f(0) = $18$

f(1) = $18$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(2) = $18$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(3) = $18$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(4) = $18$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,45}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,45}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,45}$-fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $8000\cdot {\mathrm{1,01}}^{12}$ ≈ 9014,6.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8700 € ist, also f(t) = 8700:

$8000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$8700$	|:$8000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{87}{80}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{87}{80}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{87}{80}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{87}{80}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,43}$

Nach ca. 8,43 Jahre ist also der Kontostand = 8700 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $29\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 139.72 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 139.72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $29\cdot a^t$ ein:

$29a^{12}$	=	$\mathrm{139,72}$	|:$29$
$a^{12}$	=	$\mathrm{4,81793}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\mathrm{4,81793}}$	= $-\mathrm{1,14}$
a2	=	$\sqrt[12]{\mathrm{4,81793}}$	= $\mathrm{1,14}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,14}$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $29\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $29\cdot {\mathrm{1,14}}^4$ ≈ 48,98.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 59 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 59:

$29\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$59$	|:$29$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{59}{29}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{59}{29}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{59}{29}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{59}{29}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,4205}$

Nach ca. 5,421 Stunden ist also der Bestand = 59 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 8.41 Millionen Insekten ist, also f(6) = 8.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ ein:

c ⋅ 0.93⁶ = 8.41

c ⋅ 0.64699 = 8.41 | : 0.64699

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13\cdot {\mathrm{0,93}}^4$ ≈ 9,725.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.7:

$13\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{4,7}$	|:$13$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,3615}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3615}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3615}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3615}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,0207}$

Nach ca. 14,021 Jahre ist also der Bestand = 4.7 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,098}}^t$ ablesen: a=1.098.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.098($2$) ≈ 7.41 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 1,16 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,16.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.16($2$) ≈ 4.67 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.4 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,4}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$ ≈ 0.88, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$