Mathebattle EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 8 x - 10$ = 0

2 x^{2} - 8 x - 10

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

L={ $- 1$ ; $5$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 8 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 8 x - 20$ = 0

D = ${(- 4)}^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $4$ - $6$ = -2

x₂ = $4$ + $6$ = 10

L = { $- 2$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 23 x + 63 + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 23 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{23+5}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{23-5}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 23 x + 63$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{23}{2} x + \frac{63}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{4})}^{2} - (\frac{63}{2})$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{63}{2}$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{504}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{23}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

x₂ = $\frac{23}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

L={ $4,5$ ; $7$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$70 - 17 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$70 - 17 x + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} - 17 x + 70$ = 0

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L = { $7$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{8}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{8}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{8}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{196}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 6+14}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 6-14}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{8}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{49}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{49}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{7}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{7}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

L={ $- 2$ ; $0,8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + 7 x + 1$ = $(7 x - 2) \cdot (x + 6) - 34 x + 15$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + 7 x + 1$	=	$(7 x - 2) \cdot (x + 6) - 34 x + 15$
$8 x^{2} + 7 x + 1$	=	$7 x^{2} + 40 x - 12 - 34 x + 15$
$8 x^{2} + 7 x + 1$	=	$7 x^{2} + 6 x + 3$	\| $- 7 x^{2}$ $- 6 x$ $- 3$

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{13}{8})}^{2}$ = $\frac{25}{64}$

Lösung einblenden

{(x + \frac{13}{8})}^{2}

=

\frac{25}{64}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{13}{8}

=

- \sqrt{\frac{25}{64}}

≈

- \frac{5}{8}

$x + \frac{13}{8}$	=	$- \frac{5}{8}$	\| $- \frac{13}{8}$
x₁	=	$- \frac{9}{4}$ = -2.25

2. Fall

x + \frac{13}{8}

=

\sqrt{\frac{25}{64}}

≈

\frac{5}{8}

$x + \frac{13}{8}$	=	$\frac{5}{8}$	\| $- \frac{13}{8}$
x₂	=	$- 1$

L={ $- \frac{9}{4}$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von Lösungsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Linearterm