Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 4; 8} und B = {1; 6; 9}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={1; 3; 4; 8}, als auch in der Menge B={1; 6; 9} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {1}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} und B = {1; 2; 4; 5; 6; 7}.

Um die Menge $A$ ∩ $\bar{B}$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\bar{B}$ bestimmen.

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 2; 4; 5; 6; 7} sind,
also $\bar{B}$ = {3; 8; 9; 10}

Die Menge $A$ ∩ $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, als auch in der Menge $\bar{B}$={3; 8; 9; 10} sind,
also $A$ ∩ $\bar{B}$ = {3; 8; 9}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} und die Mengen A = {2; 4; 6; 8; 10; 12} und B = {1; 2; 3}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}, die in der Menge A={2; 4; 6; 8; 10; 12} oder in der Menge B={1; 2; 3} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 10; 12}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∪ $B$) = $\frac{|A\cup B|}{\mathrm{|S|}}$ = $\frac{8}{\mathrm{12}}$ = $\frac{2}{3}$

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {4; 5; 7; 8} und B = {3; 6}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={4; 5; 7; 8} oder in der Menge B={3; 6} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {3; 4; 5; 6; 7; 8}

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

33 + 69 = H( $\bar{A}$)

Somit gilt: H( $\bar{A}$) = 33 + 69 = 102

	$B$	$\bar{B}$
$A$			164
$\bar{A}$	33	69	102
	188

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 33 = 188

Somit gilt: H(A ∩ B) = 188 - 33 = 155

	$B$	$\bar{B}$
$A$	155		164
$\bar{A}$	33	69	102
	188

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

164 + 102 = H(B + $\bar{B}$)

Somit gilt: H(B + $\bar{B}$) = 164 + 102 = 266

	$B$	$\bar{B}$
$A$	155		164
$\bar{A}$	33	69	102
	188		266

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

155 + H(A ∩ $\bar{B}$) = 164

Somit gilt: H(A ∩ $\bar{B}$) = 164 - 155 = 9

	$B$	$\bar{B}$
$A$	155	9	164
$\bar{A}$	33	69	102
	188		266

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

188 + H( $\bar{B}$) = 266

Somit gilt: H( $\bar{B}$) = 266 - 188 = 78

	$B$	$\bar{B}$
$A$	155	9	164
$\bar{A}$	33	69	102
	188	78	266

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\bar{A}$) = P(B)+P( $\bar{B}$) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,41	0,79
$\bar{A}$	0,02
			1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.41 = 0.79

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.79 - 0.41 = 0.38

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,38	0,41	0,79
$\bar{A}$	0,02
			1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.38 + 0.02 = P(B)

Somit gilt: P(B) = 0.38 + 0.02 = 0.4

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,38	0,41	0,79
$\bar{A}$	0,02
	0,4		1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.79 + P( $\bar{A}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{A}$) = 1 - 0.79 = 0.21

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,38	0,41	0,79
$\bar{A}$	0,02		0,21
	0,4		1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.02 + P( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 0.21

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 0.21 - 0.02 = 0.19

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,38	0,41	0,79
$\bar{A}$	0,02	0,19	0,21
	0,4		1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.4 + P( $\bar{B}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{B}$) = 1 - 0.4 = 0.6

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,38	0,41	0,79
$\bar{A}$	0,02	0,19	0,21
	0,4	0,6	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: Mädchen

$\bar{A}$: nicht Mädchen, also Jungs

$B$: Leistungsfach

$\bar{B}$: nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Leistungsfach)	$\bar{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	14
$\bar{A}$ (Jungs)		15
		33	64

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Leistungsfach)	$\bar{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	14	18	32
$\bar{A}$ (Jungs)	17	15	32
	31	33	64

Der gesuchte Wert, Anzahl Mädchen, ist also 32.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: weiblich

$\bar{A}$: nicht weiblich, also männlich

$B$: Fußballfan

$\bar{B}$: nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,5
$\bar{A}$ (männlich)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,5
$\bar{A}$ (männlich)			0,5
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 16% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,5 ⋅ 0,16 = 0,08 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,08		0,5
$\bar{A}$ (männlich)			0,5
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 33% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,5 ⋅ 0,33 = 0,165 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,08		0,5
$\bar{A}$ (männlich)	0,165		0,5
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,08	0,42	0,5
$\bar{A}$ (männlich)	0,165	0,335	0,5
	0,245	0,755	1

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also $P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$ = $\frac{\mathrm{0.08}}{\mathrm{0.245}}$

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.3265 = 32.65%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: zufrieden

$\bar{A}$: nicht zufrieden, also unzufrieden

$B$: eigene Partei

$\bar{B}$: nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (eigene Partei)	$\bar{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)			0,52
$\bar{A}$ (unzufrieden)
	0,4224

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (eigene Partei)	$\bar{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)			0,52
$\bar{A}$ (unzufrieden)			0,48
	0,4224	0,5776	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 73.86% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,4224 ⋅ 0,7386 = 0,312 berechnen.

