f(0) = $157$

f(1) = $157$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $157$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $157$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $157$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $12\cdot {\mathrm{1,05}}^{11}$ ≈ 20,524.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 22 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 22:

$12\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$22$	|:$12$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{11}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,4233}$

Nach ca. 12,423 Stunden ist also der Bestand = 22 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 7392.6 Nutzer ist, also f(2) = 7392.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^2$	=	$7\mathrm{392,6}$	|:$6000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,2321}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,2321}}$	= $-\mathrm{1,11}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,2321}}$	= $\mathrm{1,11}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,11}$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $6000\cdot {\mathrm{1,11}}^4$ ≈ 9108,422.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$6000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$9000$	|:$6000$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,8853}$

Nach ca. 3,885 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,21}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 2928.2 Nutzer ist, also f(2) = 2928.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,21}}^t$ ein:

c ⋅ 1.21² = 2928.2

c ⋅ 1.4641 = 2928.2 | : 1.4641

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $2000\cdot {\mathrm{1,21}}^7$ ≈ 7594,997.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

$2000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$12000$	|:$2000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,3996}$

Nach ca. 9,4 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,969}}^t$ ablesen: a=0.969.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.969($\frac{1}{2}$) ≈ 22.01 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 69 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.99, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,99}}^t$