f(0) = $35$

f(1) = $35$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(2) = $35$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(3) = $35$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(4) = $35$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,5}$-fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=14 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $14\cdot {\mathrm{1,05}}^9$ ≈ 21,719.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 24 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 24:

$14\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$24$	|:$14$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{12}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{12}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{12}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{12}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0472}$

Nach ca. 11,047 Stunden ist also der Bestand = 24 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 38.92 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 38.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^{10}$	=	$\mathrm{38,92}$	|:$55$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,70764}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,70764}}$	≈ $-\mathrm{0,966}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,70764}}$	≈ $\mathrm{0,966}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,966}$ ≈ 0.966 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,966}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $55\cdot {\mathrm{0,966}}^7$ ≈ 43,172.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,966}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,966}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,966}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,966}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,8012}$

Nach ca. 5,801 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,12}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 9441.12 Nutzer ist, also f(4) = 9441.12. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,12}}^t$ ein:

c ⋅ 1.12⁴ = 9441.12

c ⋅ 1.57352 = 9441.12 | : 1.57352

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $6000\cdot {\mathrm{1,12}}^9$ ≈ 16638,473.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer ist, also f(t) = 16000:

$6000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$16000$	|:$6000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$\frac{8}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,6547}$

Nach ca. 8,655 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,096}}^t$ ablesen: a=1.096.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.096($2$) ≈ 7.56 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 0,99 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,99.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.99($\frac{1}{2}$) ≈ 68.97 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 6.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{0,9}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{0,9}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,9}$ ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,9}}^t$