Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 8 m und b = 5 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (8 m)² + (5 m)² = 64 m² + 25 m² = 89 m²

d1 = $\sqrt{89}$ m ≈ 9.434 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{89}$ m)² + (6 m)² = 89 m² + 36 m² = 125 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 64 m² + 25 m² + 36 m² = 125 m²
berechnen.

d = $\sqrt{125}$ m ≈ 11.18 m

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 2 cm und c = 7 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (2 cm)² + (7 cm)² = 4 cm² + 49 cm² = 53 cm²

d1 = $\sqrt{53}$ cm ≈ 7.28 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{53}$ cm)² + (7 cm)² = 53 cm² + 49 cm² = 102 cm²

d = $\sqrt{102}$ cm ≈ 10.1 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 7.28 cm + 10.1 cm + 7 cm ≈ 24.38 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$⋅7.28 cm⋅ 7 cm ≈ 25.48 cm²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3,5 ² = 49 + 12,25 = 61,25

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{61.25}}$ m ≈ 7,8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,83² + 3² = 61,31 + 9 = 70

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{70.31}}$ m ≈ 8,4 m

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 4 ² = 64 + 16 = 80

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{80}}$ m ≈ 8,9 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 2² = 79,92 + 4 = 84

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{83.92}}$ m ≈ 9,1 m

Es gilt:

10² + 35² =h²

100 +1225 = h²

1325 = h² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

36.4 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 36.4cm

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 6,71² - 3² = 45 - 9 = 36

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{36}}$ m ≈ 6 m

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅6 m⋅6,71 m ≈ 20,12 m²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅20,12 m² = 80,5 m²

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$G ⋅ h

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 m² bereits bekannt.

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 7,83² - 3,5² = 61,25 - 12,25 = 49

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{49}}$ m ≈ 7 m

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$G ⋅ h = $\frac{1}{3}$⋅49 m² ⋅ 7 m ≈ 114,33 m³

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 7,83 m berechnet.