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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{20}{x - 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{20}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{20}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 20$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 20$	=	$- x^{2} + x$

- 20

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 3$ = $\frac{- 15 x + 7}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{- 15 x + 7}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 15 x + 7}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 12 x$	=	$- 15 x + 7$
$4 x^{2} + 12 x$	=	$- 15 x + 7$

4 x^{2} + 12 x

=

- 15 x + 7

|

+ 15 x

- 7

$4 x^{2} + 27 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 + 112}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 27+29}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 27-29}{8}$ = $\frac{- 56}{8}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 27 x - 7$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{27}{4} x - \frac{7}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{8})}^{2} - (- \frac{7}{4})$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $\frac{7}{4}$ = $\frac{729}{64}$ $+$ $\frac{112}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $- \frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $- \frac{27}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{27}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$1$ = $- \frac{- 33}{3 x + 5} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

1

=

\frac{33}{3 x + 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$1$	=	$\frac{33}{3 x + 5} - x$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$1 \cdot (3 x + 5)$	=	$\frac{33}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - x \cdot (3 x + 5)$
$3 x + 5$	=	$33 - x \cdot (3 x + 5)$
$3 x + 5$	=	$- 3 x^{2} - 5 x + 33$

3 x + 5

=

- 3 x^{2} - 5 x + 33

|

+ 3 x^{2}

+ 5 x

- 33

$3 x^{2} + 8 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 336}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 8+20}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 8-20}{6}$ = $\frac{- 28}{6}$ = $- \frac{14}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x - 28$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{28}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{84}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{14}{3}$ = -4.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{14}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x - 3}$ = $- \frac{x}{2 x - 6} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{10}{x - 3}

=

- \frac{x}{2 (x - 3)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{10}{x - 3}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{10}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 3 x \cdot (2 (x - 3))$
$20$	=	$- x + 6 x \cdot (x - 3)$
$20$	=	$6 x^{2} - 19 x$

20

=

6 x^{2} - 19 x

|

- 6 x^{2}

+ 19 x

$- 6 x^{2} + 19 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 20}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 480}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{841}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{841}}{- 12}$ = $\frac{- 19+29}{- 12}$ = $\frac{10}{- 12}$ = $- \frac{5}{6}$ ≈ -0.83

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{841}}{- 12}$ = $\frac{- 19-29}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x + 20$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{480}{144}$ = $\frac{841}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{841}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{29}{12}$ = $- \frac{10}{12}$ = -0.83333333333333

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{29}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{6}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{3}{x} \cdot x^{2} + \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$3 x + 2$	=	$- x^{2}$

3 x + 2

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 10$
$a x + x^{2} + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):