Aufgabenbeispiele von Proportionale Zuordnung

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Zweisatz

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 3,00 € für 1 kg Äpfel.

Wie viel kosten 7 kg Äpfel?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Äpfel3,00 €
7 kg Äpfel?

Um von 1 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 7 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 3 € mit 7 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 7 kg Äpfel entspricht:

⋅ 7
1 kg Äpfel3,00 €
7 kg Äpfel?
⋅ 7
⋅ 7
1 kg Äpfel3,00 €
7 kg Äpfel21,00 €
⋅ 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 kg Äpfel entspricht: 21,00 €

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Bei Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 24,00 € 8 kg Birnen.

Wie viel kosten 12 kg Birnen?
Wie viel kg Birnen bekommt man für 30 € ?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


8 kg Birnen24,00 €
??
12 kg Birnen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Birnen:


8 kg Birnen24,00 €
4 kg Birnen?
12 kg Birnen?

Um von 8 kg Birnen in der ersten Zeile auf 4 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 24 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Birnen entspricht:

: 2

8 kg Birnen24,00 €
4 kg Birnen12,00 €
12 kg Birnen?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 2
⋅ 3

8 kg Birnen24,00 €
4 kg Birnen12,00 €
12 kg Birnen36,00 €

: 2
⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 kg Birnen entspricht: 36,00 €



Für die andere Frage (Wie viel kg Birnen bekommt man für 30 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Birnen"-Wert gesucht wird:


24 €8 kg Birnen
??
30 €?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 30 sein, also der ggT(24,30) = 6.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 6 €:


24 €8 kg Birnen
6 €?
30 €?

Um von 24 € in der ersten Zeile auf 6 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 8 kg Birnen durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 € entspricht:

: 4

24 €8 kg Birnen
6 €2 kg Birnen
30 €?

: 4

Jetzt müssen wir ja wieder die 6 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 30 € in der dritten Zeile zu kommen.

: 4
⋅ 5

24 €8 kg Birnen
6 €2 kg Birnen
30 €10 kg Birnen

: 4
⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 30 € entspricht: 10 kg Birnen

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 5 wenn die Größe B den Wert 3.5 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 3.5 durch den Wert von 'Größe A' (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 5 des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= 3.5 5 =0,7
Zuordnungsvorschrift: y = 0,7 ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 2 Minuten 9,6 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 9.6 durch den Wert von 'Zeit' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 2 des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= 9.6 2 =4,8
Zuordnungsvorschrift: y = 4,8 ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 8, wenn die Größe B den Wert 10.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 6.5 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 10.4 = m⋅8.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 10.4 durch den Wert von Größe A (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 8 des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= 10.4 8 =1,3
Zuordnungsvorschrift: y = 1,3 ⋅ x

x-Wert bei y = 6.5

Da der/die Größe B den Wert 6.5 hat, muss man 6.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
6.5 = 1,3 ⋅ x.
Das klappt mit x = 6.5 1.3 , weil dann 6.5 = 1,3 6.5 1.3 .
Somit gilt für x (Größe A) = 6.5 1.3 = 5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 3 Kartons in 1,8 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

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    Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 1.8 = m⋅3.

    Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 1.8 durch den Wert von Kartonanzahl (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 3 des Wertes bei 3 sein muss.
    Also: m= 1.8 3 =0,6
    Zuordnungsvorschrift: y = 0,6 ⋅ x

    1. y-Wert bei x = 3.5

      Da der/die Kartonanzahl den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
      y=0,6 ⋅ 3.5 = 2.1

      .
    2. x-Wert bei y = 2.4

      Da der/die Verpackungszeit den Wert 2.4 hat, muss man 2.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Kartonanzahl zu erhalten:
      2.4 = 0,6 ⋅ x.
      Das klappt mit x = 2.4 0.6 , weil dann 2.4 = 0,6 2.4 0.6 .
      Somit gilt für x (Kartonanzahl) = 2.4 0.6 = 4.