$\sqrt{5}·\sqrt{20}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5·4}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{4}$
= $5·2$
= $10$

$\sqrt{\frac{1}{5}}·\sqrt{20}$
= $\sqrt{\frac{1}{5}·20}$
= $\sqrt{1·4}$
= $\sqrt{4}$
= $2$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-2\sqrt{x}+2\sqrt{x}$

= $\left(-2+2\right)·\sqrt{x}$

= 0

$\sqrt{5}·\left(\sqrt{45}+\sqrt{5}\right)$
= $\sqrt{5}·\sqrt{45}+\sqrt{5}·\sqrt{5}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5·9}+5$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{9}+5$
= $5·3+5$
= $15+5$
= $20$

Nach der 3. binomischen Formel ((a+b)(a-b)=a²-b²) gilt:

$\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)·\left(\sqrt{4}+\sqrt{3}\right)$ = ${\left(\sqrt{4}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2$
= $4-3$
= $1$

$\sqrt{36x}-2\sqrt{x}$
= $\sqrt{36}·\sqrt{x}-2\sqrt{x}$
= $6\sqrt{x}-2\sqrt{x}$
= $4\sqrt{x}$

$\sqrt{36+36+9}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{36}$ + $\sqrt{36}$ + $\sqrt{9}$ = $6$ + $6$ + $3$ = 15 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.