Aufgabenbeispiele von in Körpern
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Raumdiagonale
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 mm, b = 4 mm und c = 9 mm.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 mm und b = 4 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² +b² = (4 mm)2 + (4 mm)2 = 16 mm² + 16 mm² = 32 mm²
d1 = mm ≈ 5.657 mm
Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( mm)2 + (9 mm)2 = 32 mm² + 81 mm² = 113 mm²
Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 16 mm² + 16 mm² +
81 mm² = 113 mm²
berechnen.
d = mm ≈ 10.63 mm
Dreiecke im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 7 cm, b = 4 cm und c = 6 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.
Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 7 cm und b = 4 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² + b² = (7 cm)2 + (4 cm)2 = 49 cm² + 16 cm² = 65 cm²
d1 = cm ≈ 8.062 cm
Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( cm)2 + (6 cm)2 = 65 cm² + 36 cm² = 101 cm²
d = cm ≈ 10.05 cm
Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 8.06 cm +
10.05 cm + 6 cm ≈ 24.11 cm
Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = d1 ⋅c ≈ ⋅8.06 cm⋅
6 cm ≈ 24.19 cm²
Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 m, b = 4 m, h = 5 m.
Berechne hb und s.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 52 + 2 2 = 25 + 4 = 29
Also gilt hb = m ≈ 5,4 m
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 5,392 + 22 = 29,05 + 4 = 33
Also gilt s = m ≈ 5,8 m
Kanten bei einer Pyramide
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 m, h = 8 m, s = 10.2 m.
Berechne hb und b.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 82 + 4,5 2 = 64 + 20,25 = 84,25
Also gilt hb = m ≈ 9,2 m
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:
(b)2 = s2 - hb2
(b)2 = 10,22 - 9,182 = 104,04 - 84,27 = 19,77
Also gilt b = m ≈ 4,45 m
Somit gilt: b ≈ 8,9 m
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:

Ein Leuchtturm ist 34m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.

Es gilt:
63710002 + k12 = 63710342
40589641000000 + k12 = 40590074229156 |-40589641000000
k12 = 433229156 |
k1 ≈ 20814.16
Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 20814.16m
Pyramide (Oberflächenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 81 mm² und Mantelfläche M = 149,79 mm².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Oberfläche O.
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = mm = 9 mm
Bestimmung der Oberfläche O
Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:
Die Mantelfläche M ist ja mit M = 149,79 mm² bereits bekannt.
Die Grundfläche G ist ja mit G = 81 mm² bereits bekannt.
somit gilt: O = M + G = 149,79 mm² + 81 mm² = 230,79 mm²
Pyramide (Volumenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Pyramidenhöhe h = 5 m und Grundfläche G = 49 m².
Berechne die Grundflächenlänge a und die Kantenlänge s.
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 m² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = m = 7 m
Bestimmung der Kantenlänge s
Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe ha berechnen:
Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.
Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 5 m bereits bekannt.
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
ha2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
ha2 = 52 + 3,5 2 = 25 + 12,25 = 37,25
Also gilt ha = m ≈ 6,1 m
Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = ha2 + (a)2
Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 6,12 + 3,52 = 37,21 + 12,25 = 49
Also gilt s = m ≈ 7,04 m
