Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-5\right)$ = $5$ > 0
Für 1 < x < 5: f(4) = $\left(4-1\right)·\left(4-5\right)$ = $-3$ < 0
Für x > 5: f(6) = $\left(6-1\right)·\left(6-5\right)$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ < 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 1 und x < 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+16x-32$ = 0 ist.

$-2x^2+16x-32$ = 0 |:2

$-x^2+8x-16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-2x^2+16x-32$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+16x-32$ = 0 (x = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-2x^2+16x-32$ < 0 für alle x außer für x = 4.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 4: f(0) = $-2\cdot 0^2+16\cdot 0-32$ = $-32$ < 0
Für x > 4: f(5) = $-2\cdot 5^2+16\cdot 5-32$ = $-2$ < 0
Also gilt die Ungleichung $-2x^2+16x-32$ < 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $-2x^2+16x-32$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-2x^2+16x-32$ < 0 gehört, ist x=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{4} (alle x außer x=4 erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2-3x-8$ = $x-4$ ist.

$-2x^2-3x-8$

=

$x-4$

| $-x$ $+4$

$-2x^2-4x-4$ = 0 |:2

$-x^2-2x-2$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-3x-8$ und $\text{g(x)}=$ $x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2-3x-8$ = $x-4$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x-4$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $x-4$ oder alle unter der Geraden y= $x-4$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $x-4$ liegen.
Die Ungleichung $-2x^2-3x-8$ < $x-4$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x-4$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-3x-8$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2-3\cdot 0-8$ = $-8$ < $-4$ = $0-4$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2-3x-8$ < $x-4$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)