	$B$ (eigene Partei)	$\bar{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)	0,312		0,52
$\bar{A}$ (unzufrieden)			0,48
	0,4224	0,5776	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (eigene Partei)	$\bar{B}$ (andere Partei)
$A$ (zufrieden)	0,312	0,208	0,52
$\bar{A}$ (unzufrieden)	0,1104	0,3696	0,48
	0,4224	0,5776	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von unzufrieden und kein Anhänger der Partei, ist also 0.3696 = 36.96%.

$P_B\left(A\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Vorraussetzung, dass $B$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
$\frac{\mathrm{247}}{\mathrm{407}}$ ⋅ x = $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{407}}$ = |:247 ⋅407
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{247}}$ ≈ 0,3036

$P_A\left(\bar{B}\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\bar{B}$ unter der Vorraussetzung, dass $A$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $A$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $A$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\bar{B}$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_A\left(\bar{B}\right)$ = | :

$P_A\left(\bar{B}\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}A\cap \bar{B})}{\mathrm{P(}A)}$

oder hier im speziellen:
0,4 ⋅ x = 0,13 = |:0,4
also
$P_A\left(\bar{B}\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,13}}{\mathrm{0,4}}$ ≈ 0,325

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: eigene Partei

$\bar{A}$: nicht eigene Partei, also andere Partei

$B$: zufrieden

$\bar{B}$: nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)			0,31
$\bar{A}$ (andere Partei)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)			0,31
$\bar{A}$ (andere Partei)			0,69
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 69%, also $P_A\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(B\right)$ = 0,31 ⋅ 0,69 = 0,2139
berechnen.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,2139		0,31
$\bar{A}$ (andere Partei)			0,69
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 24%, also $P_{\bar{A}}\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = 0,69 ⋅ 0,24 = 0,1656
berechnen.

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,2139		0,31
$\bar{A}$ (andere Partei)	0,1656		0,69
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (zufrieden)	$\bar{B}$ (unzufrieden)
$A$ (eigene Partei)	0,2139	0,0961	0,31
$\bar{A}$ (andere Partei)	0,1656	0,5244	0,69
	0,3795	0,6205	1

Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (eigene Partei) unter der Vorraussetzung, dass $B$ (zufrieden) bereits eingetroffen ist - kurz $P_B\left(A\right)$.

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ (zufrieden) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ (zufrieden) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (eigene Partei) weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,3795 ⋅ x = 0,2139 = |:0,3795
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,2139}}{\mathrm{0,3795}}$ ≈ 0,5636

Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,5636 = 56,36%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: Mädchen

$\bar{A}$: nicht Mädchen, also Jungs

$B$: Leistungsfach

$\bar{B}$: nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Leistungsfach)	$\bar{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	36
$\bar{A}$ (Jungs)		18
		42	100

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Leistungsfach)	$\bar{B}$ (Basisfach)
$A$ (Mädchen)	36	24	60
$\bar{A}$ (Jungs)	22	18	40
	58	42	100

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (Mädchen) und B (Leistungsfach) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,36	0,24	0,6
$\bar{A}$	0,22	0,18	0,4
	0,58	0,42	1

Jetzt können wir P(A)=0.6 mit P(B)=0.58 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.36, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.6 ⋅ 0.58 = 0.348 ≠ 0.36 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$	0,042		0,21
			1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.21 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.21 = 0.79

	$B$	$\bar{B}$
$A$			0,79
$\bar{A}$	0,042		0,21
			1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $\bar{A}$ und $B$) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

⋅ =

also 0.21 ⋅ = 0.042 |: 0.21

somit gilt:

= $\frac{\mathrm{0.042}}{\mathrm{0.21}}$ = 0.2

	$B$	$\bar{B}$
$A$			0,79
$\bar{A}$	0,042		0,21
	0,2		1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,158	0,632	0,79
$\bar{A}$	0,042	0,168	0,21
	0,2	0,8	1