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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 3) \cdot (x - 3)$ ≥ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 3) \cdot (x - 3)$ = 0 ist.

(x + 3) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 3) \cdot (x - 3)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 3) \cdot (x - 3)$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $(- 4 + 3) \cdot (- 4 - 3)$ = $7$ > 0
Für -3 < x < 3: f(0) = $(0 + 3) \cdot (0 - 3)$ = $- 9$ < 0
Für x > 3: f(4) = $(4 + 3) \cdot (4 - 3)$ = $7$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 3) \cdot (x - 3)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $(x + 3) \cdot (x - 3)$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -3 oder x ≥ 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 7 x - 5$ > 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 7 x - 5$ = 0 ist.

$- 2 x^{2} + 7 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 7+3}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 7-3}{- 4}$ = $\frac{- 10}{- 4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x - 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 7 x - 5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 7 x - 5$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 2.5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} + 7 x - 5$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 7 \cdot 0 - 5$ = $- 5$ < 0
Für 1 < x < 2.5: f(2) = $- 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 5$ = $1$ > 0
Für x > 2.5: f(3) = $- 2 \cdot 3^{2} + 7 \cdot 3 - 5$ = $- 2$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} + 7 x - 5$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} + 7 x - 5$ > 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=2.5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 1 und x < 2.5.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 5 x + 12$ ≥ $- 3 x + 4$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 5 x + 12$ = $- 3 x + 4$ ist.

2 x^{2} + 5 x + 12

=

- 3 x + 4

|

+ 3 x

- 4

2 x^{2} + 8 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $2 x^{2} + 5 x + 12$ und $g(x) =$ $- 3 x + 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 5 x + 12$ = $- 3 x + 4$ (x = -2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x + 4$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $- 3 x + 4$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2 x^{2} + 5 x + 12$ ≥ $- 3 x + 4$ für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x + 4$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 12$ = $15$ > $13$ = $- 3 \cdot (- 3) + 4$ = g(-3)
Für x > -2: f(0) = $2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 + 12$ = $12$ > $4$ = $- 3 \cdot 0 + 4$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $2 x^{2} + 5 x + 12$ ≥ $- 3 x + 4$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $2 x^{2} + 5 x + 12$ = $- 3 x + 4$ auch zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} + 5 x + 12$ ≥ $- 3 x + 4$ gehört, ist x=-2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):