Aufgabenbeispiele von Körper
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Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(8|4) und G(8|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-3|4) = D(5|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+6) = E(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+6) = F(6|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(5|4) liegen muss, also bei H(5|4+6) = H(5|10).
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 8 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅8 mm + 2⋅6 mm⋅10 mm
+ 2⋅8 mm⋅10 mm
= 96 mm² + 120 mm² + 160 mm²
= 376 mm²
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 336 Liter = ..... ml
336 Liter = 336000 ml
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 4 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 dm ⋅ 4 dm ⋅ 5 dm
= 80 dm³
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m breit, 4 m hoch und hat das Volumen V = 200 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 m³ = ⬜ ⋅ 10 m ⋅ 4 m
200 m³ = ⬜ ⋅ 40 m²
Das Kästchen kann man also mit 200 m³ : 40 m² = 5 m berechnen.
Quader: Volumen + Oberfläche
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 3 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 cm ⋅ 3 cm ⋅ 5 cm
= 150 cm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅3 cm + 2⋅10 cm⋅5 cm
+ 2⋅3 cm⋅5 cm
= 60 cm² + 100 cm² + 30 cm²
= 190 cm²
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
80 l + 1150 mm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
80 dm³ + 1150 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
80 dm³ = 80000 cm³ = 80000000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
80 dm³ + 1150 mm³
= 80000000 mm³ + 1150 mm³
= 80001150 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 19 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 19 dm³ Wasser eben 19 kg
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 28 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 7 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 7 dm = 28 dm³.