Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+3\right)·\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+3\right)·\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+3\right)·\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+3\right)·\left(x-5\right)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-\left(-4+3\right)·\left(-4-5\right)$ = $-9$ < 0
Für -3 < x < 5: f(0) = $-\left(0+3\right)·\left(0-5\right)$ = $15$ > 0
Für x > 5: f(6) = $-\left(6+3\right)·\left(6-5\right)$ = $-9$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+3\right)·\left(x-5\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+3\right)·\left(x-5\right)$ > 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -3 und x < 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+8x+16$ = 0 ist.

$x^2+8x+16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2+8x+16$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+8x+16$ = 0 (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2+8x+16$ > 0 für alle x außer für x = -4.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ${\left(-5\right)}^2+8\cdot \left(-5\right)+16$ = $1$ > 0
Für x > -4: f(0) = $0^2+8\cdot 0+16$ = $16$ > 0
Also gilt die Ungleichung $x^2+8x+16$ > 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $x^2+8x+16$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x^2+8x+16$ > 0 gehört, ist x=-4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{-4} (alle x außer x=-4 erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+4x+6$ = $2x+4$ ist.

$x^2+4x+6$

=

$2x+4$

| $-2x$ $-4$

$x^2+2x+2$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2+4x+6$ und $\text{g(x)}=$ $2x+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+4x+6$ = $2x+4$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2x+4$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $2x+4$ oder alle unter der Geraden y= $2x+4$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $2x+4$ liegen.
Die Ungleichung $x^2+4x+6$ > $2x+4$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2x+4$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $x^2+4x+6$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $0^2+4\cdot 0+6$ = $6$ > $4$ = $2\cdot 0+4$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $x^2+4x+6$ > $2x+4$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)