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Aufgabenbeispiele von Daten / Boxplots

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Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 3; 11; 11; ⬜; 9; 10 haben den Mittelwert 9.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

Lösung einblenden

Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

3+11+11+⬜+9+10 6 = 9

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

44+⬜ 6 = 9

Wenn wir die Summe im Zähler durch 6 teilen, erhalten wir 9.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 6-fache von 9, also 6 ⋅ 9 = 54 sein, also ...

44 + ⬜ = 54

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 54 - 44 sein muss.

⬜ = 10

Zentralwert und Quartile (geordnet)

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Zentralwert, das untere und das obere Quartil sowie den Quartilabstand.

  • 126
  • 146
  • 191
  • 209
  • 259
  • 274
  • 281
  • 349
  • 575
  • 645
  • 889
  • 950
  • 996

Lösung einblenden

Da die Datenliste ja bereits sortiert ist, können wir gleich die Werte suchen:

  1. -> 126
  2. -> 146
  3. -> 191
  4. -> 209
  5. -> 259
  6. -> 274
  7. -> 281
  8. -> 349
  9. -> 575
  10. -> 645
  11. -> 889
  12. -> 950
  13. -> 996

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert einfach den mittleren (hier also den 7.) Wert der Liste nehmen, also 281.

Das untere Quartil ist nun wieder der Zentralwert der unteren Hälfte der Liste, also der unteren 6 Werte (bis 274), also der Mittelwert zwischen 191 und 209, also (191+209):2 = 200
Das obere Quartil ist dann wieder der Zentralwert der oberen Hälfte der Liste, also ab 349, also der Mittelwert zwischen 645 und 889, also (645+889):2 = 767
Den Quartilabstand berechnen wir nun einfach als die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also hier Q = 767 - 200 = 567

Zentralwert und Quartile

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Zentralwert, das untere und das obere Quartil sowie den Quartilabstand.

  • 836
  • 695
  • 165
  • 263
  • 64
  • 501
  • 743
  • 354
  • 906
  • 602

Lösung einblenden

Zuerst sortieren wir die Datenliste:

  1. -> 64
  2. -> 165
  3. -> 263
  4. -> 354
  5. -> 501
  6. -> 602
  7. -> 695
  8. -> 743
  9. -> 836
  10. -> 906

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Zentralwert den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 501) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 602) berechnen.
also (501+602):2 = 551,5

Das untere Quartil ist nun wieder der Zentralwert der unteren Hälfte der Liste, also der unteren 5 Werte (bis 501), also einfach der mittlere Wert : 263
Das obere Quartil ist dann wieder der Zentralwert der oberen Hälfte der Liste, also ab 602, also einfach der mittlere Wert : 743
Den Quartilabstand berechnen wir nun einfach als die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also hier Q = 743 - 263 = 480

Werte aus Boxplot ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Lese am abgebildeten Boxplot das Minimum, das Maximun, den Zentralwert, das untere und das obere Quartil ab.

Lösung einblenden

Das Minimum und Maximum lässt sich ja recht einfach an den Antennen des Boxplots (äußerste senkrechte Striche) anlesen:
Minimum: 10
Maximum: 40

Den Zentralwert erkennt man an dem senkrechten Strich innerhalb der Box (also dem Rechtecks zwischen den Antennen):
Zentralwert: 29

Das untere Quartil kann man an der linken Begrenzung der Box, das obere Quartil an der rechten Begrenzug der Box ablesen:
Unteres Quartil: 17
Oberes Quartil: 30