1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25+1$

= ${\left(x-5\right)}^2-25+1$

= ${\left(x-5\right)}^2-24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5+1$ = $25-50+1$ = -24

also: S(5|-24).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3x-2$

= $\frac{1}{2}\left(x^2-6x\right)-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9-9\right)-2$

= $\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9\right)+\frac{1}{2}·\left(-9\right)-2$

= $\frac{1}{2}{\left(x-3\right)}^2-\frac{9}{2}-2$

= $\frac{1}{2}{\left(x-3\right)}^2-\frac{13}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-6.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2-3x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2-3x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2-3x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2-3x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2-3x\right)$	=	0
$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot 3^2-3\cdot 3-2$ = $\frac{9}{2}-9-2$ = -6.5

also: S(3|-6.5).