Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 6; 8} und B = {1; 2; 7; 10}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={2; 4; 6; 8}, als auch in der Menge B={1; 2; 7; 10} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {2}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 3; 5; 6; 10} und B = {2; 4; 5; 6; 8; 10}.

Um die Menge $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\bar{A}$ und die Menge $\bar{B}$ bestimmen.

Die Menge $\bar{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 3; 5; 6; 10} sind,
also $\bar{A}$ = {2; 4; 7; 8; 9}

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={2; 4; 5; 6; 8; 10} sind,
also $\bar{B}$ = {1; 3; 7; 9}

Die Menge $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge $\bar{A}$={2; 4; 7; 8; 9}, als auch in der Menge $\bar{B}$={1; 3; 7; 9} sind,
also $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$ = {7; 9}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} und die Mengen A = {5; 10} und B = {1; 2; 3; 4}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}, die in der Menge A={5; 10} oder in der Menge B={1; 2; 3; 4} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {1; 2; 3; 4; 5; 10}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∪ $B$) = $\frac{|A\cup B|}{\mathrm{|S|}}$ = $\frac{6}{\mathrm{14}}$ = $\frac{3}{7}$

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 3; 6; 8; 9; 10}.

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={2; 3; 6; 8; 9; 10} sind,
also $\bar{B}$ = {1; 4; 5; 7}

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

64 + H(A ∩ $\bar{B}$) = 165

Somit gilt: H(A ∩ $\bar{B}$) = 165 - 64 = 101

	$B$	$\bar{B}$
$A$	64	101	165
$\bar{A}$	173
			437

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

64 + 173 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 64 + 173 = 237

	$B$	$\bar{B}$
$A$	64	101	165
$\bar{A}$	173
	237		437

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

165 + H( $\bar{A}$) = 437

Somit gilt: H( $\bar{A}$) = 437 - 165 = 272

	$B$	$\bar{B}$
$A$	64	101	165
$\bar{A}$	173		272
	237		437

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

173 + H( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 272

Somit gilt: H( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 272 - 173 = 99

	$B$	$\bar{B}$
$A$	64	101	165
$\bar{A}$	173	99	272
	237		437

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

237 + H( $\bar{B}$) = 437

Somit gilt: H( $\bar{B}$) = 437 - 237 = 200

	$B$	$\bar{B}$
$A$	64	101	165
$\bar{A}$	173	99	272
	237	200	437

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\bar{A}$) = P(B)+P( $\bar{B}$) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,09
$\bar{A}$	0,31		0,86
			1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.31 + P( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 0.86

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 0.86 - 0.31 = 0.55

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,09
$\bar{A}$	0,31	0,55	0,86
			1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.09 + 0.31 = P(B)

Somit gilt: P(B) = 0.09 + 0.31 = 0.4

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,09
$\bar{A}$	0,31	0,55	0,86
	0,4		1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.86 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.86 = 0.14

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,09		0,14
$\bar{A}$	0,31	0,55	0,86
	0,4		1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.09 + P(A ∩ $\bar{B}$) = 0.14

Somit gilt: P(A ∩ $\bar{B}$) = 0.14 - 0.09 = 0.05

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,09	0,05	0,14
$\bar{A}$	0,31	0,55	0,86
	0,4		1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.4 + P( $\bar{B}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{B}$) = 1 - 0.4 = 0.6

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,09	0,05	0,14
$\bar{A}$	0,31	0,55	0,86
	0,4	0,6	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: nah

$\bar{A}$: nicht nah, also entfernt

$B$: Fahrrad/Fuß

$\bar{B}$: nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\bar{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	263		405
$\bar{A}$ (entfernt)		430
	370

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Fahrrad/Fuß)	$\bar{B}$ (Bus/Auto)
$A$ (nah)	263	142	405
$\bar{A}$ (entfernt)	107	430	537
	370	572	942

Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 942.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: weiblich

