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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $x^{2} + 6 x + 1$ .

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 1$ = $9 - 18 + 1$ = -8

also: S(-3|-8).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x - 4$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x - 4$

= $\frac{1}{2} (x^{2} - 2 x) - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2} (x^{2} - 2 x + 1 - 1) - 4$

= $\frac{1}{2} (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{1}{2} \cdot (- 1) - 4$

= $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

= $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{9}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-4.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2} x^{2} - x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2} x^{2} - x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2} x^{2} - x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2} x^{2} - x$	=	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x^{2} - x)$	=
$x^{2} - 2 x$	=
$x \cdot (x - 2)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 - 4$ = $\frac{1}{2} - 1 - 4$ = -4.5

also: S(1|-4.5).

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(-1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
-3 = 1 -1b +c |-1

8 = 1b +c
-4 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ - b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 4$
$c - b$	=	$- 4$	\| $+ b$
$c$	=	$- 4 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 4 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 4 + b)$	=	$8$
$b - 4 + b$	=	$8$
$2 b - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 + 6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(2|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|16): 16 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
16 = 4 +2b +c |-4

4 = 1b +c
12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$12$
$c + 2 b$	=	$12$	\| $- 2 b$
$c$	=	$12 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (12 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 - 2 b)$	=	$4$
$b + 12 - 2 b$	=	$4$
$- b + 12$	=	$4$	\| $- 12$
$- b$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 2 \cdot 8$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 4$ = $16 - 32 - 4$ = -20

also: S(-4|-20).

Aufgabenbeispiele von Scheitelform, Termbestimmung

x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

ax²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg