f(0) = $89$

f(1) = $89$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(2) = $89$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(3) = $89$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(4) = $89$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,75}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,75}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,75}$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $60\cdot {\mathrm{0,88}}^{10}$ ≈ 16,71.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$60\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$20$	|:$60$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,5941}$

Nach ca. 8,594 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 58.33 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 58.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^2$	=	$\mathrm{58,33}$	|:$60$
$a^2$	=	$\mathrm{0,97217}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,97217}}$	≈ $-\mathrm{0,986}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,97217}}$	≈ $\mathrm{0,986}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,986}$ ≈ 0.986 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,986}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $60\cdot {\mathrm{0,986}}^{11}$ ≈ 51,38.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55.1:

$60\cdot {\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{55,1}$	|:$60$
${\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{0,9183}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,986}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9183}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9183}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9183}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,986}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0452}$

Nach ca. 6,045 Jahre ist also der Bestand = 55.1 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 4.57 Millionen Insekten ist, also f(6) = 4.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ ein:

c ⋅ 0.84⁶ = 4.57

c ⋅ 0.3513 = 4.57 | : 0.3513

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $13\cdot {\mathrm{0,84}}^9$ ≈ 2,707.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 9.2:

$13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{9,2}$	|:$13$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{0,7077}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7077}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7077}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,7077}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,983}$

Nach ca. 1,983 Jahre ist also der Bestand = 9.2 Millionen Insekten.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,087}}^t$ ablesen: a=1.087.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.087($2$) ≈ 8.31 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 8.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8.9}{100}$) ⋅ B = 0,911 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,911.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.911($\frac{1}{2}$) ≈ 7.44 Tage

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$