Aufgabenbeispiele von Flächen
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Umfang von Figuren
Beispiel:
Bestimme den Umfang der Figur in cm. (2 Kästchen sind 1 cm lang)
Wir zählen einfach alle Teilstrecken - beginnend links unten gegen den Uhrzeigersinn - der Reihe nach zusammen,:
U = 3 cm + 3 cm + 1 cm + 1 cm + 2 cm + 2 cm = 12 cm.
Umfang Rechteck
Beispiel:
Berechne den Umfang des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 9 cm, b = 7 cm
Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 9 cm + 2 ⋅ 7 cm
= 32 cm
Umfang
Beispiel:
Zeichne das Viereck ABCD mit A(0|7), B(4|4), C(7|4) und D(7|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.
Bestimme den Umfang des Vierecks.
Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man die Teilstrecken abmessen und dann addieren:
U =
+
+
+
+
= 5 cm + 3 cm + 3 cm + 7 cm
=18 cm
Umfang rückwärts
Beispiel:
Ein Rechteck ist 11 m breit und hat einen Umfang von 34 m. Wie lang ist es?
Den Umfang eines Rechtecks berechnet man durch durchs Addieren der 4 Seitem, von denen jeweils zwei gleich lang sind:
U = 2⋅a + 2⋅b
Also gilt: 34 m = 2⋅⬜ + 2⋅11 m
34 m = 2⋅⬜ + 22 m
Also muss der Abstand zwischen 34 und 22 (=12) gerade so groß wie 2⋅⬜ sein.
12 m² = 2⋅⬜
Das Kästchen muss also die Hälfte von 12 m, also 6 m sein.
Flächeninhalt Rechteck
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 9 km, b = 5 km
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 9 km ⋅ 5 km
= 45 km²
Flächeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle die Fläche in die angegebene Einheit um: 471 km² = ..... a
471 km² = 4710000 a
Flächeneinheit finden
Beispiel:
Bestimme die richtige Einheit: 1600 mm² = 16⬜
Die nächst größere Flächeneinheit ist ja cm², also sind 100 mm² = 1 cm².
Das bedeutet, dass 1600 mm² = 16 cm² sind.
Flächen (mit Komma)
Beispiel:
Wandle die Flächenangabe in die angegebene Einheit um: 0,804 cm² = ..... mm²
0,804 cm² = 80,4 mm²
Flächeninhalt rückwärts
Beispiel:
Ein Rechteck ist 40 mm breit und hat einen Flächeninhalt von 160 mm². Wie lang ist es?
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: A = a ⋅ b
Also gilt: 160 mm² = ⬜ ⋅40 mm
Das Kästchen kann man also mit 160 mm : 40 mm = 4 mm berechnen.
Flächeneinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in ha an
55 km² + 33 ha
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
55 km² = 5500 ha
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
55 km² + 33 ha
= 5500 ha + 33 ha
= 5533 ha
Umfang und Flächeninhalt Rechteck
Beispiel:
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 11 km, b = 50 km.
Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 11 km + 2 ⋅ 50 km
= 122 km
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 11 km ⋅ 50 km
= 550 km²
Umfang und Flächeninhalt gemischt
Beispiel:
Ein Rechteck ist 10 m lang und hat einen Umfang von 32 m. Bestimme die Breite b und den Flächeninhalt A des Rechetcks.
Den Umfang eines Rechtecks berechnet man durch durchs Addieren der 4 Seiten, von denen jeweils zwei gleich lang sind:
U = 2⋅a + 2⋅b
Also gilt: 32 m = 2⋅⬜ + 2⋅10 m
32 m = 2⋅⬜ + 20 m
Also muss der Abstand zwischen 32 und 20 (=12) gerade so groß wie 2⋅⬜ sein.
12 m² = 2⋅⬜
Das Kästchen muss also die Hälfte von 12 m, also 6 m sein.
Den Flächeninhalt des Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 6 m ⋅ 10 m
= 60 m²
Flächeninhalt und Umfang - Knobeln
Beispiel:
Ein Rechteck hat den Flächeninhalt A = 80 km² und den Umfang U = 42 km. Bestimme die Seitenlängen a und b.
Der Flächeninhalt A = 80 des Rechtecks berechnet sich ja durch Multiplizieren der Seitenlängen. Also probieren wir alle Teiler von 80 km² durch:
80 = 1 ⋅ 80, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 80 = 162
80 = 2 ⋅ 40, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 40 = 84
80 = 4 ⋅ 20, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 20 = 48
80 = 5 ⋅ 16, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 16 = 42
Mit den Seitenlängen 16 km und 5 km ist also der Flächeninhalt des Rechtecks A = 80 km² und der Umfang U=42 km.