f(0) = $15$

f(1) = $15$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(2) = $15$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(3) = $15$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(4) = $15$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,3}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,3}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,3}$-fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $12\cdot {\mathrm{0,92}}^{10}$ ≈ 5,213.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.2:

$12\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{5,2}$	|:$12$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,4333}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4333}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4333}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,4333}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0301}$

Nach ca. 10,03 Jahre ist also der Bestand = 5.2 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 7450.58 Nutzer ist, also f(9) = 7450.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^9$	=	$7\mathrm{450,58}$	|:$1000$
$a^9$	=	$\mathrm{7,45058}$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{\mathrm{7,45058}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\mathrm{7,45058}}$ ≈ 1.25 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $1000\cdot {\mathrm{1,25}}^4$ ≈ 2441,406.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer ist, also f(t) = 21000:

$1000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$21000$	|:$1000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$21$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(21\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(21\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(21\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,6438}$

Nach ca. 13,644 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 26.4 kg ist, also f(6) = 26.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ ein:

c ⋅ 0.85⁶ = 26.4

c ⋅ 0.37715 = 26.4 | : 0.37715

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $70\cdot {\mathrm{0,85}}^7$ ≈ 22,44.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$70\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$20$	|:$70$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\frac{2}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,7084}$

Nach ca. 7,708 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,883}}^t$ ablesen: a=0.883.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.883($\frac{1}{2}$) ≈ 5.57 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,7}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{4,7}}}$	≈ $-\mathrm{1,159}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{4,7}}}$	≈ $\mathrm{1,159}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,159}$ ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$