Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 6; 9}.

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 6; 9} sind,
also $\bar{B}$ = {2; 3; 4; 5; 7; 8; 10}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 6; 7; 10} und B = {1; 2; 3; 5; 7; 9; 10}.

Um die Menge $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$ bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge $\bar{A}$ und die Menge $\bar{B}$ bestimmen.

Die Menge $\bar{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 6; 7; 10} sind,
also $\bar{A}$ = {1; 2; 3; 5; 8; 9}

Die Menge $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 2; 3; 5; 7; 9; 10} sind,
also $\bar{B}$ = {4; 6; 8}

Die Menge $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge $\bar{A}$={1; 2; 3; 5; 8; 9}, als auch in der Menge $\bar{B}$={4; 6; 8} sind,
also $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$ = {8}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} und die Mengen A = {4; 8} und B = {1; 2; 3; 4}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, die in der Menge A={4; 8} oder in der Menge B={1; 2; 3; 4} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {1; 2; 3; 4; 8}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∪ $B$) = $\frac{|A\cup B|}{\mathrm{|S|}}$ = $\frac{5}{9}$

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 4} und B = {2; 3; 5; 8}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={3; 4}, als auch in der Menge B={2; 3; 5; 8} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {3}

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

113 + 54 = H( $\bar{A}$)

Somit gilt: H( $\bar{A}$) = 113 + 54 = 167

	$B$	$\bar{B}$
$A$		17
$\bar{A}$	113	54	167
			348

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

17 + 54 = H( $\bar{B}$)

Somit gilt: H( $\bar{B}$) = 17 + 54 = 71

	$B$	$\bar{B}$
$A$		17
$\bar{A}$	113	54	167
		71	348

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A) + 167 = 348

Somit gilt: H(A) = 348 - 167 = 181

	$B$	$\bar{B}$
$A$		17	181
$\bar{A}$	113	54	167
		71	348

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 17 = 181

Somit gilt: H(A ∩ B) = 181 - 17 = 164

	$B$	$\bar{B}$
$A$	164	17	181
$\bar{A}$	113	54	167
		71	348

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 71 = 348

Somit gilt: H(B) = 348 - 71 = 277

	$B$	$\bar{B}$
$A$	164	17	181
$\bar{A}$	113	54	167
	277	71	348

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\bar{A}$) = P(B)+P( $\bar{B}$) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,16
$\bar{A}$		0,61
		0,67	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.67 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.67 = 0.33

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,16
$\bar{A}$		0,61
	0,33	0,67	1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.16 + P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.33

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.33 - 0.16 = 0.17

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,16
$\bar{A}$	0,17	0,61
	0,33	0,67	1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ $\bar{B}$) + 0.61 = 0.67

Somit gilt: P(A ∩ $\bar{B}$) = 0.67 - 0.61 = 0.06

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,16	0,06
$\bar{A}$	0,17	0,61
	0,33	0,67	1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.16 + 0.06 = P(A)

Somit gilt: P(A) = 0.16 + 0.06 = 0.22

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,16	0,06	0,22
$\bar{A}$	0,17	0,61
	0,33	0,67	1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.17 + 0.61 = P( $\bar{A}$)

Somit gilt: P( $\bar{A}$) = 0.17 + 0.61 = 0.78

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,16	0,06	0,22
$\bar{A}$	0,17	0,61	0,78
	0,33	0,67	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: Schule

$\bar{A}$: nicht Schule, also schulfrei

$B$: schönes Wetter

$\bar{B}$: nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (schönes Wetter)	$\bar{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9
$\bar{A}$ (schulfrei)		6	14
			31

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (schönes Wetter)	$\bar{B}$ (schlechtes Wetter)
$A$ (Schule)	9	8	17
$\bar{A}$ (schulfrei)	8	6	14
	17	14	31

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie schöne Tage, ist also 8.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: über 80

$\bar{A}$: nicht über 80, also höchstens 80

$B$: sterben

$\bar{B}$: nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)			0,08
$\bar{A}$ (höchstens 80)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)			0,08
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,92
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es 12% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,08 ⋅ 0,12 = 0,0096 berechnen.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0096		0,08
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,92
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "höchstens 80" sind es 0.9% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,92 ⋅ 0,009 = 0,0083 berechnen.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0096		0,08
$\bar{A}$ (höchstens 80)	0,0083		0,92
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0096	0,0704	0,08
$\bar{A}$ (höchstens 80)	0,0083	0,9117	0,92
	0,0179	0,9821	1

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit an der Krankheit zu sterben, ist also 0.0179 = 1.79%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: über 80

$\bar{A}$: nicht über 80, also höchstens 80

$B$: sterben

$\bar{B}$: nicht sterben, also überleben

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,95
	0,016

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)			0,05
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,95
	0,016	0,984	1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es 11% kann man die Wahrscheinlichkeit
= 0,05 ⋅ 0,11 = 0,0055 berechnen.

