Aufgabenbeispiele von Körper
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Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|3), B(7|3), C(10|6) und G(10|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(10-4|6) = D(6|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-6 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|3) liegen, also bei E(3|3+2) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+2) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(6|6) liegen muss, also bei H(6|6+2) = H(6|8).
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 4 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 dm⋅4 dm + 2⋅6 dm⋅10 dm
+ 2⋅4 dm⋅10 dm
= 48 dm² + 120 dm² + 80 dm²
= 248 dm²
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 998 dm³ = ..... mm³
998 dm³ = 998000000 mm³
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 5 dm breit und 9 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 5 dm ⋅ 9 dm
= 450 dm³
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 8 cm hoch und hat das Volumen V = 320 cm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 320 cm³ = 4 cm ⋅ ⬜ ⋅ 8 cm
320 cm³ = ⬜ ⋅ 32 cm²
Das Kästchen kann man also mit 320 cm³ : 32 cm² = 10 cm berechnen.
Quader: Volumen + Oberfläche
Beispiel:
Ein Quader ist 7 dm lang, 6 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 dm ⋅ 6 dm ⋅ 5 dm
= 210 dm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 dm⋅6 dm + 2⋅7 dm⋅5 dm
+ 2⋅6 dm⋅5 dm
= 84 dm² + 70 dm² + 60 dm²
= 214 dm²
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
4 cm³ - 1120 mm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
4 cm³ = 4000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
4 cm³ - 1120 mm³
= 4000 mm³ - 1120 mm³
= 2880 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3000 cm³ Wasser ?
3000 cm³ = 3 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 3 dm³ Wasser eben 3 kg
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 54 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 3 m
c = 9 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 3 m ⋅ 9 m = 54 m³.