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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 1}$ = $- 3$

$- 3 \sqrt{x + 1}$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{x + 1}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	$1^{2}$

$x + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $- 3 \sqrt{x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{0 + 1}$

= $- 3 \sqrt{1}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = 0 in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 2$	=	${(x)}^{2}$

3 x - 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 - 2}$

= $\sqrt{3 - 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x - 12}$ = $- x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x - 12}$	=	$- x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x - 12$	=	${(- x - 2)}^{2}$

12 x - 12

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{12 x - 12}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 4 - 12}$

= $\sqrt{48 - 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- x - 2$

$=$ $- 4 - 2$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 24}$ = $3 \sqrt{x + 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 24}$	=	$3 \sqrt{x + 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 24$	=	${(3 \sqrt{x + 2})}^{2}$

$6 x + 24$	=	$9 (x + 2)$
$6 x + 24$	=	$9 x + 18$	\| $- 24$
$6 x$	=	$9 x - 6$	\| $- 9 x$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x + 24}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 + 24}$

= $\sqrt{12 + 24}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{x + 2}$

$=$ $3 \sqrt{2 + 2}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 13}$ = $\sqrt{4 x + 12} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 13}$	=	$\sqrt{4 x + 12} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 13$	=	${(\sqrt{4 x + 12} + 1)}^{2}$

$6 x + 13$	=	$2 \sqrt{4 x + 12} + 4 x + 13$	\| $- 6 x$ $- 13$ $- 2 \sqrt{4 x + 12}$
$- 2 \sqrt{4 x + 12}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 12$	=	${(x)}^{2}$

4 x + 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4+8}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4-8}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 6 + 13}$

= $\sqrt{36 + 13}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{4 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 6 + 12} + 1$

= $\sqrt{24 + 12} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 6

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $6$