Aufgabenbeispiele von Kombinatorik
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Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Ein spezielles Zahlenschloss hat 3 Ringe mit jeweils 4 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?
Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 4-fach verzweigt.
Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 = 64 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Eine Mathelehrerin verlost unter den 6 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, 2 Matherätsel-Knobelbücher. Natürlich kann jeder höchstens eins bekommen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die 2er-Gruppe der glücklichen Gewinner?
Für die erste Stelle ist jede(r/s) SchülerIn möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also 6 ⋅ 5 = 30 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (SchülerIn) auf die 2 "Ziehungen" (Knobelbücher) zu verteilen.
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2 ⋅ 1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.
Wir müssen deswegen die 30 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 15 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 6 Elementen (SchülerIn) gebildet werden.