Aufgabenbeispiele von Vier-Felder-Tafel
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 5; 6; 9} und B = {1; 3; 6; 7; 9}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 5; 6; 9} und B = {1; 3; 6; 7; 9}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 6; 7; 9}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 6; 7; 9}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={4; 5; 6; 7; 9} sind,
also
= {1; 2; 3; 8; 10}
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 3 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {1; 3; 4; 5; 6} und B = {3; 6}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 13 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 13 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 3 teilbar ist, aber mindestens die 6 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} und die Mengen A = {3; 6; 9; 12} und B = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13},
die nicht in der Menge A={3; 6; 9; 12} sind,
also
= {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13}
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 263 = 532
Somit gilt: H(B) = 532 - 263 = 269
319 | |||
137 | |||
269 | 263 | 532 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 137 = 263
Somit gilt: H(A ∩ ) = 263 - 137 = 126
126 | 319 | ||
137 | |||
269 | 263 | 532 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
319 + H( ) = 532
Somit gilt: H( ) = 532 - 319 = 213
126 | 319 | ||
137 | 213 | ||
269 | 263 | 532 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 126 = 319
Somit gilt: H(A ∩ B) = 319 - 126 = 193
193 | 126 | 319 | |
137 | 213 | ||
269 | 263 | 532 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 137 = 213
Somit gilt: H( ∩ B) = 213 - 137 = 76
193 | 126 | 319 | |
76 | 137 | 213 | |
269 | 263 | 532 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,24 | |||
0,26 | 0,29 | ||
1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.26 + P( ∩ ) = 0.29
Somit gilt: P( ∩ ) = 0.29 - 0.26 = 0.03
0,24 | |||
0,26 | 0,03 | 0,29 | |
1 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.24 + 0.26 = P(B)
Somit gilt: P(B) = 0.24 + 0.26 = 0.5
0,24 | |||
0,26 | 0,03 | 0,29 | |
0,5 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.29 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.29 = 0.71
0,24 | 0,71 | ||
0,26 | 0,03 | 0,29 | |
0,5 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.24 + P(A ∩ ) = 0.71
Somit gilt: P(A ∩ ) = 0.71 - 0.24 = 0.47
0,24 | 0,47 | 0,71 | |
0,26 | 0,03 | 0,29 | |
0,5 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.5 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.5 = 0.5
0,24 | 0,47 | 0,71 | |
0,26 | 0,03 | 0,29 | |
0,5 | 0,5 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
Alle SchülerInnen eines Gymnasiums kommen entweder mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß oder aber mit dem Bus oder einem Auto zur Schule. Von denen, die nicht weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen fahren trotzdem 99 mit dem Bus oder Auto. Von den 318 SchülerInnen, die weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen, kommen aber immerhin 45 mit dem Fahrrad oder zu Fuß. Insgesamt fahren 133 mit dem Fahrrad oder gehen zu Fuß. Wie viele SchülerInnen hat die Schule ?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: nah
: nicht nah, also entfernt
: Fahrrad/Fuß
: nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 99 | ||
(entfernt) | 45 | 318 | |
133 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
45 + H( ∩ ) = 318
Somit gilt: H( ∩ ) = 318 - 45 = 273
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 99 | ||
(entfernt) | 45 | 273 | 318 |
133 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 45 = 133
Somit gilt: H(A ∩ B) = 133 - 45 = 88
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 88 | 99 | |
(entfernt) | 45 | 273 | 318 |
133 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
99 + 273 = H( )
Somit gilt: H( ) = 99 + 273 = 372
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 88 | 99 | |
(entfernt) | 45 | 273 | 318 |
133 | 372 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
88 + 99 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 88 + 99 = 187
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 88 | 99 | 187 |
(entfernt) | 45 | 273 | 318 |
133 | 372 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
133 + 372 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 133 + 372 = 505
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 88 | 99 | 187 |
(entfernt) | 45 | 273 | 318 |
133 | 372 | 505 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 88 | 99 | 187 |
(entfernt) | 45 | 273 | 318 |
133 | 372 | 505 |
Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 505.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage waren 57% der Befragten weiblich. Während 37% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 15%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: weiblich
: nicht weiblich, also männlich
: Fußballfan
: nicht Fußballfan, also kein Fan
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,57 | ||
(männlich) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,57 | ||
(männlich) | 0,43 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es
15% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,57 ⋅
0,15 =
0,0855 berechnen.
