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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 36 x - 32$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 36 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 296 + 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 36 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{36 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{36+44}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{36 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{36-44}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 36 x - 32$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{36}{5} x - \frac{32}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{18}{5})}^{2} - (- \frac{32}{5})$ = $\frac{324}{25}$ $+$ $\frac{32}{5}$ = $\frac{324}{25}$ $+$ $\frac{160}{25}$ = $\frac{484}{25}$

x_1,2 = $\frac{18}{5}$ ± $\sqrt{\frac{484}{25}}$

x₁ = $\frac{18}{5}$ - $\frac{22}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8

x₂ = $\frac{18}{5}$ + $\frac{22}{5}$ = $\frac{40}{5}$ = 8

L={ $- 0,8$ ; $8$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

D = $6^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 6$ - $4$ = -10

x₂ = $- 6$ + $4$ = -2

L = { $- 10$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 12 x + 36 + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 + x^{2} + x$ = 0

Lösung einblenden

$- 6 + x^{2} + x$ = 0

sortieren

$x^{2} + x - 6$ = 0

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L = { $- 3$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{7+13}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{7-13}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 1,5$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 9 x + 1$ = $(- 9 x + 7) \cdot (x + 6) + 39 x - 29$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 9 x + 1$	=	$(- 9 x + 7) \cdot (x + 6) + 39 x - 29$
$- 8 x^{2} - 9 x + 1$	=	$- 9 x^{2} - 47 x + 42 + 39 x - 29$
$- 8 x^{2} - 9 x + 1$	=	$- 9 x^{2} - 8 x + 13$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ 8 x$ $- 13$

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 3$ ; $4$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 8$ = $9 x$

Lösung einblenden

$x^{2} + 8$ = $9 x$ | - ( $9 x$ )

$x^{2} + 8 - 9 x$ = 0

sortieren

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L = { $1$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von Lösungsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)