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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$10$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$10$	=	$- 2 x$	\| $- 10$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{15}{2} + \frac{5}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{15}{2} + \frac{5}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{15}{2} \cdot x + \frac{5}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- \frac{15}{2} x + \frac{5}{2}$	=	$x \cdot x - 3 x$

$- \frac{15}{2} x + \frac{5}{2}$	=	$x^{2} - 3 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{15}{2} x + \frac{5}{2})$	=	$2 (x^{2} - 3 x)$
$- 15 x + 5$	=	$2 x^{2} - 6 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 6 x$

$- 2 x^{2} - 9 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{9+11}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{9-11}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 9 x + 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $- \frac{9}{2 x - 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{2}$

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$x + 5$	=	$- \frac{9}{2 x - 1}$	\|⋅( $2 x - 1$ )
$x \cdot (2 x - 1) + 5 \cdot (2 x - 1)$	=	$- \frac{9}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)$
$x (2 x - 1) + 10 x - 5$	=	$- 9$
$2 x^{2} - x + 10 x - 5$	=	$- 9$
$2 x^{2} + 9 x - 5$	=	$- 9$

2 x^{2} + 9 x - 5

=

- 9

|

+ 9

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9+7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9-7}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{1,5}{x + 3} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{1,5}{x + 3} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{1,5}{x + 3} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{1,5}{x + 3} - 3 x$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 1,5}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) - 3 x \cdot (2 (x + 3))$
=	$- x - 3 - 6 x (x + 3)$
=	$- 6 x^{2} - 19 x - 3$

0

=

- 6 x^{2} - 19 x - 3

|

+ 6 x^{2}

+ 19 x

+ 3

$6 x^{2} + 19 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 3}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{289}}{12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{289}}{12}$ = $\frac{- 19+17}{12}$ = $\frac{- 2}{12}$ = $- \frac{1}{6}$ ≈ -0.17

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{289}}{12}$ = $\frac{- 19-17}{12}$ = $\frac{- 36}{12}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 19 x + 3$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{19}{6} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{12})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{361}{144}$ $-$ $\frac{72}{144}$ = $\frac{289}{144}$

x_1,2 = $- \frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{289}{144}}$

x₁ = $- \frac{19}{12}$ - $\frac{17}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{19}{12}$ + $\frac{17}{12}$ = $- \frac{2}{12}$ = -0.16666666666667

Lösung x= $- 3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{19 x + 90}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{19 x + 90}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{19 x + 90}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$19 x + 90$

- x^{2}

=

19 x + 90

|

- 19 x

- 90

$- x^{2} - 19 x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 90)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{19+1}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{19-1}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 90$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 90$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 8$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 8$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 8$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 8 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 8 x$	=	$- x^{2}$
$a - 8 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):