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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 1) \cdot (x - 5)$ < 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 1) \cdot (x - 5)$ = 0 ist.

- (x + 1) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot (x - 5)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 1) \cdot (x - 5)$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 1) \cdot (x - 5)$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $- (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 5)$ = $- 7$ < 0
Für -1 < x < 5: f(0) = $- (0 + 1) \cdot (0 - 5)$ = $5$ > 0
Für x > 5: f(6) = $- (6 + 1) \cdot (6 - 5)$ = $- 7$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 1) \cdot (x - 5)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- (x + 1) \cdot (x - 5)$ < 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -1 oder x > 5.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 2 x + 12$ > 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 2 x + 12$ = 0 ist.

- 2 x^{2} + 2 x + 12

= 0 |:2

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x + 12$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 2 x + 12$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} + 2 x + 12$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) + 12$ = $- 12$ < 0
Für -2 < x < 3: f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 12$ = $12$ > 0
Für x > 3: f(4) = $- 2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 + 12$ = $- 12$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} + 2 x + 12$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} + 2 x + 12$ > 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -2 und x < 3.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} - 6 x - 16$ < $2 x + 1$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} - 6 x - 16$ = $2 x + 1$ ist.

- x^{2} - 6 x - 16

=

2 x + 1

|

- 2 x

- 1

$- x^{2} - 8 x - 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 17)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 17$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} - 6 x - 16$ und $g(x) =$ $2 x + 1$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} - 6 x - 16$ = $2 x + 1$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2 x + 1$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $2 x + 1$ oder alle unter der Geraden y= $2 x + 1$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $2 x + 1$ liegen.
Die Ungleichung $- x^{2} - 6 x - 16$ < $2 x + 1$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2 x + 1$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- x^{2} - 6 x - 16$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 0^{2} - 6 \cdot 0 - 16$ = $- 16$ < $1$ = $2 \cdot 0 + 1$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- x^{2} - 6 x - 16$ < $2 x + 1$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):