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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 29 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 29 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 1 008}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{1 849}}{8}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{29+43}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{29-43}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 29 x - 63$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{29}{4} x - \frac{63}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{8})}^{2} - (- \frac{63}{4})$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $\frac{63}{4}$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $\frac{1008}{64}$ = $\frac{1849}{64}$

x_1,2 = $\frac{29}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{64}}$

x₁ = $\frac{29}{8}$ - $\frac{43}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

x₂ = $\frac{29}{8}$ + $\frac{43}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = 9

L={ $- 1,75$ ; $9$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 35$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 35$ = 0

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

L = { $5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x + 4 x^{2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{8}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{- 7+9}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{- 7-9}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 7 x - 2$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

L={ $- 2$ ; $0,25$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$21 + 10 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$21 + 10 x$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$21 + 10 x + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

L = { $- 7$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 54 x - 246$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 54 x - 246

= 0 |:3

$- x^{2} + 18 x - 82$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 82)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 18 x - 82$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 18 x + 82$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 82$ = $81$ $-$ $82$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 5 x - 6$ = $(- 9 x + 1) (x - 2) - 25 x + 16$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 5 x - 6$	=	$(- 9 x + 1) (x - 2) - 25 x + 16$
$- 8 x^{2} - 5 x - 6$	=	$- 9 x^{2} + 19 x - 2 - 25 x + 16$
$- 8 x^{2} - 5 x - 6$	=	$- 9 x^{2} - 6 x + 14$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ 6 x$ $- 14$

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 5$ ; $4$ }

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 0,2)}^{2}$ = $0,25$

Lösung einblenden

{(x + 0,2)}^{2}

=

0,25

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 0,2

=

- \sqrt{0,25}

=

- 0,5

$x + 0,2$	=	$- 0,5$	\| $- 0,2$
x₁	=	$- 0,7$

2. Fall

x + 0,2

=

\sqrt{0,25}

=

0,5

$x + 0,2$	=	$0,5$	\| $- 0,2$
x₂	=	$0,3$

L={ $- 0,7$ ; $0,3$ }

Aufgabenbeispiele von Lösungsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Linearterm