Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (4 mm)² + (9 mm)² = 16 mm² + 81 mm² = 97 mm²

d1 = $\sqrt{97}$ mm ≈ 9.849 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{97}$ mm)² + (2 mm)² = 97 mm² + 4 mm² = 101 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 16 mm² + 81 mm² + 4 mm² = 101 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{101}$ mm ≈ 10.05 mm

Die Seitenwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten b= 2 cm und c = 9 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = b² + c² = (2 cm)² + (9 cm)² = 4 cm² + 81 cm² = 85 cm²

d1 = $\sqrt{85}$ cm ≈ 9.22 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und a, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + a² = ( $\sqrt{85}$ cm)² + (4 cm)² = 85 cm² + 16 cm² = 101 cm²

d = $\sqrt{101}$ cm ≈ 10.05 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + a ≈ 9.22 cm + 10.05 cm + 4 cm ≈ 23.27 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 4:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅a ≈ $\frac{1}{2}$⋅9.22 cm⋅ 4 cm ≈ 18.44 cm²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{76.25}}$ m ≈ 8,7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 3,5² = 76,21 + 12,25 = 88

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{88.46}}$ m ≈ 9,4 m

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ($\frac{1}{2}$b)² = h_b ²

h_b² = 8,6² - 3² = 73,96 - 9 = 64,96

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{64.96}}$ mm ≈ 8,1 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 8,06² - 4² = 64,96 - 16 = 48,96

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{48.96}}$ mm ≈ 7 mm

Es gilt:

4² + 7² =h²

16 +49 = h²

65 = h² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

8.06 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 8m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 64.5m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 129m²

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,54 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,54² + 3² = 73 + 9 = 9

Also gilt s = $\sqrt{9}$ cm ≈ 9,06 cm

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 cm bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅6 cm⋅8,54 cm ≈ 25,63 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅25,63 cm² = 102,53 cm²

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (6 cm)² = 36 cm²

somit gilt: O = M + G = 102,53 cm² + 36 cm² = 138,53 cm²

Bestimmung der Grundfläche G

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach G umstellen und erhalten
G = $\frac{\mathrm{3\cdot V}}{h}$:

Das Volumen V ist ja mit V = 60 cm³ bereits bekannt.

somit gilt: G = $\frac{\mathrm{3\cdot V}}{h}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 60\; cm³}}{\mathrm{5\; cm}}$ ≈ 36 cm²

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,83² + 3² = 33,99 + 9 = 43

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{42.99}}$ cm ≈ 6,56 cm