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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 6}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{- 2 x + 6}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 2 x + 6}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 6$	=	$4^{2}$

$- 2 x + 6$	=	$16$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 3 \sqrt{- 2 x + 6}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 2 \cdot (- 5) + 6}$

= $- 3 \sqrt{10 + 6}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x - 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x - 2$	=	${(x)}^{2}$

- 3 x - 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 2) - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 1) - 2}$

= $\sqrt{3 - 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 15 x + 181} + 3 x$ = $1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 15 x + 181} + 3 x$	=	$1$	\| $- 3 x$
$\sqrt{- 15 x + 181}$	=	$- 3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 15 x + 181$	=	${(- 3 x + 1)}^{2}$

- 15 x + 181

=

9 x^{2} - 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

+ 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 9 x + 180

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 15 x + 181} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 15 \cdot (- 5) + 181} + 3 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{75 + 181} - 15$

= $\sqrt{256} - 15$

= $16 - 15$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $1$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 15 x + 181} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 15 \cdot 4 + 181} + 3 \cdot 4$

= $\sqrt{- 60 + 181} + 12$

= $\sqrt{121} + 12$

= $11 + 12$

= $23$

Rechte Seite:

x = $4$ in $1$

$=$ $1$

Also 23 ≠ 1

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{17 x + 166}$ = $2 \sqrt{4 x + 40}$

Lösung einblenden

$\sqrt{17 x + 166}$	=	$2 \sqrt{4 x + 40}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$17 x + 166$	=	${(2 \sqrt{4 x + 40})}^{2}$

$17 x + 166$	=	$4 (4 x + 40)$
$17 x + 166$	=	$16 x + 160$	\| $- 166$
$17 x$	=	$16 x - 6$	\| $- 16 x$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{17 x + 166}$

$=$ $\sqrt{17 \cdot (- 6) + 166}$

= $\sqrt{- 102 + 166}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{4 x + 40}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 6) + 40}$

= $2 \sqrt{- 24 + 40}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 91}$ = $\sqrt{2 x + 39} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 91}$	=	$\sqrt{2 x + 39} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 91$	=	${(\sqrt{2 x + 39} + 2)}^{2}$

$6 x + 91$	=	$4 \sqrt{2 x + 39} + 2 x + 43$	\| $- 6 x$ $- 91$ $- 4 \sqrt{2 x + 39}$
$- 4 \sqrt{2 x + 39}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 39}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 39$	=	${(x + 12)}^{2}$

2 x + 39

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 105)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22+8}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22-8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 105$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 105$ = $121$ $-$ $105$ = $16$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 11$ - $4$ = -15

x₂ = $- 11$ + $4$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{6 x + 91}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 15) + 91}$

= $\sqrt{- 90 + 91}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{2 x + 39} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 15) + 39} + 2$

= $\sqrt{- 30 + 39} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 91}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 91}$

= $\sqrt{- 42 + 91}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 39} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 39} + 2$

= $\sqrt{- 14 + 39} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -7

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 7$