Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 m und b = 4 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 m)² + (4 m)² = 25 m² + 16 m² = 41 m²

d1 = $\sqrt{41}$ m ≈ 6.403 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{41}$ m)² + (5 m)² = 41 m² + 25 m² = 66 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 m² + 16 m² + 25 m² = 66 m²
berechnen.

d = $\sqrt{66}$ m ≈ 8.124 m

Die Frontwanddiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 m und c = 8 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + c² = (4 m)² + (8 m)² = 16 m² + 64 m² = 80 m²

d1 = $\sqrt{80}$ m ≈ 8.944 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und b, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + b² = ( $\sqrt{80}$ m)² + (5 m)² = 80 m² + 25 m² = 105 m²

d = $\sqrt{105}$ m ≈ 10.247 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + b ≈ 8.94 m + 10.25 m + 5 m ≈ 24.19 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 5:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅b ≈ $\frac{1}{2}$⋅8.94 m⋅ 5 m ≈ 22.36 m²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3,5 ² = 64 + 12,25 = 76,25

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{76.25}}$ m ≈ 8,7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,73² + 2² = 76,21 + 4 = 80

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{80.21}}$ m ≈ 8,9 m

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_b² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 7,2² - 6² = 51,84 - 36 = 15,84

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{15.84}}$ m ≈ 4 m

Somit gilt: a ≈ 8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,2² + 4² = 51,84 + 16 = 68

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{67.84}}$ m ≈ 8,2 m

Es gilt:

4² + 4² =h²

16 +16 = h²

32 = h² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

5.66 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 8m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 45.25m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 90.51m²

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅8 cm⋅7,21 cm ≈ 28,84 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅28,84 cm² = 115,38 cm²

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 7,21 cm berechnet.

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,62 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 7,62² - 3² = 58 - 9 = 49

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{49}}$ cm ≈ 7 cm

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,62 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,62² + 3² = 58 + 9 = 67

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{67}}$ cm ≈ 8,19 cm