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0055		0,05
$\bar{A}$ (höchstens 80)			0,95
	0,016	0,984	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (sterben)	$\bar{B}$ (überleben)
$A$ (über 80)	0,0055	0,0445	0,05
$\bar{A}$ (höchstens 80)	0,0105	0,9395	0,95
	0,016	0,984	1

Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9395 = 93.95%.

$P_A\left(\bar{B}\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\bar{B}$ unter der Vorraussetzung, dass $A$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $A$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $A$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\bar{B}$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_A\left(\bar{B}\right)$ = | :

$P_A\left(\bar{B}\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}A\cap \bar{B})}{\mathrm{P(}A)}$

oder hier im speziellen:
$\frac{\mathrm{167}}{\mathrm{371}}$ ⋅ x = $\frac{\mathrm{66}}{\mathrm{371}}$ = |:167 ⋅371
also
$P_A\left(\bar{B}\right)$ = x = $\frac{\mathrm{66}}{\mathrm{167}}$ ≈ 0,3952

$P_{\bar{A}}\left(B\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Vorraussetzung, dass $\bar{A}$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\bar{A}$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\bar{A}$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $B$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = | :

$P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}\bar{A}\cap B)}{\mathrm{P(}\bar{A})}$

oder hier im speziellen:
0,66 ⋅ x = 0,17 = |:0,66
also
$P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,17}}{\mathrm{0,66}}$ ≈ 0,2576

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst zwei Ereignisse A und B definieren:

$A$: Informatiklehrer

$\bar{A}$: nicht Informatiklehrer, also andere Lehrer

$B$: MS-Office

$\bar{B}$: nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)			0,06
$\bar{A}$ (andere Lehrer)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)			0,06
$\bar{A}$ (andere Lehrer)			0,94
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 83%, also $P_A\left(\bar{B}\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(\bar{B}\right)$ = 0,06 ⋅ 0,83 = 0,0498
berechnen.

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)		0,0498	0,06
$\bar{A}$ (andere Lehrer)			0,94
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 96%, also $P_{\bar{A}}\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = 0,94 ⋅ 0,96 = 0,9024
berechnen.

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)		0,0498	0,06
$\bar{A}$ (andere Lehrer)	0,9024		0,94
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (MS-Office)	$\bar{B}$ (anderes Office)
$A$ (Informatiklehrer)	0,0102	0,0498	0,06
$\bar{A}$ (andere Lehrer)	0,9024	0,0376	0,94
	0,9126	0,0874	1

Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (Informatiklehrer) unter der Vorraussetzung, dass $\bar{B}$ (anderes Office) bereits eingetroffen ist - kurz $P_{\bar{B}}\left(A\right)$.

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\bar{B}$ (anderes Office) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\bar{B}$ (anderes Office) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (Informatiklehrer) weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_{\bar{B}}\left(A\right)$ = | :

$P_{\bar{B}}\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}\bar{B}\cap A)}{\mathrm{P(}\bar{B})}$

oder hier im speziellen:
0,0874 ⋅ x = 0,0498 = |:0,0874
also
$P_{\bar{B}}\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,0498}}{\mathrm{0,0874}}$ ≈ 0,5698

Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,5698 = 56,98%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: E-Auto kaufen

$\bar{A}$: nicht E-Auto kaufen, also nicht kaufen

$B$: E-Auto kennen

$\bar{B}$: nicht E-Auto kennen, also nicht kennen

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (E-Auto kennen)	$\bar{B}$ (nicht kennen)
$A$ (E-Auto kaufen)			0,28
$\bar{A}$ (nicht kaufen)		0,4824

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (E-Auto kennen)	$\bar{B}$ (nicht kennen)
$A$ (E-Auto kaufen)			0,28
$\bar{A}$ (nicht kaufen)	0,2376	0,4824	0,72
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 46%, also $P_A\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(B\right)$ = 0,28 ⋅ 0,46 = 0,1288
berechnen.

	$B$ (E-Auto kennen)	$\bar{B}$ (nicht kennen)
$A$ (E-Auto kaufen)	0,1288		0,28
$\bar{A}$ (nicht kaufen)	0,2376	0,4824	0,72
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (E-Auto kennen)	$\bar{B}$ (nicht kennen)
$A$ (E-Auto kaufen)	0,1288	0,1512	0,28
$\bar{A}$ (nicht kaufen)	0,2376	0,4824	0,72
	0,3664	0,6336	1

Jetzt können wir P(A)=0.28 mit P(B)=0.366 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.129, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.28 ⋅ 0.366 = 0.1026 ≈ 0.103 ≠ 0.129 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$	0,2178
	0,66		1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.66 + P( $\bar{B}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{B}$) = 1 - 0.66 = 0.34

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$	0,2178
	0,66	0,34	1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $\bar{A}$ und $B$) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

⋅ =

also ⋅ 0.66 = 0.2178 |: 0.66

somit gilt:

= $\frac{\mathrm{0.2178}}{\mathrm{0.66}}$ = 0.33

	$B$	$\bar{B}$
$A$
$\bar{A}$	0,2178		0,33
	0,66	0,34	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,4422	0,2278	0,67
$\bar{A}$	0,2178	0,1122	0,33
	0,66	0,34	1