Wir können die beiden Brüche am leichtesten vergleichen, wenn wir beide auf die gleichen Nenner bringen.
Dazu müssen wir $\frac{2}{3}$mit 3 erweitern, um auf die 9-tel zu kommen.
$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 3}}{\mathrm{3\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{6}{9}$

Jetzt können wir gut erkennen, dass gilt: $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{9}$ < $\frac{9}{9}$

Wir können die beiden Brüche am leichtesten vergleichen, wenn wir beide auf die gleichen Nenner bringen.
Dazu müssen wir $\frac{5}{6}$mit 3 erweitern, um auf die 18-tel zu kommen.
$\frac{5}{6}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 3}}{\mathrm{6\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{15}{18}$

Jetzt können wir gut erkennen, dass gilt: $\frac{5}{6}$ = $\frac{15}{18}$ < $\frac{18}{18}$

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{4}{10}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (4) und Nenner (10) sind:

Mit dem Primteiler 2 funktioniert dies: $\frac{4}{10}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{2}{5}$

Weil man $\frac{2}{5}$ nicht weiter kürzen kann, müssen wir diesen Bruch eben erweitern.
Mit 2 dürfen wir nicht erweitern, sonst würden wir ja wieder $\frac{4}{10}$ erhalten, deswegen erweitern wir mit 3:
$\frac{2}{5}$$\stackrel{\mathrm{e(3)}}{=}$ $\frac{6}{15}$

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{2}{5}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (2) und Nenner (5) sind:

Leider konnten wir keinen Primteiler finden, der sowohl Zähler als auch Nenner teilt. Daher können wir den Bruch $\frac{2}{5}$ nicht kürzen.
Deswegen erweitern wir $\frac{2}{5}$ einfach mit 2:
$\frac{2}{5}$ $\stackrel{\mathrm{e(2)}}{=}$ $\frac{4}{10}$

Weil man $\frac{2}{5}$ nicht weiter kürzen kann, müssen wir diesen Bruch eben erweitern.
Mit 2 dürfen wir nicht erweitern, sonst würden wir ja wieder $\frac{4}{10}$ erhalten, deswegen erweitern wir mit 3:
$\frac{2}{5}$$\stackrel{\mathrm{e(3)}}{=}$ $\frac{6}{15}$

An den Pfeilen erkennt man, dass der Bruch $\frac{1}{2}$ mit 5 erweitert werden soll.
Dazu müssen wir einfach sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 5 multiplizieren.

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\; ·\; 5}}{\mathrm{2\; ·\; 5}}$ = $\frac{5}{10}$

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 3:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 3}}{\mathrm{4\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{9}{12}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 18 wird.

Wir müssen also 18 : 3 = 6 teilen.

Natürlich hätte man auch den neuen Zähler 12 durch den ursprünglichen Zähler 2 teilen können, also 12 : 2 = 6

Beim Kürzen mit 8 dividieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 8:

$\frac{8}{16}$ = $\frac{\mathrm{8\; :\; 8}}{\mathrm{16\; :\; 8}}$ = $\frac{1}{2}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 6 nachher der neue Nenner 12 wird.

Wir müssen also mit 12 : 6 = 2 erweitern.

$\frac{5}{6}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 2}}{\mathrm{6\; \cdot \; 2}}$ = $\frac{10}{12}$

Der Bruch soll so gekürzt werden, dass aus dem alten Nenner 15 nachher der neue Nenner 3 wird.

Wir müssen also mit 15 : 3 = 5 kürzen.

$\frac{10}{15}$ = $\frac{\mathrm{10\; :\; 5}}{\mathrm{15\; :\; 5}}$ = $\frac{2}{3}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (33) und Nenner (21) sind:

$\frac{33}{21}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{11}{7}$

$\frac{33}{21}$ = $\frac{11}{7}$

Ausgehend vom ersten Bruch $\frac{5}{7}$ können wir anhand des Erweiterungsfaktors "· 2" über dem Gleichheitszeichen erkennen, dass hier der erste Bruch mit 2 erweitert wurde.

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des zweiten Bruchs muss somit 2 mal so groß wie 5 sein, also 5 · 2 = 10.

Der Nenner des zweiten Bruchs muss somit 2 mal so groß wie 7 sein, also 7 · 2 = 14.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{10}{14}$ können wir anhand des Erweiterungsfaktors "· 5" über dem Gleichheitszeichen erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 5 erweitert wurde.

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des dritten Bruchs muss somit 5 mal so groß wie 10 sein, also 10 · 5 = 50.

Der Nenner des dritten Bruchs muss somit 5 mal so groß wie 14 sein, also 14 · 5 = 70.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{15}{20}$ können wir anhand des Erweiterungsfaktors "· 5" über dem Gleichheitszeichen erkennen, dass hier der erste Bruch mit 5 erweitert wurde.

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des ersten Bruchs muss somit ein 5-tel so groß wie 15 sein, also 15 : 5 = 3.

Der Nenner des ersten Bruchs muss somit ein 5-tel so groß wie 20 sein, also 20 : 5 = 4.

Ausgehend vom dritten Bruch $\frac{30}{40}$ können wir anhand des Zählers 30 im anderen Bruch erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 2 erweitert wurde, weil 30 ja 2 mal so groß ist wie 15 (30:15=2).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Nenner des zweiten Bruchs muss somit ein 2-tel so groß wie 40 sein, also 40 : 2 = 20.