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0855 | 0,57 | |
(männlich) | 0,43 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es
37% kann man die Wahrscheinlichkeit
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0855 | 0,57 | |
(männlich) | 0,1591 | 0,43 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Fußballfan) |
(kein Fan) | ||
---|---|---|---|
(weiblich) | 0,0855 | 0,4845 | 0,57 |
(männlich) | 0,1591 | 0,2709 | 0,43 |
0,2446 | 0,7554 | 1 |
Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.3496 = 34.96%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 2% der Bevölkerung diese nicht überleben. In einem Land sind 93% der Bevölkerung nicht älter als 80 Jahre. Von den über 80-jährigen sterben sogar 18% an dieser Viruskrankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Infizierter nicht älter als 80 ist und die Krankheit überlebt?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | |||
(höchstens 80) | 0,93 | ||
0,02 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,07 | ||
(höchstens 80) | 0,93 | ||
0,02 | 0,98 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es
18% kann man die Wahrscheinlichkeit
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,0126 | 0,07 | |
(höchstens 80) | 0,93 | ||
0,02 | 0,98 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,0126 | 0,0574 | 0,07 |
(höchstens 80) | 0,0074 | 0,9226 | 0,93 |
0,02 | 0,98 | 1 |
Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9226 = 92.26%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 82 | 143 | 225 |
| 180 | 71 | 251 |
262 | 214 | 476 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,02 | 0,35 | 0,37 |
| 0,3 | 0,33 | 0,63 |
0,32 | 0,68 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,63 ⋅ x
= 0,33 = |:0,63
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 0,2% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 99,1% der tatsächlich infizierten auch einen positives Ergebnis. Bei den nicht infizierten zeigt dies der Test auch zu 98,6% an. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,002 | ||
(nicht infiziert) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,002 | ||
(nicht infiziert) | 0,998 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 0.9%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,000018 | 0,002 | |
(nicht infiziert) | 0,998 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.4%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,000018 | 0,002 | |
(nicht infiziert) | 0,013972 | 0,998 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(Test positiv) |
(Test negativ) | ||
---|---|---|---|
(infiziert) | 0,001982 | 0,000018 | 0,002 |
(nicht infiziert) | 0,013972 | 0,984028 | 0,998 |
0,015954 | 0,984046 | 1 |
Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,015954 ⋅ x
= 0,001982 = |:0,015954
also
Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,1242 = 12,42%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Nach einer Umfrage könnten sich 48% der Befragten vorstellen, sich als nächstes Auto ein Elektroauto zu kaufen. 48% davon seien auch schon einmal in einem E-Auto gefahren. 27,04% der Befragten meinten, dass sie noch nie in einem E-Auto gesessen sind und sich sicher auch nie eines kaufen werden. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "E-Auto kaufen" und "Erfahrung mit E-Auto" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,48 | ||
(nicht kaufen) | 0,2704 | ||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,48 | ||
(nicht kaufen) | 0,2496 | 0,2704 | 0,52 |
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "E-Auto kaufen" sind es 48%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,2304 | 0,48 | |
(nicht kaufen) | 0,2496 | 0,2704 | 0,52 |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(E-Auto kennen) |
(nicht kennen) | ||
---|---|---|---|
(E-Auto kaufen) | 0,2304 | 0,2496 | 0,48 |
(nicht kaufen) | 0,2496 | 0,2704 | 0,52 |
0,48 | 0,52 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.48 mit P(B)=0.48 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.23, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.48 ⋅ 0.48 = 0.2304 ≈ 0.23
≈ 0.23 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| |||
| 0,2277 | 0,69 | |
1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.69 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.69 = 0.31
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,31 | ||
| 0,2277 | 0,69 | |
1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.69 ⋅
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,31 | ||
| 0,2277 | 0,69 | |
0,33 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,1023 | 0,2077 | 0,31 |
| 0,2277 | 0,4623 | 0,69 |
0,33 | 0,67 | 1 |