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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$5 x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} \cdot (x^{2} + 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 10 x + 21$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{2} - 10 x + 21$ = -3.

x^{2} - 10 x + 21

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

An den Stellen x₁ = $4$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(6 + 3 x)}^{3} - 57$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $2 {(6 + 3 x)}^{3} - 57$ = -3.

$2 {(6 + 3 x)}^{3} - 57$	=	$- 3$
$2 {(3 x + 6)}^{3} - 57$	=	$- 3$	\| $+ 57$
$2 {(3 x + 6)}^{3}$	=	$54$	\|: $2$
${(3 x + 6)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 6$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$3 x + 6$	=	$3$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= -3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x - 4$ und $g(x) =$ $- x - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 3 x - 4$	=	$- x - 4$	\| $+ 4$
$x^{2} - 3 x$	=	$- x$	\| $+ x$
$x^{2} - 3 x + x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 0 - 4$ = $- 4$ ⇒ S₁(0| $- 4$ )

g( $2$ ) = $- 2 - 4$ = $- 6$ ⇒ S₂( $2$ | $- 6$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{3}{4}$ ) und B(2| $- 3$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{3}{4}$ ) und B(2| $- 3$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{3}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 3$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{3}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 3$ = $- \frac{3}{4} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{4}{3})$

$4$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.5), g(0.5) und h(0.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(0.5) = - ${0,5}^{2}$ < 0
g(0.5) = ${0,5}^{3}$ > 0
h(0.5) = ${0,5}^{4}$ > 0

Da -f(0.5) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(0.5) > h(0.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5⁴ =0.5³ ⋅ 0.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.5)= - ${0,5}^{2}$ < h(0.5)= ${0,5}^{4}$ < g(0.5)= ${0,5}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- x + 2)}^{3} - 4$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $- 2 {(- x + 2)}^{3} - 4$ ein:

f(1) = $- 2 \cdot {(- 1 + 2)}^{3} - 4$

= $- 2 \cdot 1^{3} - 4$

= $- 2 \cdot 1 - 4$

= $- 2 - 4$

= $- 6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen