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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 14 x + 24$ = 0

2 x^{2} + 14 x + 24

= 0 |:2

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

D = $7^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 7$ - $1$ = -8

x₂ = $- 7$ + $1$ = -6

L = { $- 8$ ; $- 6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 16 + 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$19 x + 90$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$19 x + 90$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$19 x + 90 + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} + 19 x + 90$ = 0

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

L = { $- 10$ ; $- 9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 27$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 27$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{3}{2} x - 27)$	=	0

$2 x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{3+21}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{3-21}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 54$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 27)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $27$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{432}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

L={ $- 4,5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 3 x + 7$ = $(- 5 x - 6) (x + 7) + 36 x + 64$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 3 x + 7$	=	$(- 5 x - 6) (x + 7) + 36 x + 64$
$- 4 x^{2} - 3 x + 7$	=	$- 5 x^{2} - 41 x - 42 + 36 x + 64$
$- 4 x^{2} - 3 x + 7$	=	$- 5 x^{2} - 5 x + 22$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 22$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4,7)}^{2}$ = $0,09$

Lösung einblenden

{(x - 4,7)}^{2}

=

0,09

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 4,7

=

- \sqrt{0,09}

=

- 0,3

$x - 4,7$	=	$- 0,3$	\| $+ 4,7$
x₁	=	$4,4$

2. Fall

x - 4,7

=

\sqrt{0,09}

=

0,3

$x - 4,7$	=	$0,3$	\| $+ 4,7$
x₂	=	$5$

L={ $4,4$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Lösungsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Linearterm