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Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

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Einfache Verhältnisgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- \frac{5}{x}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{5}{x}$	=	$- 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{5}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$- 5$	=	$- x$

$- 5$	=	$- x$	\| $+ 5$ $+ x$
$x$	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ }

Einfache Linearterme im Nenner

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2}{x + 5}$ = $1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{2}{x + 5}$	=	$1$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{2}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$1 \cdot (x + 5)$
$2$	=	$x + 5$

$2$	=	$x + 5$	\| $- 2$ $- x$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{2 x + 35}{2 x - 1}$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{2 x + 35}{2 x - 1}$	=	$- 3$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{2 x + 35}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$	=	$- 3 \cdot (2 x - 1)$
$2 x + 35$	=	$- 3 (2 x - 1)$

$2 x + 35$	=	$- 6 x + 3$	\| $- 35$
$2 x$	=	$- 6 x - 32$	\| $+ 6 x$
$8 x$	=	$- 32$	\|: $8$
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Formel umstellen

Beispiel:

Eine Schnecke kriecht mit der konstanten Geschwindigkeit 1,7 cm/min auf ein Salatblatt zu. Wie lange braucht sie, bis sie das 25 cm entfernte Blatt erreicht hat?

Lösung einblenden

Wir wenden hier die Formel v= $\frac{s}{t}$ an und stellen sie so um, dass die gesuchte Größe t alleine steht:

v= $\frac{s}{t}$ |⋅t

=> v⋅t=s |:v

=> t= $\frac{s}{v}$

Jetzt müssen wir nur noch die gegebenen Werte einsetzen und ausrechnen:

t= $\frac{s}{v}$ = $\frac{25 cm}{1.7 cm/min}$ ≈ 14.71 min