$\bar{A}$: nicht weiblich, also männlich

$B$: Fußballfan

$\bar{B}$: nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,57
$\bar{A}$ (männlich)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,57
$\bar{A}$ (männlich)			0,43
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 17% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,57 ⋅ 0,17 = 0,0969 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,0969		0,57
$\bar{A}$ (männlich)			0,43
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 27% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,43 ⋅ 0,27 = 0,1161 berechnen.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,0969		0,57
$\bar{A}$ (männlich)	0,1161		0,43
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,0969	0,4731	0,57
$\bar{A}$ (männlich)	0,1161	0,3139	0,43
	0,213	0,787	1

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also $P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$ = $\frac{\mathrm{0.0969}}{\mathrm{0.213}}$

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.4549 = 45.49%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: iPhone

$\bar{A}$: nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$: installiert

$\bar{B}$: nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,22
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)
	0,303

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,22
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,78
	0,303	0,697	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 42% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,22 ⋅ 0,42 = 0,0924 berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,0924		0,22
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,78
	0,303	0,697	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,0924	0,1276	0,22
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,2106	0,5694	0,78
	0,303	0,697	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5694 = 56.94%.

$P_A\left(B\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Vorraussetzung, dass $A$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $A$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $A$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $B$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_A\left(B\right)$ = | :

$P_A\left(B\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}A\cap B)}{\mathrm{P(}A)}$

oder hier im speziellen:
$\frac{\mathrm{289}}{\mathrm{550}}$ ⋅ x = $\frac{\mathrm{197}}{\mathrm{550}}$ = |:289 ⋅550
also
$P_A\left(B\right)$ = x = $\frac{\mathrm{197}}{\mathrm{289}}$ ≈ 0,6817

$P_B\left(\bar{A}\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\bar{A}$ unter der Vorraussetzung, dass $B$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\bar{A}$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(\bar{A}\right)$ = | :

$P_B\left(\bar{A}\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap \bar{A})}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,59 ⋅ x = 0,44 = |:0,59
also
$P_B\left(\bar{A}\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,44}}{\mathrm{0,59}}$ ≈ 0,7458

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: iPhone

$\bar{A}$: nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$: installiert

$\bar{B}$: nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,18
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)
	0,2652

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,18
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,82
	0,2652	0,7348	1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 38%, also $P_A\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(B\right)$ = 0,18 ⋅ 0,38 = 0,0684
berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,0684		0,18
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,82
	0,2652	0,7348	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,0684	0,1116	0,18
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,1968	0,6232	0,82
	0,2652	0,7348	1

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (iPhone) unter der Vorraussetzung, dass $B$ (installiert) bereits eingetroffen ist - kurz $P_B\left(A\right)$.

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ (installiert) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ (installiert) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (iPhone) weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,2652 ⋅ x = 0,0684 = |:0,2652
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,0684}}{\mathrm{0,2652}}$ ≈ 0,2579

Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,2579 = 25,79%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: iPhone

$\bar{A}$: nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$: installiert

$\bar{B}$: nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)		0,6399
	0,2575

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)		0,1026
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)		0,6399
	0,2575	0,7425	1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 33.94%, also $P_B\left(A\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_B\left(A\right)$ = 0,2575 ⋅ 0,3394 = 0,0874
berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,0874	0,1026
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)		0,6399
	0,2575	0,7425	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,0874	0,1026	0,19
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,1701	0,6399	0,81
	0,2575	0,7425	1

Jetzt können wir P(A)=0.19 mit P(B)=0.258 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.087, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.19 ⋅ 0.258 = 0.0489 ≈ 0.049 ≠ 0.087 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$	0,3796
	0,73		1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.73 + P( $\bar{B}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{B}$) = 1 - 0.73 = 0.27

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$	0,3796
	0,73	0,27	1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $\bar{A}$ und $B$) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

⋅ =

also ⋅ 0.73 = 0.3796 |: 0.73

somit gilt:

= $\frac{\mathrm{0.3796}}{\mathrm{0.73}}$ = 0.52

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$	0,3796		0,52
	0,73	0,27	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,3504	0,1296	0,48
$\bar{A}$	0,3796	0,1404	0,52
	0,73	0,27	1