Aufgabenbeispiele von Körper
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Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(8|4) und G(8|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-3|4) = D(5|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+6) = E(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+6) = F(6|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(5|4) liegen muss, also bei H(5|4+6) = H(5|10).
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 6 cm breit und 7 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅6 cm + 2⋅10 cm⋅7 cm
+ 2⋅6 cm⋅7 cm
= 120 cm² + 140 cm² + 84 cm²
= 344 cm²
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 268 cm³ = ..... mm³
268 cm³ = 268000 mm³
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 mm lang, 10 mm breit und 4 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 mm ⋅ 10 mm ⋅ 4 mm
= 280 mm³
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 mm lang, 8 mm hoch und hat das Volumen V = 360 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 mm³ = 9 mm ⋅ ⬜ ⋅ 8 mm
360 mm³ = ⬜ ⋅ 72 mm²
Das Kästchen kann man also mit 360 mm³ : 72 mm² = 5 mm berechnen.
Quader: Volumen + Oberfläche
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 5 cm hoch und hat das Volumen V = 500 cm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 500 cm³ = 10 cm ⋅ ⬜ ⋅ 5 cm
500 cm³ = ⬜ ⋅ 50 cm²
Das Kästchen kann man also mit 500 cm³ : 50 cm² = 10 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅5 cm + 2⋅10 cm⋅10 cm
+ 2⋅5 cm⋅10 cm
= 100 cm² + 200 cm² + 100 cm²
= 400 cm²
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
58 m³ + 890 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
58 m³ = 58000 dm³ = 58000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
58 m³ + 890 cm³
= 58000000 cm³ + 890 cm³
= 58000890 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 18 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 18 mm³ Wasser eben 18 mg
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 63 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 3 m
b = 3 m
c = 7 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 3 m ⋅ 3 m ⋅ 7 m = 63 m³.