f(0) = $13$

f(1) = $13$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $13$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $13$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $13$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$-fache (oder auf das $\frac{90}{100}$-fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $3\cdot {\mathrm{1,08}}^{11}$ ≈ 6,995.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 8.8 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 8.8:

$3\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$\mathrm{8,8}$	|:$3$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\mathrm{2,9333}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{2,9333}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{2,9333}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{2,9333}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,9828}$

Nach ca. 13,983 Stunden ist also der Bestand = 8.8 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=18 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 19.85 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 19.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot a^t$ ein:

$18a^2$	=	$\mathrm{19,85}$	|:$18$
$a^2$	=	$\mathrm{1,10278}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,10278}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,10278}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $18\cdot {\mathrm{1,05}}^{11}$ ≈ 30,786.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 24.1 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 24.1:

$18\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{24,1}$	|:$18$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{1,3389}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3389}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3389}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,3389}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,9817}$

Nach ca. 5,982 Stunden ist also der Bestand = 24.1 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,26}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 28.01 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 28.01. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,26}}^t$ ein:

c ⋅ 1.26⁶ = 28.01

c ⋅ 4.0015 = 28.01 | : 4.0015

c = 7

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $7\cdot {\mathrm{1,26}}^8$ ≈ 44,47.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 107 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 107:

$7\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$107$	|:$7$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{107}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{107}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{107}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{107}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,7991}$

Nach ca. 11,799 Stunden ist also der Bestand = 107 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,956}}^t$ ablesen: a=0.956.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.956($\frac{1}{2}$) ≈ 15.4 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 11.2 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,2}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$ ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,94}}^t$