Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 m und b = 8 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 m)² + (8 m)² = 9 m² + 64 m² = 73 m²

d1 = $\sqrt{73}$ m ≈ 8.544 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{73}$ m)² + (8 m)² = 73 m² + 64 m² = 137 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 m² + 64 m² + 64 m² = 137 m²
berechnen.

d = $\sqrt{137}$ m ≈ 11.705 m

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 m und b = 3 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 m)² + (3 m)² = 16 m² + 9 m² = 25 m²

d1 = $\sqrt{25}$ m ≈ 5 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{25}$ m)² + (7 m)² = 25 m² + 49 m² = 74 m²

d = $\sqrt{74}$ m ≈ 8.602 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 5 m + 8.6 m + 7 m ≈ 20.6 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$⋅5 m⋅ 7 m ≈ 17.5 m²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3 ² = 64 + 9 = 73

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{73}}$ m ≈ 8,5 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,54² + 2,5² = 72,93 + 6,25 = 79

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{79.18}}$ m ≈ 8,9 m

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 8,9² - 4² = 79,21 - 16 = 63,21

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{63.21}}$ m ≈ 8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

($\frac{1}{2}$b)² = s² - h_b²

($\frac{1}{2}$b)² = 9,8² - 8,9² = 96,04 - 79,21 = 16,83

Also gilt $\frac{1}{2}$b = $\sqrt{\mathrm{16.83}}$ m ≈ 4,1 m

Somit gilt: b ≈ 8,2 m

Es gilt:

10² + 40² =h²

100 +1600 = h²

1700 = h² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

41.23 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 41.23cm

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅9 cm⋅7,5 cm ≈ 33,75 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅33,75 cm² = 135 cm²

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,5 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 9 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 7,5² - 4,5² = 56,25 - 20,25 = 36

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{36}}$ cm ≈ 6 cm

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,28² + 2² = 53 + 4 = 57

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{57}}$ m ≈ 7,55 m

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 16 m² berechnet.