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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1,4142 \sqrt{x}$ = $2$

$1,4142 \sqrt{x}$	=	$2$	\|: $1,4142$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{2}{1,4142}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{2}{1,4142})}^{2}$

x

=

2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $1,4142 \sqrt{x}$

$=$ $1,4142 \sqrt{2}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 15}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 15}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 15$	=	${(x)}^{2}$

8 x - 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 15}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 15}$

= $\sqrt{24 - 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{8 x - 15}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 5 - 15}$

= $\sqrt{40 - 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{42 x + 88}$ = $3 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{42 x + 88}$	=	$3 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$42 x + 88$	=	${(3 x + 4)}^{2}$

42 x + 88

=

9 x^{2} + 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

- 24 x

- 16

- 9 x^{2} + 18 x + 72

= 0 |:9

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{42 x + 88}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot (- 2) + 88}$

= $\sqrt{- 84 + 88}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 x + 4$

$=$ $3 \cdot (- 2) + 4$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{42 x + 88}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot 4 + 88}$

= $\sqrt{168 + 88}$

= $\sqrt{256}$

= $16$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 x + 4$

$=$ $3 \cdot 4 + 4$

= $12 + 4$

= $16$

Also 16 = 16

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{18 x + 46}$ = $2 \sqrt{5 x + 10}$

Lösung einblenden

$\sqrt{18 x + 46}$	=	$2 \sqrt{5 x + 10}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$18 x + 46$	=	${(2 \sqrt{5 x + 10})}^{2}$

$18 x + 46$	=	$4 (5 x + 10)$
$18 x + 46$	=	$20 x + 40$	\| $- 46$
$18 x$	=	$20 x - 6$	\| $- 20 x$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{18 x + 46}$

$=$ $\sqrt{18 \cdot 3 + 46}$

= $\sqrt{54 + 46}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{5 x + 10}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot 3 + 10}$

= $2 \sqrt{15 + 10}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 91}$ = $\sqrt{5 x + 66} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 91}$	=	$\sqrt{5 x + 66} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 91$	=	${(\sqrt{5 x + 66} + 1)}^{2}$

$7 x + 91$	=	$2 \sqrt{5 x + 66} + 5 x + 67$	\| $- 7 x$ $- 91$ $- 2 \sqrt{5 x + 66}$
$- 2 \sqrt{5 x + 66}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 66}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 66$	=	${(x + 12)}^{2}$

5 x + 66

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 78)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 312}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19+7}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19-7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 78$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{312}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 13) + 91}$

= $\sqrt{- 91 + 91}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{5 x + 66} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 13) + 66} + 1$

= $\sqrt{- 65 + 66} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 6) + 91}$

= $\sqrt{- 42 + 91}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 66} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 66} + 1$

= $\sqrt{- 30 + 66} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -6

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 6$