-Auto kennen
nicht kennen
E-Auto kennen
nicht kennen
=0,2304
=0,2496
=0,2704

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 48%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,48 0,48 = 0,2304
berechnen.

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
0,2304 0,48
A
(nicht kaufen)
0,24960,27040,52
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(E-Auto kennen)
B
(nicht kennen)
 
A
(E-Auto kaufen)
0,23040,24960,48
A
(nicht kaufen)
0,24960,27040,52
 0,480,521

Jetzt können wir P(A)=0.48 mit P(B)=0.48 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.23, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.48 ⋅ 0.48 = 0.2304 ≈ 0.23 ≈ 0.23 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A    
A 0,2277 0,69
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.69 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.69 = 0.31

  B B  
A   0,31
A 0,2277 0,69
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.69 ⋅ P ( B ) = 0.2277 |: 0.69

somit gilt:

P ( B ) = 0.2277 0.69 = 0.33

  B B  
A   0,31
A 0,2277 0,69
 0,33 1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,10230,20770,31
A 0,22770,46230,69
 0,330,671