f(0) = $18$

f(1) = $18$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(2) = $18$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(3) = $18$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(4) = $18$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{23}{25}$ multipliziert. Da $\frac{23}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{23}{25}$-fache (oder auf das $\frac{92}{100}$-fache), also auf $92$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 92% = 8 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.8}{100}$) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,972}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $75\cdot {\mathrm{0,972}}^{12}$ ≈ 53,34.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65:

$75\cdot {\mathrm{0,972}}^t$	=	$65$	|:$75$
${\mathrm{0,972}}^t$	=	$\frac{13}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,972}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,972}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0389}$

Nach ca. 5,039 Jahre ist also der Bestand = 65 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 28610.23 Nutzer ist, also f(7) = 28610.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^7$	=	$28\mathrm{610,23}$	|:$6000$
$a^7$	=	$\mathrm{4,76837}$	|
$a$	=	$\sqrt[7]{\mathrm{4,76837}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{\mathrm{4,76837}}$ ≈ 1.25 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $6000\cdot {\mathrm{1,25}}^{13}$ ≈ 109139,364.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 15000 Nutzer ist, also f(t) = 15000:

$6000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$15000$	|:$6000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$\frac{5}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,1063}$

Nach ca. 4,106 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 15000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 5.21 Millionen Insekten ist, also f(10) = 5.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ein:

c ⋅ 0.92¹⁰ = 5.21

c ⋅ 0.43439 = 5.21 | : 0.43439

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $12\cdot {\mathrm{0,92}}^5$ ≈ 7,909.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.7:

$12\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{6,7}$	|:$12$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,5583}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,5583}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,5583}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,5583}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9903}$

Nach ca. 6,99 Jahre ist also der Bestand = 6.7 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,144}}^t$ ablesen: a=1.144.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.144($2$) ≈ 5.15 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 1,1 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,1.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.1($2$) ≈ 7.27 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$