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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{6} - 8 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{6} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 3 x - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 3 x - 5$ = 5.

x^{2} - 3 x - 5

=

5

|

- 5

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x^{2} - 20)}^{3} + 124$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- {(x^{2} - 20)}^{3} + 124$ = -1.

$- {(x^{2} - 20)}^{3} + 124$	=	$- 1$	\| $- 124$
$- {(x^{2} - 20)}^{3}$	=	$- 125$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 20)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 20$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x^{2} - 20$	=	$5$	\| $+ 20$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x^{2} - x$ und $g(x) =$ $5 x^{2} + 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 5 x^{2} - x$	=	$5 x^{2} + 3 x$	\| $- (5 x^{2} + 3 x)$
$x^{3} + 5 x^{2} - 5 x^{2} - x - 3 x$	=	0
$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $5 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2)$ = $14$ ⇒ S₁( $- 2$ | $14$ )

g(0) = $5 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $2$ ) = $5 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2$ = $26$ ⇒ S₃( $2$ | $26$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{4}$ ) und B(-3| $\frac{27}{4}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{4}$ ) und B(-3| $\frac{27}{4}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{27}{4}$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{27}{4}$ = $- \frac{1}{4} \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $(- 4)$

$- 27$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-1.5), g(1.5) und h(1.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-1.5) = - ${(- 1,5)}^{2}$ < 0
g(1.5) = ${1,5}^{3}$ > 0
h(1.5) = ${1,5}^{4}$ > 0

Da -f(-1.5) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(1.5) < h(1.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.5⁴ =1.5³ ⋅ 1.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-1.5)= - ${(- 1,5)}^{2}$ < g(1.5)= ${1,5}^{3}$ < h(1.5)= ${1,5}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $3 {(- 3 x - 5)}^{4} + 4$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $3 {(- 3 x - 5)}^{4} + 4$ ein:

f(-1) = $3 \cdot {(- 3 \cdot (- 1) - 5)}^{4} + 4$

= $3 \cdot {(3 - 5)}^{4} + 4$

= $3 \cdot {(- 2)}^{4} + 4$

= $3 \cdot 16 + 4$

= $48 + 4$

= $52$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen