f(0) = $194$

f(1) = $194$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(2) = $194$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(3) = $194$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(4) = $194$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,6}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,6}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,6}$-fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$) ⋅ B = 1,22 ⋅ B. Somit ist das a=1,22.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $5000\cdot {\mathrm{1,22}}^8$ ≈ 24538,536.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 45000 Nutzer ist, also f(t) = 45000:

$5000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$	=	$45000$	|:$5000$
${\mathrm{1,22}}^t$	=	$9$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,22}}^t\right)$	=	$\lg \left(9\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$	=	$\lg \left(9\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(9\right)}{\lg \left(\mathrm{1,22}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0496}$

Nach ca. 11,05 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 45000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 62.54 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 62.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ ein:

$75a^{10}$	=	$\mathrm{62,54}$	|:$75$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,83387}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,83387}}$	≈ $-\mathrm{0,982}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,83387}}$	≈ $\mathrm{0,982}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,982}$ ≈ 0.982 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,982}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $75\cdot {\mathrm{0,982}}^9$ ≈ 63,689.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 69.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 69.7:

$75\cdot {\mathrm{0,982}}^t$	=	$\mathrm{69,7}$	|:$75$
${\mathrm{0,982}}^t$	=	$\mathrm{0,9293}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,982}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9293}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,982}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9293}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,982}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9293}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,982}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,0368}$

Nach ca. 4,037 Jahre ist also der Bestand = 69.7 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 5375.67 € ist, also f(10) = 5375.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ ein:

c ⋅ 1.03¹⁰ = 5375.67

c ⋅ 1.34392 = 5375.67 | : 1.34392

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $4000\cdot {\mathrm{1,03}}^7$ ≈ 4919,495.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$4000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$6000$	|:$4000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,7172}$

Nach ca. 13,717 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,934}}^t$ ablesen: a=0.934.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.934($\frac{1}{2}$) ≈ 10.15 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.18($2$) ≈ 4.19 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 34.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{34,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,98}}^t$