f(0) = $41$

f(1) = $41$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $41$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $41$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $41$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $100\cdot {\mathrm{0,88}}^{12}$ ≈ 21,567.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$100\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$20$	|:$100$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{1}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,5901}$

Nach ca. 12,59 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=21 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 52.88 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 52.88. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot a^t$ ein:

$21a^{12}$	=	$\mathrm{52,88}$	|:$21$
$a^{12}$	=	$\mathrm{2,5181}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\mathrm{2,5181}}$	≈ $-\mathrm{1,08}$
a2	=	$\sqrt[12]{\mathrm{2,5181}}$	≈ $\mathrm{1,08}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,08}$ ≈ 1.08 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $21\cdot {\mathrm{1,08}}^6$ ≈ 33,324.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 31 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 31:

$21\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$31$	|:$21$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{31}{21}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{21}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{21}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{31}{21}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0605}$

Nach ca. 5,061 Stunden ist also der Bestand = 31 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 319.03 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 319.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ ein:

c ⋅ 1.29¹⁰ = 319.03

c ⋅ 12.76136 = 319.03 | : 12.76136

c = 25

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $25\cdot {\mathrm{1,29}}^{12}$ ≈ 530,905.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1025 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 1025:

$25\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$1025$	|:$25$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$41$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(41\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(41\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(41\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,5835}$

Nach ca. 14,584 Stunden ist also der Bestand = 1025 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,954}}^t$ ablesen: a=0.954.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.954($\frac{1}{2}$) ≈ 14.72 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 2.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2.5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2.5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2.5}{100}$) ⋅ B = 1,025 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,025.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.025($2$) ≈ 28.07 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,5}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,5}}}$	≈ $-\mathrm{1,32}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,5}}}$	≈ $\mathrm{1,32}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,32}$ ≈ 1.32, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{1,32}}^t$