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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$5$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$5$	=	$x$	\| $- 5$ $- x$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

L={ $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3 x - 6}{x + 5}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{3 x - 6}{x + 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{3 x - 6}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$2 x \cdot (x + 5)$
$3 x - 6$	=	$2 x (x + 5)$
$3 x - 6$	=	$2 x^{2} + 10 x$

3 x - 6

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{7+1}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{7-1}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 3$ = $- \frac{27 x}{x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- 3$	=	$- \frac{27 x}{x - 4} - 3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$- 3 \cdot (x - 4)$	=	$- \frac{27 x}{x - 4} \cdot (x - 4) - 3 x \cdot (x - 4)$
$- 3 (x - 4)$	=	$- 27 x - 3 x (x - 4)$
$- 3 x + 12$	=	$- 27 x - 3 x (x - 4)$
$- 3 x + 12$	=	$- 3 x^{2} - 15 x$

- 3 x + 12

=

- 3 x^{2} - 15 x

|

+ 3 x^{2}

+ 15 x

3 x^{2} + 12 x + 12

= 0 |:3

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3} + 2 x$ = $- \frac{- 50}{2 x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{3 (x + 1)} + 2 x

=

\frac{50}{2 (x + 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)} + 2 x$	=	$\frac{50}{2 (x + 1)}$	\|⋅( $6 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (6 (x + 1)) + 2 x \cdot (6 (x + 1))$	=	$\frac{50}{2 (x + 1)} \cdot (6 (x + 1))$
$2 x + 12 x (x + 1)$	=	$150$
$2 x + (12 x^{2} + 12 x)$	=	$150$
$12 x^{2} + 14 x$	=	$150$

12 x^{2} + 14 x

=

150

|

- 150

12 x^{2} + 14 x - 150

= 0 |:2

$6 x^{2} + 7 x - 75$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 75)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 1 800}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1 849}}{12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1 849}}{12}$ = $\frac{- 7+43}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1 849}}{12}$ = $\frac{- 7-43}{12}$ = $\frac{- 50}{12}$ = $- \frac{25}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 7 x - 75$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{7}{6} x - \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{25}{2})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{1800}{144}$ = $\frac{1849}{144}$

x_1,2 = $- \frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{144}}$

x₁ = $- \frac{7}{12}$ - $\frac{43}{12}$ = $- \frac{50}{12}$ = -4.1666666666667

x₂ = $- \frac{7}{12}$ + $\frac{43}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{25}{6}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x} + \frac{48}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{14}{x} + \frac{48}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{14}{x} \cdot x^{2} + \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 14 x + 48$	=	$- x^{2}$

- 14 x + 48

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $7$ - $1$ = 6

x₂ = $7$ + $1$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{20}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{20}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$20$
$a x + x^{2} - 20$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):